高等数学（经济类-上册第2版）课件：中值定理

1微分中值定理与导数应用中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理四、小结2小球的竖直上抛运动小球的变速直线运动若两次到达同一位置，则折返点处小球的变速直线运动若两次到达同一位置，则折返点处一、罗尔定理满足:(1)在闭区间上连续(2)在开区间

内可导(3)使在内至少存在一点几何解释连续曲线端点函数值相等处处有不垂直于轴的切线曲线弧内至少有一条水平切线7为了证明罗尔定理，我们需要引入两个概念——极大值和极小值，以及和这两个概念相关的一个引理——费马引理.定义1设函数在的某一邻域内有定义，若对一切有称是的极小值点，则称在取得极小值，极小值和极大值统称为极值，极小值点和极大值点统称为极值点．(大)(大)8引理（费马引理）若函数在点可导，且在点取得极值，则证明：不妨设在取得极大值，则存在某邻域，对任意有从而，当时而当时由在点可导及极限的保号性，可知且若曲线满足的点称为函数的驻点.

9注1在取得极大值或极小值，费马引理的几何意义：则此切线必平行于轴.且曲线在有不垂直于轴的切线，注2费马引理可以简述为：可导函数在取得极值的必要条件：可导的极值点必为函数驻点亦即，是的驻点.下面用费马引理来证明罗尔定理.一、罗尔定理满足:(1)在闭区间上连续(2)在开区间

内可导(3)使在内至少存在一点证明思路：寻找内的驻点可导的极值点是驻点寻找内可导的极值点条件(2)寻找内的最值点条件(1)上有最大、小值点寻找内的极值点闭区间上连续函数的最值定理至少一个至少一个至少一个条件(3)？！最大值、最小值是两个不同数值因为在上连续，12罗尔定理的证明:故在上取得最大值

小值.若,则因此若,不妨设则至少存在一点使则由费马引理得

和最则

和

中至少有一个与端点值不等,123关于罗尔定理条件的说明123123(1)定理条件不全具备,结论不一定成立.注3(2)定理条件只是充分的。寻找内可导的极值点至少一个123关于罗尔定理条件的说明注3则是一元三次方程，15

不求函数的导数，说明方程有几个实根.解：例1显然，因此，函数在区间上皆满足罗尔定理的条件.于是，在区间内分别至少存在的一个实根，即至少有3个实根.另一方面，是四次多项式，是三次多项式，至多有3个实根.综上，方程有且只有3个实根.

若在内至少存在一个零点.

试证多项式函数分析:在上，满足罗尔定理的条件内连续，可导，例2零点定理失效.利用罗尔定理证明函数零点的存在性.17

若在内至少存在一个零点.

试证多项式函数证明：例2令，则且由题设知.可见，在区间上满足罗尔定理的条件，从而，至少存在一点，使得即说明是的一个零点.结论表明曲线上某点切线水平，18罗尔定理中条件表明端点弦水平，曲线上某点处的切线平行于端点弦去掉罗尔定理中的条件结论不一定成立？满足罗尔定理条件？！！19二、拉格朗日中值定理满足:(1)在闭区间上连续(2)在开区间

内可导使在内至少存在一点几何解释连续曲线处处有不垂直于轴的切线曲线弧内至少有一条平行于端点弦的切线20拉格朗日中值定理的证明:令，记在上连续，在区间使得显然，内可导，且因此，根据罗尔定理可知，至少存在一点即21注4(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使拉格朗日中值定理罗尔定理特殊形式(3)注5拉格朗日中值定理的物理意义沿直线运动的物体，位置函数时间段内平均速度速度函数在运动过程中，某时刻瞬时速度等于平均速度22注6拉格朗日中值定理的其他形式(1)结论也可写作借用导函数性态估计函数性态函数满足且，试估计.23注6拉格朗日中值定理的其他形式(1)结论也可写作借用导函数性态估计函数性态24注6拉格朗日中值定理的其他形式(1)结论也可写作（2）拉格朗日中值定理的有限增量形式:推论若函数在区间I上满足则在I上必为常数.（3）借用导函数性态估计函数性态利用上述推论可以证明恒等式的成立.25例3故所证等式在定义域上恒成立.证明等式证明：设，显然，时由拉格朗日中值定理的推论，可知而，又由于，故26思考函数的定义域为，于，但在是否与推论矛盾呢？不是常数，答：拉格朗日中值定理及其推论给出的是函数在一个区间这里不是一个区间，上的性质，而在内确实都恒为常数.27利用拉格朗日公式里中值的范围，可以进行不等式的证明.例4证明当时在区间上满足证明：即证变形为差商形式设，显然，证毕.由，利用拉格朗日中值公式有又由，得于是成立.拉格朗日中值定理的条件.28例5证明：若在上连续，在内可导，且且，则在上严格单增．证明：任取，所以在上严格单增．对在区间上应用拉格朗日中值定理，得到由假设知，且，故从上式推出，即．类似可证：若则在上严格单减．29三、柯西中值定理它的端点弦的斜率为对于由参数方程所表示的曲线，阐述这个结论的正是柯西中值定理．若拉格朗日中值定理也适合这种情形，则应有30三、柯西中值定理满足:(1)在闭区间上连续(2)在开区间

内可导(3)使在内至少存在一点函数分析:要证31证:

作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考:

柯西定理的下述证法对吗?两个

不一定相同则在区间上连续，在区间内可导，证毕.上面两式相比即得结论.32注7即，若令拉格朗日中值定理可看作柯西中值定理的特例.