常微分方程第三版课后习题答案

习题1.2

1.e=2xy,并满足初始条件：x=O,y=l的特解。

解：dy=2xdx2

丫两访和分有：lnlvl=x2+c

dx

y=e+e=cex另外y=。也是原方程的解,c=0时»y=0

原方程的通解为y=cex2,x=0y=1时c=1

2特解为y=ex.

2.y2dx+(x+l)dy=O并求满足初始条件：x=O,y=l的特解。

2dy1解：ydx=-(x+l)dy2dy=-dxyx1

1

2=-ln|x+l|+ln|c|

y

y-m|c(x1)|

另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1时c=e

yx

特解：y;

In|c(x1)|

2,dy1y2;dx

解：xy'xy彩叔@xy

1

dy=3dx

X

两边积分：x(l+x2)(l+y2)=(Jx

4.(l+x)ydx+(l-y)xdy=O

解：原:dy="dx

yx

两边积分：ln|xy|+x-y=c另外x=O,y=O也是原方程的解二.

5(y+x)dy+(x-y)dx=O

解：原方程为：

dyxy

贝IJ”=u+x。”件入右.

V=udxdx代入有,

dxxy

u11

-2du=dx

u2lx

22

ln(u+l)x=c-2arctgu

22

即ln(y+x)=c-2arctg,2.

6.X?-y+，/

=0

dx

解：原方程为：dy-y|x|1(y)

dxxxX

则令y=uXdydu

=U+X

dxdx

11

1u2du二sgnxdx

x

aresin=sgnxln|x|4-c

X

7.tgydxctgxdy=0

ln|sin>d=-ln|cosx|-ln|c|

解：原方程为:v

tgyetgx

两边积分：

1

另外也是原方程的解，而时»

siny=y=0c=0y=0.

ccosxcosx

所以原方程的通解为sinycosx=c.

/3x

dye

8+=0

dxy

3xe

解：原方程为：

d.x.y

3x/

2e-3e=c.

9.x(lnx-lny)dy-ydx=0

解：原方程为：*.dn

rlvY

令'=u，则。du

xdx=u+x

dx

du

u+x=ulnu

dx

ln(lnu-l)=-ln|cx|

y

1+ln=cy.

X

10.”=c"dx

解：原方程为：

dy2

110%=(x+y)

dvdu

解：令x+y=u，则=-1

dxdx

yx

du2

-l=u

dx

1

2du=dx

2/

arctgu=x+carctg(x+y)=x+c

ai

12.,

dx(xy)2

解:令x+y=u,贝ijdxdxdu1

-1=

*”,2u-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c.

J2xyldxx2yl

解:原方程为：(x-2y+l)dy=(2x-y+l)dxxdy+ydx-(2y-l；dy-(2x+l)dx=022

dxy-d(y-y)-dx+x=c

22

xy-y+y-x-x=c

dyxy5

dxxy2

解:原方程为：(x-y-2)dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0

14:

1212dxy-d(y+2y)-d(x+5x)=0

22

22

y+4y+x+10x-2xy=c.

15:*=(x+l)2+(4y+l)2+8xy1dx

解：dy2

原方程为：=(x+4y)+3

dx

令x+4y=u则七1

dx4dx4

ldul2

-=u+3

4dx4

du2

•>

3

u=;tg(6x+c)-l

2

tg(6x+c)=(x+4y+l).

3

16:证明方程处=f(xy),经变换寸内可化为变量分离方程，并由此求下列方程：ydx

22

1)y(l+xy)dx=xdy

222

Xdyl,.ydx2-x/

2)

・・一」「dxdx则i-z有:dx

xdxx2xdu=f(u)+ludx

11du=dxu(f(u)1)x

所以原方程可化为变量分离方程。

dy1duu

1)令xy=u则=-2⑴

dxxdxx2

原方程可化为：=，口+(xy)2](2)

dxx

1duuu2

将1代入2式有：-2=(l+u2)

xdxx2x

u=u"2+cx

17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初步点分成相等的部分。

解：设(x+y)为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y'(x-x)+y

x=xojy=yo-xoy

x=2xo=xo°所以xy=c

y'

18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中

则与x轴，y轴交点分别为：

解：由题意得：y'=y

x11dy=dxyx

ln|y|=ln|xc|y=cx.

