高等数学（经济类-下册第2版）课件：在直角坐标系下计算二重积分

二重积分

在直角坐标系下计算二重积分一、积分区域的类型二、二重积分的计算三、小结复习平行截面面积为已知的立体的体积的求法（1）二重积分（2）一元函数定积分的几何应用在点处的平行截面的面积为：体积元素体积为其中函数、在区间上连续.1.【X型区域】【X型区域的特点】

穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.一、

积分区域的类型2.【Y型区域】【Y型区域的特点】穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.3.【既非X型区域也非Y型区域】

在分割后的三个区域上分别都是X型区域(或Y型区域)必须分割区域D由二重积分积分区域的可加性得1.积分区域为X型区域时：且设二、二重积分的计算根据二重积分的几何意义以及计算“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法来求.方法则的值等于以D为底，以曲面为曲顶的曲顶柱体的体积.即得公式1(1)通过体积作为过渡，实现了二重积分的一种计算方法：

计算两次定积分（单积分）来求解.投影穿线法(2)二重积分计算的关键是定限：说明：后积先定限(投影)限内划条线(穿线)

先交下限写后交上限见aboxyDx(后积变量上下限必为常数)该线平行于坐标轴且同向定限口诀公式22.积分区域为Y型区域时：即化二重积分为先对x后对y的二次积分.(1)使用公式1必须是X型区域，公式2必须是Y型区域.(2)若积分区域既是X型区域又是Y型区域，则选择容易积分的区域类型,必要时还可交换积分次序.(3)若积分域较复杂,可将它分成若干X型区域（或Y型区域）【说明】(4)二重积分的计算步骤①画出积分域的图形，标出边界线方程；②根据积分域特征，确定积分次序；③根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。【说明】看作X型区域看作Y型区域例1解法1：解法2：将D看作Y型区域例2解：解法1：D既是X型区域又是Y型区域：先求交点由则必须分割解法2：将D看作X型区域由二重积分的性质，有解法2计算量大！在计算中要选择合适的积分区域类型！例3求二重积分，其中D是由直线解：显然，D既是X型区域又是Y型区域.由二重积分的性质，有令及x轴所围成的闭区域.将D看作X型区域，则计算时，若将区域看成Y型区域，可以计算吗？例3求二重积分，其中D是由直线解：及x轴所围成的闭区域.将D看作Y型区域，则计算时，若将区域看成X型区域，可以计算吗？故有以上三例说明，在化二重积分为二次积分时，为简便计算需恰当选择积分区域；既要考虑积分区域D

的形状，又要考虑被积函数的特性(易积)说明：由上述二次积分可知，其对应的二重积分的积分区域为例4交换积分次序，并求值.解：交换积分次序，有交换积分次序，即是把原来的X型区域看成Y型，把原来的Y型区域看成X型.有时，交换积分次序能达到积分简化的目的.四、简单应用例5求以面上的圆域为底，圆柱面为侧面，抛物面为顶的曲顶柱体的体积。所求曲顶柱体的体积为解：其中积分区域D可表示为由二重积分的几何意义，有利用二重积分计算曲顶柱体的体积时，要找曲顶柱体的“顶”和“底”.例6城市A受地理条件的限制呈三角形分布，斜边临一座山。由于地理位置的关系，城市区域发展不太均衡，这一点主要从税收的情况反映出来。以两直角边为坐标轴脚力直角坐标系，位于轴和轴上的城市长度分别为24千米和16千米，且税收情况与地理位置的关系为（万元/平方千米），试计算该市总的税收收入.解：这是一个二重积分的经济应用问题。其中积分区域D由轴和轴及直线围成.其中D可以表