数学课堂导学：6余弦函数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析1。余弦函数诱导公式【例1】有下列命题，其中正确的命题的个数是(）①终边相同的角的同名三角函数的值相同②终边不同的角的同名三角函数的值不等③若sinα＞0，则α是第一、二象限的角④若α是第二象限的角,且P（x,y）是其终边上一点,则cosα=A.1B。2C思路分析:运用概念判断,④中的x要具体分析它的正负。解析：由任意角三角函数定义知①正确;对②，我们举出反例sin=sin;对③,可指出sin＞0,但不是第一、二象限的角；对④，应是cosα=,综上选A。答案：A友情提示要准确地理解任意角的三角函数定义，可与三角函数线结合记忆。各个击破类题演练1在［0，2π）内，使sinx＞cosx成立的取值范围是（)A.（，）∪(π，）B。（，π）C.（,）D。（，π）∪（,）解析:作出[0，2π）区间上的正弦和余弦函数图象，易知两交点的横坐标为和,由右图可知C正确.答案：C变式提升1作出函数y=1+cosx（0≤x≤2π）的图象。解:列表：x0π2πcosx10—1011+cosx21012描点作图【例2】已知cos（—α)=，求cos(+α)-sin2(α—)的值。思路分析:注意到—α++α=π可以把+α化成π-(—α），α—=-（-α）利用诱导公式即可.解：cos（+α）=cos［π-（-α)]=-cos(-α）=—,sin2（α-)=sin2［-（—α)]=1—cos2(—α)=1—()2=,∴cos（+α）—sin2（α—)=——=.友情提示此类题目要灵活运用诱导公式，在做题时要注意观察角与角之间的关系，例如+α=π-（-α）.从而利用诱导公式把未知三角函数值用已知三角函数表示出来。类题演练2把下列三角函数值从小到大排列起来：sinπ,—cosπ，sinπ,cosπ.解析：sinπ=sin（π—)=sin，—cosπ=-cos（π+)=cos=sin,sinπ=sin（6π+π）=sinπ,cosπ=sin，sin＜sin＜sin＜sinπ,即cos＜sin＜-cos＜sin.变式提升2sin（2nπ+）cos(nπ+)=_________(n∈Z）.解析:（1）当n为奇数时，原式=sin（-cos）=sin（π—)［-cos（π+）］=sincos=×=；（2）当n为偶数时，原式=sincos=sin(π—)cos（π+）=sin(—cos）=×（—)=。答案：±2.余弦函数性质的应用【例3】判断下列各式的符号：（1）tan250°·cos(—350°）；（2）sin151°cos230°;(3)sin3cos4sin5;(4)sin(cosθ)·cos（sinθ)（θ是第二象限角）.思路分析：本题主要考查三角函数的符号.角度确定了，所在的象限也就确定了.三角函数的符号也就确定了。进一步再确定各式的符号.对于（4）,视sinθ，cosθ为弧度数.解：（1）∵tan250°＞0,cos（—350°）＞0,∴tan250°·cos(—350°）＞0。(2)∵sin151°＞0,cos230°＜0,∴sin151°·cos230°＜0。（3）∵＜3＜π,π＜4＜，＜5＜2π，∴sin3＞0，cos4＜0,sin5＜0，∴sin3·cos4·sin5＞0。（4）∵θ是第二象限角,∴0＜sinθ＜1＜,∴cos(sinθ）＞0.同理，—＜-1＜cosθ＜0，∴sin(cosθ)＜0，故sin(cosθ)·cos（sinθ)＜0.友情提示(1）判断各三角函数值的符号，须判断角所在的象限.(2)sinθ既表示角θ的正弦值，同时也可以表示［—1，1］上的一个角的弧度数.（4)中解题的关键是将cosθ、sinθ视为角的弧度数。类题演练3判定下列各式的符号：（1)sin105°·cos230°；(2）sinπ·cosπ；(3）cos6·sin6;(4）sin4·cos（π).解：（1)∵105°,230°分别为第二、三象限角,∴sin105°＞0,cos230°＜0.∴sin105°·cos230°＜0。（2）∵＜＜π,∴π是第二象限角。∴sinπ＞0，cosπ＜0。∴sinπ·cosπ＜0.(3）∵π＜6＜2π,∴6弧度的角是第四象限角.∴cos6＞0，sin6＜0，∴cos6·sin6＜0.（4）∵π＜4＜π,∴sin4＜0。又π=—6π+，∴π与终边相同。∴cos（π)＞0。∴sin4·cos（π)＜0.变式提升3已知α是第三象限角,试判断sin(cosα）·cos(sinα）的符号。解析：∵α是第三象限角，∴cosα＜0，sinα＜0.又|sinα｜＜1,|cosα|＜1，∴-1＜cosα＜0，—1＜sinα＜0，∴sin（cosα)＜0,cos(sinα)＞0,∴sin(cosα）·cos(sinα)＜0.3。求余弦函数的单调区间【例4】函数y=cos（—2x）的单调递减区间是______________。解析:y=cos（—2x）是y=cosμ,与μ=—2x的复合函数.∵μ=—2x为减函数.∴原函数的单调递减区间即为y=cosμ在定义域上单调递增区间.由2kπ-π≤μ≤2kπ(k∈Z)，得—kπ+≤x≤-kπ+π(k∈Z），即y=cos(—2x）的单调递减区间为［kπ+,kπ+π］,k∈Z。答案:［kπ+，kπ+π］，k∈Z友情提示本题容易错解为2kπ≤-2x≤2kπ+π，k∈Z,而忽略f(x）=—2x为单调减函数。类题演练4函数f（x）=Msin(ωx+φ)(M＞0,ω＞0）在区间［a,b]上是增函数,且f(a)=—M,f（b）=M，则函数g(x)=Mcos(ωx+φ）在［a，b］上（）A.是增函数B。是减函数C.可能取最大值MD.可能取最小值—M解析:可画图象求解，答案：C变式提升4求函数y=lgsin(630°-2x)的最大值。解析:sin(630°-2x）=sin（36