=则y=tgx所以c=1y=x.

4

19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。证明：设(x,y)为所求

曲线上的任意一点，则/二kx

则：y=kx+c即为所求。

习题2.1

l「2xy,并求满足初始条件：x=O.y=l的特解.dx

解：对原式进行变量分离得

1R

：dy2xdx,两边同时积分得：v?Inyxc,yce«x0,y1

cl,故它的特解为y;。

2.ydx(xl)dy0,并求满足初始条件：x=0,y=l的特解.解：对原式进行变量分离得：

当y0时显然也是原方程的解。当xO,y1时，代入式子得cl,故特解是

.1

,dx，2dy,当v丫。时，两边同时积分得Inx1，c,即y，------:------;

cInx1

1

1Inix

，dyy3

'xyxy

解：原式可化为：

y

与，？\显然之故分离变量得一2dy3*3dx

dxyx,y1；x,

222

1122两边积分得IniylnxInixlnc(c。即(1y)(1：)

222CX

故原方程的解为(ly)(l/G八

4：(1x)ydx(1y)xdy0

解：由yO或xO是方程的解，当xyO时，变量分离dx“dy0xy两边积分Inx

xInyyc,即Inxyxyc,故原方程的解为Inxyxyc;y3;x0.

5:(yx)dy(yx)dx0dyyx令y

解：，令u,y以"du

x

dxylMiixdu以"，变量分离，dx

dx

dxul得：11

dudx

lx

两边积分得：arctguln(lInxCo

：

6x^yxy

dx

令ydyu,yux,“

解：xd：则原方程化为：

22

duJlu)，分离变量得:二2dusgnx?1dx

x

dxU

两边积分得:arcsinsgnx?Inxcyarcsin

:<

代回原来变量，得sgnx?lnx

另外，y:也是方程的解。

7:tgydx解分离，得：ctgydy

tgxdx两边积分得：InsinyIncos

xc.

7

y3xg：

dyev

dxy

解：变量分离，得"yLx

yec

9:x(lnxIny)dyydx0

解：方程可变为：Indy"xO

xx

令u'，则有：1dxXXInu

----------------dInu

y

1InuIno

代回原变量得：cy

x

10-}dx

解：变量分离

两边积分；；；dx

2

dyxy

解：变量分离，edy

两边积分得：

dxe

11.4(xy)

解：令xyt,则

dxdx

原方程可变为：

2

dx1

变量分离得:2'dtdx,两边积分arctgtxcI

代回变量得：arctg(xy)xc

12,dy1

dx(xy)2

解

令dydtL原方程可变为：：al

xyt,则dxdx

变量分离£dtdx,两边积分tarctgtxc,代回变量

tl

xyarctg(xy)＞：c

13.dy2xy1

dxx2y1

解:方程组2x,10,x2y0；的解为x

：«y

人1YUdTY”

vxXvY加

qdX

YU,则方程可化为：X:­U

X

变量分离

bdxxy2

解：令xy5叫"dxdx

原方程化?两如疆分而犹t7dxdxt7

.2

15.dx(X1y(4y1*8xy1

解：方程化为黑x22x116y2

8y8xy1(x4y1产2

‘两以

u，则关于x求导得14A1du

令1般

224dx

两边积分得arctgggxSy)

分离变量,2原dudx»6xc，

9

方程的解。

代回变量WG7(XV5)7XC.

1日dyQ522

lo.,62y2x》一

dx

dy3

322

解：？(打2太dx3[(y3)22x132,令y'u,则原方程化为

dx232y(2xyx2xyx

2

3u

du3：6x?X26_____,这是齐次方程，令

dx2xu2

X2U1X

dudz“udxdx60,得z3鲤Kdzdzz—

z"

或z2zizx,,x2zl⑴

dxdx

当Z22是D方程的解。即y33x或y'2x是方程的解。

2zl735

当才z60时，变量分离dz1dx,两边积分的(z3)(z2)xc,

zdX

2：工，又因为

即(Ax//y33x或y32x包含在通解中当cO时。故原方程

的解为33315

17dx3x2y2y2x，3Mx

2222

解：原方程化为dyx(2，1)dy2x23y21

222

dxy(3x22/1)dx22

du2V3u1v;;;;;;;

令y2u,；；；；；x则⑴

dv3v2u1

2v3u方程组3v,勺解为（1,1）；令zv

1.,Yu1.

