湖南省祁阳市第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

2024-2025学年祁阳一中第一学期期中考试试题高三数学2024.11.13注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．若，则复数的共轭复数的虚部是（

）A． B． C． D．3.已知和的夹角为，且，则（）A.9 B. C.3 D.94.设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A. B.C. D.5．已知，都是锐角，，，则（）A． B． C． D．6.设，分别是椭圆的右顶点和上焦点，点在上，且，则的离心率为（）A. B.C.D.7.已知函数定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（）A.的周期为2 B.图象关于直线对称C.为偶函数 D.为奇函数8.已知函数在区间上有且仅有一个零点，当最大时在区间上的零点个数为（）A.466 B.467 C.932 D.9339．下列关于平面向量的说法中正确的是（

）A．不共线，且，则.B．若向量，且与的夹角为钝角，则的取值范围是C．已知，则在上的投影的坐标为D．已知点为的垂心，则10．某中学积极组织学生参加课外体育活动.现操场上甲、乙两人玩投篮游戏，每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则继续投篮，若未投中，则换另一人投篮.假设甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，由掷两枚硬币的方式确定第一次投篮的人选（一正一反向上是甲投篮，同正或同反是乙投篮），以下选项正确的是（

）A．第一次投篮的人是甲的概率为B．已知第二次投篮的人是乙的情况下，第一次投篮的人是甲的概率为C．第二次投篮的人是甲的概率为D．设第次投篮的人是甲的概率为，则11.如图，圆锥的底面直径和母线长均为6，其轴截面为，为底面半圆弧上一点，且，，，则（）A.当时，直线与所成角余弦值为B.当时，四面体的体积为C当且面时，D.当时，三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：，则这组数据的第75百分位数是.13．已知，且，则.14．点是右支上一点，若的内切圆的圆心为，半径为，且，使得，则的离心率为______．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．（本题满分13分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为等边三角形且垂直于底面.（1）求证：；（2）求平面与平面夹角的正弦值.16．（本题满分15分）在中，内角，，的对边分别为，，，．（1）求；（2）若角的平分线交边于点，，求面积的最小值．17．（本题满分15分）在数列中，，其前n项和为，且（且）.（1）求的通项公式；（2）设数列满足，其前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.18．（本题满分17分）己知函数．（1）当时，判断在上的单调性，并说明理由；（2）当时，恒成立，求的取值范围；（3）设，在的图像上有一点列，直线的斜率为，求证：．19．（本题满分17分）已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左顶点和上顶点，为左焦点，且的面积为．（1）求椭圆的标准方程：（2）设椭圆的右顶点为、是椭圆上不与顶点重合的动点．（i）若点，点在椭圆上且位于轴下方，直线交轴于点，设和的面积分别为，若，求点的坐标：（ii）若直线与直线交于点，直线交轴于点，求证：为定值，并求出此定值（其中、分别为直线和直线的斜率）．2024-2025学年祁阳一中第一学期期中考试试题2024.11一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．A2．B3．D4．C5．D6．C7．D8．B二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．9．BD10．BCD11．ACD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．12．87.5 13．2或6414．2四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）解：（1）证明：如图所示，取中点，为等边三角形，， …………..2分又面垂直于底面，交线为，得面， …………..3分又面. …………..4分底面为直角梯形，，，，，，所以，，，所以，得， …………..5分又，得面，面，所以. …………..6分（2）由（1）知面，不妨设，则，以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，分别以、所在直线为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系， …………..7分得，B1,0,0，C1,1,0，… …………..8分，，； …………..9分设平面的一个法向量为，则，，可取； …………..10分设平面的一个法向量为m=x则，即，可取. …………..11分设平面与平面夹角为，则， …………..12分所以平面与平面夹角的正弦值为. …………..13分16．（本小题满分15分）解：（1）因为，由正弦定理得， …………..2分则，即， …………..4分又，所以，所以，又，所以， …………..6分所以，所以； …………..7分（2）如图，由题意及第（1）问知，，且， …………..8分∴，∴，化简得，∵，，∴由基本不等式得， …………..10分∴， …………..11分当且仅当时，等号成立， …………..12分∴， …………..13分∴， …………..14分故的面积的最小值为. …………..15分17．（本小题满分15分）（1）因为，代入，整理得， …………..2分所以， …………..4分以上个式子相乘得，. …………..6分当时，，符合上式，所以. …………..7分（2）. …………..9分所以，① ………….10分，② ………….11分①②得，， …………..12分所以. …………..13分由得：，因为，当且仅当时，等号成立， …………..14分所以，即的取值范围是. …………..15分18．（本小题满分17分）解：（1）在上单调递减，理由如下：当时，， …………..1分，，…..2分所以函数在上单调递减，当时，，所以， …………..3分所以，所以在上单调递减. …………..4分（2）当时，fx=sinx当时，②，，设ux=cosx+3ax2时，，设， …………..6分当时，，， …………..7分要使①恒成立，由于②，则需恒成立，所以恒成立，所以，. …………..8分此时，在0,+∞上单调递增，u'ux=cosx+3在0,+∞上单调递增， …………..9分使得fx=综上所述，的取值范围是. …………..10分（3）由（2）可知，当，时，fx=sin即时，恒成立， …………..12分下证：，时，， …………..13分由上述分析可知，，即，则，所以==1-16⋅22ii，即得证....17分19．（本小题满分17分）解：（1）由题意得，解得…………3分椭圆的标准方程为… ………4分（2）（i）由（1）可得，连接，因为，，所以，， …………5分，所以， …………6分所以直线的方程为， …………7分联立，解得或（舍去），. …………8分（ii）设直