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文档简介

二重积分的计算法9.2.1直角坐标系下计算二重积分9.2.2极坐标系下计算二重积分下面讨论二重积分的计算设积分区域D:在上连续其特点：这些直线与D

的边界相交不多于两点间作垂直于x

轴的直线，在根据二重积分的几何意义，二重积分的值等于以D

为底，为顶的曲顶柱体体积以曲面D

是X－型区域1.二重积分的计算任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的记作利用平行截面面积是已知的立体的体积求截面面积累次积分若D为Y

-型区域则D

是Y－型区域记作说明:(1)若积分区域既是X-型区域又是Y

-型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-

型域或Y-

型域,则化为二次积分，其中D是由直线

所围成的平面区域。解：例9.2.1将将D看作X-型区域,则及则化为二次积分，其中D是由直线

所围成的平面区域。解：例9.2.1将将D看作Y-型区域,则及则所围成的闭区域.解法1例9.2.2计算将D看作X-型区域,则其中D是由直线及所围成的闭区域.解法2例9.2.2计算将D看作Y-型区域,则其中D是由直线及例9.2.3计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解法1及直线则为计算简便,可看作Y－型区域例9.2.3计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解法2及直线则看作X－型区域则D

需分成和两部分，轴所围成的闭区域.例9.2.4计算其中D是由直线及解法1将D看作Y-型区域,则例9.2.5计算其中

解则根据区域的特点去掉被积函数的绝对值号则D

需分成和两部分，2.交换积分次序计算二次积分例9.2.6交换二次积分的积分次序.解由题知，对应的X型积分区域是画出积分区域D如图9.16所示，将D换写成Y型区域如图9.17所示所以例9.2.7计算二次积分的值.解积分区域D如图由于故改变积分次序所以的原函数不是初等函数，设函数D位于x轴上方的部分为D1,区域关于y轴对称,函数关于x有奇偶性时,有类似结果在D上在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则曲面关于xoz

面对称则3.对称性的应用例9.2.8计算其中D由所围成.解:

令由于D关于y轴对称，并且与直线内容小结(1)二重积分化为二次积分的方法直角坐标系情形:

若积分区域为则

若积分区域为则(2)计算步骤及注意事项•

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