2u

yz,」z

则有73y,,从而方程（1）化为

2y

2

,所以tdzgt

：,则有dy2

22t：2)

dz

zdz2t32t

2t0时，，1,是方程（2）的解。2或yX2是原方程的解

得

a拓'力钮八体32tl分离变量得”2出dz

0时，，两边积分的y(/2)5c

另外

25

2,或yx\包含在其通解中，故原方程的解为(y25

⑴

18.证明方程X'f(xy)经变换xyu可化为变量分离方程，并由此求解下列方程ydx

l).y(lx2y2)dxxdy

22

险xdy处V

ydx2xy

证明：因为xyu,关于x求导导得yx"dx1duduu得：1f(u),(f(u)ydxdxy(f(u)1)x故

此方程为此方程为变程，dy,所以Xdyduydxdxdx

1

1)1(uf(uiu)

du

19.已知f(x)f(x)dtl,x0,试求函数f(x)的

解⑴：当x0或y0是原方程的解,当xyOs时，方程化为xdy

，两边番导得

令xyu,则方程化为加1(2u

⑻,变量分离得：3X

dxx2u

U

2y2

2

两边同时积分得：，cXYl,y0也包含在此通解中。

u22y/

故原方程的解为原加；

xy2J0

7cX,xu-

解(2)令xyu，则原方程化为ddxuU；14u

U)

XN(Jx2

分离变量得2a:dX，两边积分得门尊c，这也就是方程的解。

一般表达式.V

解：设f(x)=y,则原方程化为f(x)dt

0

y3dy；；；；；；；；；；dxdx1;;;;;;;;;;;;两边积分得*/2";；；；；所以丫，

y3dy2xc

X

把y代入f(x)dt

2xc

11dt2xc;;;;;;;;;;(2xcc)2xc得c0,所以yo2tc2x

20.求具有性质x(t+s)=3⑸的函数x(t),已知x1(0存)在。

1x(t)x(s)

解：令t=s=0x(0)=岫则=2©若x(0)0得x2=-l矛盾

1x(0)1x(0)x(0)

2

所以X(0)=0.X'(ltim)=上向limx1(0)(lx;(t))

tt[lx(t)x(t)

2

d*X'(o)(ix(t))2x,(o)dt两边积分得arctg

x(t)=x'(0)t+c所以x(t)=tg[x'(0)t当+c]t=0时x(0)=0故c=0所以

x(t)=tg[x'(0)t]

习题2.2

1.dy=ysinx

dx

dx

解：y=e(sinxedxc)

求下列方程的解

xlX

=e[-e(sinxcosx)+c]

2

xl

=ce-(sinxcosx)是原方程的解。

dX2t

2.+3x=e”

dt

解：原方程可化为：:=,x+e

dt

3dt3dt

所以：x=e'e隈3d:

*(e*+c)

二ce3t+'/是原方程的解。

5

ds1=-scost+

3.dtsin2t

2

解：s二eSI.^in2te器,c)

Wci

=e1sintcosie"1'dtc)

sintsmtsint

(sinteec)

sint・/

=cesint是原方程的解。

4dyxxn

4.exn为常数.

dyxxn

解：原方程可化为：ex

dx口

n

nxndx

exXdxc)

x(ec)是原方程的解.

dy12x

5.7.+'.ry1=0

解：原方程可化为：dy12x

dxx

■<-------------

xzdx,dx

e(e*dxc)

<ln/)Inxz1

e2)('dxc)

1

=x2(lcex)是原方程的解.

