数学课堂导学：用平面向量坐标表示向量共线条件

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、两向量共线的判断利用a=λb和坐标表示x1y2—x2y1=0来判断。设a=（x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，则a与b共线的条件是a=λb；用坐标表示可写为（x1,y1）=λ（x2,y2),即消去λ后得x1y2—x2y1=0,也就是说,当且仅当x1y2—x2y1=0时,向量a、b（b≠0）共线.【例1】判断下列向量a与b是否平行:(1)a=（,）,b=(-2，—3）;（2）a=（0.5，4),b=（-8,64)；（3)a=（2,3），b=(3,4）；(4)a=(2，3),b=（,2).思路分析:设a=（a1,a2),b=(b1，b2），则a∥ba1b2-a2b1=0.解:(1)×（—3)—×（-2）=+=0,∴a∥b。(2）0。5×64—4×（-8）=32+32=64≠0,∴ab。(3)2×4-3×3=8-9=-1≠0,∴ab.(4)2×2—3×（）=4+4=8≠0,∴ab。温馨提示由于a2≠0,b2≠0，因此也可以这样判定：（1）,∴a∥b.(2），∴.∴ab.（3）≠,∴ab。(4）≠，∴ab.各个击破类题演练1已知A（—2，—3），B(2，1），C（1,4)，D(—7，-4),判断与是否共线?思路分析：判断两个向量是否共线,可直接利用坐标形式的条件x1y2—x2y1=0来判断.解：=(2，1）-（-2，—3）=（4,4）,=（-7，-4）-(1,4）=(—8，-8)，∵4×（-8）—4×(-8）=0,∴∥,即和共线.变式提升1a=（1，2）,b=(-3,2）,当k为何值时，ka+b与a—3b平行?平行时它们是同向还是反向？解法一：ka+b=k（1，2)+(—3,2)=（k-3,2k+2)，a—3b=（1，2）—3（-3,2）=(10，—4），当ka+b与a—3b平行时,存在唯一实数λ使ka+b=λ（a—3b),由（k—3，2k+2)=λ（10，—4),得解得k=λ=—。∴当k=—时,ka+b与a—3b平行，这时ka+b=-a+b=—(a-3b)。∵λ=-〈0,∴ka+b与a—3b反向。解法二：由解法一知ka+b=(k-3，2k+2），a—3b=（10，-4），∵ka+b与a-3b平行，∴(k-3)×(-4）—10×（2k+2)=0,解得k=-，此时ka+b=(——3，+2)=—(a-3b）.∴当k=—时,ka+b与a—3b平行,并且反向。二、坐标法证三点共线问题证明三点共线(或两直线平行、重合)(1)证明两直线平行,可通过证这两直线上的两向量共线，且无公共点.(2)证明三点共线,可通过证由这三点构成的两个向量共线，且有公共点.(3)证三点共线常见的方法还有：证得两条较短的线段之和等于第三条线段的长度，以及利用斜率或直线方程,证明三点为顶点的三角形面积为零等.【例2】如果向量=i—2j,=i+mj,其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值,使A、B、C三点共线。思路分析：只需根据向量共线的条件，解关于m的方程即可.解法一：∵A、B、C三点共线即、共线，∴存在实数λ使=λ,即i—2j=λ(i+mj）。∴∴m=—2。∴m=—2时，A、B、C三点共线。解法二：依题意知：i=(1，0），j=（0，1)，=（1,0）—2(0，1）=(1，—2)，=(1，0）+m(0，1）=(1,m）。而,共线，∴1×m+2=0.∴m=-2。故当m=—2时,A、B、C三点共线.温馨提示向量共线的几何表示与代数表示形式不同，但实质一样,在解决具体问题时要注意选择使用。类题演练2向量=(k，12），=（4,5）,=(10,k）,当k为何值时，A、B、C三点共线？解:=—=(k，12）—（4，5）=（k-4,7)，=-=(k，12）-(10,k）=（k-10,12—k),∵A、B、C三点共线,∴∥，即（k-4)（12—k）—（k-10）×7=0，整理，得k2-9k-22=0，解得k1=-2或k2=11,∴当k=-2或11时,A、B、C三点共线。变式提升2证明下列各组点共线：(1）A(1,2），B(—3,—4),C(2,3.5）；（2)P（-1，2),Q（0.5，0)，R(5,—6).证明:(1）=（—3,—4）-(1,2)=（-3-1，-4-2）=（-4,-6)，=（2,3.5)-（—3，-4）=（2+3,3.5+4）=(5,7。5).∵-4×7。5-(-6）×5=0（或)，∴∥。又∵、有公共点B，∴A、B、C三点共线.（2)=（0。5,0)-(-1，2）=(0.5+1，0—2)=（1。5，-2),=（5,-6)-(0.5,0)=(5-0。5，—6—0）=（4。5,—6),∴1。5×(—6）-（—2)×4.5=-9+9=0(或）。∴∥。又∵、有公共点Q，∴P、Q、R三点共线.三、向量共线的坐标应用平面向量共线的坐标表示常应用于：（1）求点的坐标；（2)确定参数的值（比值）；(3）平面几何中的证明问题.向量共线的坐标表示与几何表示形式不同但实质一样，在解决问题时要不拘泥于形式,灵活运用。【例3】平面内给定三个向量a=（3,2),b=(—1，2），c=（4，1）.(1)求3a+b—2（2)求满足a=mb+nc的实数m，n;(3)若a+kc∥(2b-a)，求实数k；（4）设d=（x，y）满足（d—c）∥（a+b）且｜d-c｜=1，求d。思路分析：对于（1），可直接用坐标运算得出结果。对于(2），可将向量相等转化为关于坐标的方程组.对于（3)（4),都可运用向量平行的条件，将其转化为关于坐标的等式求解。解：（1）3a+b-2（2）∵a=mb+nc,∴(3，2)=m(-1,2)+n（4，1）=（-m+4n,2m+n).∴(3）∵（a+kc）∥（2b-a）,又a+kc=（3+4k，2+k）,2b-a=(—5，2）,∴2×(3+4k)-(-5）×(2+k）=0。∴k=。(4）∵d-c=（x-4，y—1），a+b=(2,4）,又(d—c)∥（a+b)且｜d—c|=1,∴解之，得∴d=()或d=(）.类题演练3已知a≠0,b≠0，且ab,求证:a+ba-b。证明：令a=(x1，y1），b=（x2,y2),a+b=（x1+x2，y1+y2）,a-b=（x1—x2,y1-y2)，假设a+b∥a—b,则(x1+x2）（y1—y2)-（y1+y2）（x1-x2)=0,即x1y1+x2y1—x1y2-x2y2-x1y1—x1