相关性与Copula函数

10.1RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20091.1相关系数变量V1

和

V2

的相关系数被定义为变量V1

和

V2

的协方差被定义为因此相关系数又可以写为:10.2RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20091.2相关系数和相关性E(V2)V1(a)E(V2)V1(b)E(V2)V1(c)10.3RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20091.2相关系数和相关性（续）相关系数只能刻画两个变量的线性相关性。两个变量之间的相关性不一定是线性的相关性。10.4RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20091.3零相关如果两个变量的相关系数为0，就意味着变量毫无关联吗？答案是否定的！例如,有V1

=–1;0;+1有均等的可能;若

V1=–1或

V1=+1则V2

=+1;若V1

=0则V2

=0;在这里我们可以清楚地看到V2和V1有某种关联性，但相关系数为零.10.5RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20091.3独立与零相关如果两个变量中，其中任意一个变量的信息（观测值）不会影响另一个变量的分布，那么两个变量在统计上被定义为独立。

精确地讲，如果对于所有的x等式成立,

独立一定零相关而零相关不一定独立。

其中f(∙)是概率密度函数，则V1

和

V2相互独立。10.6RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20092.协方差模型假定变量X

和

Y

在第i天结束时的价值为Xi

和

Yi

，变量X

和

Y

在第i天的收益率为第i天的协方差covi=E(xiyi)–E(xi)E(yi)常常假定变量每天的预期收益为0，因此这意味着变量X及Y在第i天的协方差可以被简化为E(xiyi).10.7RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20092.1协方差与相关系数则变量X

和

Y在第i天的相关系数为其中varx,i

和

vary,i

是变量X

和

Y的第i天变化的方差，10.8RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20092.2协方差模型在

EWMA中，同样可以采用与更新方差类似的方式更新协方差:在GARCH(1,1)中,X

和

Y

协方差的更新由下式给出:10.9RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20092.3协方差矩阵的半正定矩阵性方差协方差矩阵Ω

满足内部一致性条件，如果此矩阵为半正定矩阵，也就是对于任意向量w,以下不等式成立10.10RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull2009例考虑一下矩阵:可以这么这个矩阵不满足内部一致性:第1个变量和第2个变量均同第3个变量高度相关，但是第1、2个变量之间无关，.如果令w

=

(1,1,–1),可以验证此矩阵不满足半正定条件.10.11RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20093.1二元正态分布我们假定两个变量V1

和

V2服从二元正态分布.变量V1

和

V2的无条件期望值和标准差分别为μ1,μ2eσ1,σ2,相关系数为

ρ.

假设已知V1

有一个观测值

v1.根据以上信息,变量

V2

也服从正态分布，

其均值为

标准差为10.12RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull2009假设变量U1,U2,...,UN

均服从标准正态分布..在单因子模型中，每个Ui

(i=1,2,...,N)均同一个共同的因子F及另外一个相互独立的因子有关，准确地讲:在多因子模型中，这个表达式变为:3.2因子模型10.13RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20093.2因子模型（续）假设N

个变量,Ui

(i=1,2,...,N),均服从一个多元正态分布,则需要顾及

N

×(N

–1)/2

[=(N

×N–N)/2]个相关系数.如果满足这些变量满足因子模型的假设，则待估计参数的个数减至N

个.10.14RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20094.1高斯

Copula模型问题：已知两个随机变量，V1

和V2，不服从多元正态分布的变量之间的相关关系，并且已经估计出它们的边际分布。想通过假设它们的相关性而得到他们联合分布情况。10.15RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20094.1高斯

Copula模型（续）假设变量U1

和U2服从正态分布，相关系数为

ρ.第一步：将V1

，V2,与

U1,U2建立对于关系：把变量V1

转化为一个服从正态分布的变量,U1,分位数与分位数之间的一一映射.

注：实际上为正态分布，因为10.16RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20094.1高斯

Copula模型（续）同理把变量V2

转化为一个服从正态分布的变量,U2,分位数与分位数之间的一一映射.

可称为Copula函数。

第二步通过U1，

U2的联合分布定义V1，V2的联合分布函数：10.17RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20094.1高斯

Copula模型（续）这种用Copula函数构造的V1，V2联合分布能保证V1，V2的边际分布不变！10.18RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20094.2通过Copula函数定义V1

和

V2

的联合分布CorrelationAssumptionV1V2U1MappingU2Mapping10.19RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull2009例假定V1

和

V2的边际分布上图所示的为三角分布.两个变量均介于0〜1.V1

及

V2

和U1

及

U2

之间的映射为分位数与分位数

之间的一一映射.V1V210.20RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull2009例当V1<0.1时，对应于累积概率为底为0.1高为1的三边形面积.因此等于0.05(=½×0,1

×1),也就是

5%.V1=0.1的值被映射到标准正态分布5%的分位数，其值为–1,64.以此类推.V1Percentile

U10,15,00-1,640,220,00-0,840,338,75-0,29.........10.21RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull2009例当V2

<0.1时，对应于累积概率为底为0.1高为0.2的三边形面积.因此等于0.02(=½×0.1

×0.2),也就是

2%.V2=0.1的值被映射到标准正态分布2%的分位数，其值为–2.05.以此类推.V2Percentile

U20,12,00-2,050,28,00-1,410,318,00-0,92.........10.22RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull2009例假设U1

和

U2

之间的相关系数为0.5.上表显示出V1

和V2之间的联合分布.V1<0,1及V2<0,1的概率同

U1<–1,64及

U2<–2,05.的概率相同.如果

ρ=0,5在二元正态的情形下，这一概率仅仅为0,006.V1V20,10,20,30,40,50,60,70,80,90,10,0060,0170,0280,0370,0440,0480,0490,0500,0500,20,0130,0430,0810,1200,1570,1810,1930,1980,2000,30,0170,0610,1240,1970,2740,3310,3640,3810,387..............................10.23RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20094.3其他Copula函数高斯Copula函数只是定义了V1及V2相关结构的某一种形式，还有许多其他Copula函数可以用于描述相关结构.其中一种Copula函数被称为Student

t-copula函数.这种Studentt-copula函数同髙斯Copula函数类似，其不同之处只是U1

和

U2被假定为服从二元学生t分布.10.24RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20094.4因子Copula模型在多元Copula模型中，市场分析员常常假定变量Ui

之间的相关性由某种因子来决定。.当只有一个因子时，

Ui被定义为其中，因子

F

和

Zi分别服从标准正态分布.Zi之间相互独立，F与Zi之间也相互独立.

10.25RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull20095违约相关性(DefaultCorrelation)两家公司之间的违约相关性(defaultcorrelation)

以一个衡量他们差不多同时违约的测度.Ladefaultcorrelationèimportanteaifinidelriskmanagementquandosianalizzanoibeneficidelladiversificazione.Èancheimportanteaifinidellavalutazionedialcuniderivaticreditizi.10.26RiskManagementeIstituzioniFinanziarie,2aEdizione,Copyright©JohnC.Hull2009高斯Copula函数的单因子模型定义Ti为公司i的违约时间.Qi=Prob(Ti<T)为Ti的累积概率分布.Ti

与

Ui

(标准正态分布)分位数之间进行一一对应的映射.当U

=N–1[Qi(T)]时，Prob(Ti

<T)=Prob