，dyxx

dx

xy

解.dyJ

fVr,dxXX

2

Nu则rl\/~riii

x因此：yUXdx""dx

dux

IIX/

dxu

du_1_

dx2U

u'dudx

3"

Vu带入（*）中得：y33x%x3是原方程的解

7，xl)3

”3

dxx1

P(x)\Q(x)(xl)3xl

(xl)2

P(x)dxx21dx

尸x)dx.xi

方程的通解为：P(x)dxP(x)dx

(eQ(x)dxc)

y二e23

=(x+l)(<.^*(x+l)dx+c)

Z(X1)2

=(x+1)2c)

=(x+l)(2(x+l)dx+c)

8.”二，3

dxxy3

3

dxx+y12

解：xy2dyyy

则P(y尸:,Q(y)y2，

P(y)dy1ydy

eeyy方程的通解

为：

x=e

P(y)dyP(y)dy.、

=y('eQ(y)dyc)

'伙丫c)

2Cy

即：2y=c(x+l)?+(x+l)4为方程的通解

即x=v2+cy是方程的通解,且y=0也是方程的解。

3

§dyayx1dx

,a为常数

解：（Px），，Q（x）也

P（x）dx.x

e

方程的通解为：y二户眄**工。

=x（「dx+c）

，当aO时，方程的通解为

y=x+ln/x/+c

当a1时，方程的通解为y=cx+xln/x/-l

当a0,1时，方程的通解为axly=cx+-1-a

a

10.x-yx3

dx

解：，yx3

dxx13

P(x)\Q(x)x3x

P(x)dx\dx1

「X方程的通解为：

P(x)dxP(x)dx

y=e(eQ(x)dxc)

(x*x3dxc)x

3XC

方程的通解为：

3

c2Inx112.(yinx2)ydxxdy

424

・dyInx/2ydxxx两边除以y，

dyInx2y1

y2dxxx

dxxx

令/z

dz2Inxz

dxxx

P(x)：Q(x)x方程的Inx

通解为：x

P(x)dxP(x)tfx

ze(eQ(x)dxc)

x"Inx211nx

xK?

ze(e()dxc)x(2()dxc)xxx

c2lnx1

x

424

方程的通解为：y(cx2,nxl)1,且y=0也是解。

424

13

2xydy(2y?dyx)dx

2y2xdx2xy丫；

这是n=-l时

的伯努利方程。

两边同除以\

dy

dx

y

2dzdy令y2z2ydxdxdz2y2z

11

dx

P(x)=，Q(x)=-1

x由一阶线性方程的

求解公式

M2dx

Xdxc)

2

=xxc

y

147xe3/

y

两边同乘以e%YX，2y2y丫】2令」;1

照XXZXz{e}3xc2入

令eyzdz,ydy

dxdx

这是n=2时的伯努利方

dzz3xz3z2Z

5°

2w

33

dxdx

1

xx

Te(2edxc)

两边同除以Z2x

ex

dT1dzdT3Tl

13

2K.>c»"J2

dxzdxdx2xx

P(x).3Q(x)=?y113

xxe(xex)1

由宏除线性方程的求解公

2

=X义/C)

dxxyxy

dx33dyyxyx

这是n二3时的伯努利方程。

两边同除以x'1dxyy

32xdyx3

dzsdx

3

dydy

dz2122y3=2yz2y3P(y)=-2yQ(y)=2y

dvx

由一阶线性方程的求解公式

2ydy32ydy

ze(2yedyc)

=ey(2/eydyc)

2/

=y1ce

22『

x(y1ce)1

xe(y1ce)e/2222

e(1xxy)ex

16y=e,:+0y(t)dt

泸y(x)

.xye

P(x)=lQ(x)=e由一阶线性方程的求解公式

IdxyIdx

ye(eedxc)

xxx

e(eedxc)

e'(xc)0e，(xC)dx

=ex(xc)

V=e*xc)

17设函数8VtV8上连续，，(0)存在且满足关系式(t+s户(t)(s)

C=1

令t=s=0(0+0)=(0)(0)即(0)=(0)2故(0)。或(0)

1)(0)0时⑴(t0)(t)(0)即(t)

试求此函数。

t(8)

(tt)(t)limtot

⑵时(t)(t)t(t)

(0)1(t)-lirrito

(t)((t)1)(2__________________(0)

lim5otlimtot")

=(0)(t)

、d

(0)(t)变量分离得(0)出积分

dt

由于⑼1,即t=0时1l=ce°c=l

20.试证：

故⑴(0)t

一阶非齐线性方程(2.28)的任两解之差必为相应的齐线性方程(2.3)

之解；

2)若yy(x)是(2.3)的非零解，而yy(x)是(2.28)的解,则方程(2.28)

的通解可表为ycy(x)v(x),其中c为任意常数.

