821两角和与差的余弦课件高一下学期数学人教B版

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数学

必修第三册第八章向量的数量积与三角恒等变换8.2.1两角和与差的余弦课标定位素养阐释1.

经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用.2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式.3.能利用两角和与差的余弦公式化简、求值.4.培养逻辑推理和数学运算素养.自主预习新知导学一、两角差的余弦公式1.我们知道60°=90°-30°,那么cos60°与90°角,30°角的正弦值、余弦值是否有关系?是怎样的关系?提示:有关系,cos

60°=cos(90°-30°)=cos

90°cos

30°+sin

90°sin

30°=.2.对任意α与β,都有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,这就是两角差的余弦公式,简记为Cα-β.

二、两角和的余弦公式1.你能计算cos75°的值吗?提示:cos

75°=cos[45°-(-30°)]=cos

45°cos(-30°)+sin

45°sin(-30°)2.两角和的余弦公式Cα+β,即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.

【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)当α,β∈R时,cos(α-β)=cosαsinβ-sinαcosβ.(

)(2)当α,β∈R时,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.(

)(3)存在实数α,β,使cos(α+β)=cosα-cosβ成立.(

)×√√×合作探究释疑解惑探究一给角求值问题【例1】

(1)cos345°的值等于(

)解析:cos

345°=cos

15°=cos(60°-45°)=cos

60°cos

45°+sin

60°sin

45°=答案:C(2)化简下列各式:①cos(θ+21°)cos(θ-24°)+sin(θ+21°)sin(θ-24°);②-sin167°sin223°+sin257°sin313°.分析:灵活运用两角和与差的余弦公式求值.解:①原式=cos[θ+21°-(θ-24°)]=cos

45°=,所以原式=.②原式=-sin(180°-13°)sin(180°+43°)+sin(180°+77°)sin(360°-47°)=sin

13°sin

43°+sin

77°sin

47°=sin

13°·sin

43°+cos

13°cos

43°=cos(13°-43°)=cos(-30°)=.应用Cα+β和Cα-β求值时的技巧:(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差,用公式直接求值.(2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角和或差的余弦公式的结构形式,逆用公式求值.【变式训练1】

求下列各式的值:(2)sin460°sin(-160°)+cos560°cos(-280°);(3)cos(α+20°)cos(40°-α)-sin(α+20°)sin(40°-α).(2)原式=-sin

100°sin

160°+cos

200°cos

280°=-sin

80°sin

20°-cos

20°cos

80°=-(cos

80°cos

20°+sin

80°sin

20°)=-cos

60°(3)cos(α+20°)cos(40°-α)-sin(α+20°)sin(40°-α)=cos[(α+20°)+(40°-α)]=cos

60°探究二给值(式)求值问题角的变换是三角变换中的常用技巧,常用的角的变换有:α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α=(2α-β)-(α-β),α=[(α+β)+(α-β)],α=[(β+α)-(β-α)]等.探究三给值求角问题分析:根据条件先求cos(α-β)的值,再结合α-β的范围,求角α-β的值.例3中条件不变,求角α+β的值.已知三角函数值求角的解题步骤:(1)界定角的范围,根据条件确定所求角的范围.(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数.(3)结合三角函数值及角的范围求角.易错辨析因忽略角的取值范围致错以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你如何防范?提示:先确定角的取值范围,再求值,产生错误的原因在于没有从cos

B=-<0发掘出B为钝角,∴A+B为钝角,∴cos(A+B)=-.在三角求值时,有时需根据条件确定角的取值范围.有时可根据三角函数值的符号缩小角的取值范围,有时需根据三角函数值的大小结合三角函数的单调性缩小角的取值范围.随堂练习答案:C答案:B答案:AD4.sin(α-β)sinα+cos(α-β)cosα=