3)方程(2.3)任一解的常数倍或任两解之和(或差)仍是方程(2.3)的

证明.^P(x)yQ(x)

2.28)

解

ddyxP(x)y

dx2.3)

1)设…y2是(2.28的任意两个解

黑P(x)yiQ(x)1)

VJA

dyj

dxP(x)y?Q(x)2)

dyiy2dx...

P(x)(yiy2)

1)-⑵得

即yy】y?是满足方程(2.3)

2)由题意得：

所以，命题成立。

wP(x)y

…P(x)：y(x)Q(x)dx

1)先证ycyy是(2.28)的一个解。

于是

CdydycP(x)yP(x)yQ(x)

dxdx

d(cyy)

P(x)(cyy)Q(x)

dx

故丫。丫丫是(2.28)的一个解。

2)现证方程(4)的任一解都可写成cyy的形式

设yi是(2.28)的一个解

贝IJP(x)yiQ(x)(41)

dx

于是(41)■⑷得

</P(x)(yiy)

dx

P(x)dx

从而yiycecy

即yiycy

所以，命题成立。

3)设y3,y«是(2.3)的任意两个解

贝IJ/p(x)y3(5)

dx

P：x)y4(6)

dx

于是(5)C得cp(x)y3

dx

3

即-'P(x)(cy3)其中c为任意常数

dx

也就是ycys满足方程(2.3)

(5)⑹得

7.3v4P(x)、「P(x)y4

dxdx

即耳『P(x)伙y,dx

也就是yy3y4满足方程(2.3)

所以命题成立。

5)曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；

21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。

6)曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中

项；设p(x,y)为曲线上的任一点，则过p点曲线的切线方程为

解：

YVy'(xX)

从而此切线与两坐标轴的交点坐标为(xy,0),(0,yxy')y'

即横截距为\

y

纵截距为xy1

由题意得：

5)yxy

方程变形为

dy

x

dx

dy1dxx

g(xg)dx

(x)e(Pxdxc)

于是

yxy'"

2

所以，方程的通解为yxcxo方程变形为

dyyxdx22

6)

x(xc)

Xex

dy11

dx2x2

11

dx]()dx

于是ye2x((：e2xdxc)

2

11

i15

21nxJ.21nx

e(i)e2dxc)

2

112

x2((xdxc)

x2((gx2)dxc)2

11

x2(x?c)

Xex

】所以，方程的通解为yxex2

22•求解下列方程。

5(x21)y'xyO

解：y'“27

x1

)dx

C)

=/X2l/2[2idxc]

2/X2

I/

22dx

=/x1/[c]

21/2

1sinx

P(x)=Q(x)=sinxcosxcosx

由一阶线性方程的求解公式

121

dxsinxdx

sinxcosxsinxcosx

ye(edxc)cosx

sinx

=(sinxdxc)

cosx

sinx

=(cosxc)

cosx

=tgxcsinx

习题2.3

1、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。

1.(x7y)dx(x2y)dy0

解：MN

1,二1.

vx

yNX

所以此方程是恰当方程。

凑微分，x2dx2ydy(ydxxdy)0jxyy2C

3

解：版U「

N

2.(y3x2)dx(4yx)dy0

X

所以此方程为恰当方程。

凑微分，ydxxdy3x2dx4ydy0

得x3xy2y之C

22

Lhjdxgdy°

22

解：M2y(xy)?2y?(xy)(1)2xy

y(xy)4(xy)3

N2x(xy)22X2(Xy)2xyx(xy)4(xy)3

D

对(1)做x的积分，则u2，dx-、

：axdx(y)

(xy)2x

2?)

yInx(y)(3

xv

因此此方程是恰当方程。

X(Xy)2X

U1x2

(Xy)2

d(y)1y22xy

dyy(xy)2(xy)2

对(3)做的积分,贝1IDP仅丫)2yd(y)

一,✓\，.，，，，、«-f

(xy)2dy

________________________________=2xy；d(y)

=(xy)*2dy

2

y(xy)