数学课堂导学：同角三角函数的基本关系

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析1.公式sin2α+cos2α=1与=tanα的推导及应用【例1】已知sinθ、cosθ是关于x的方程x2-ax+a=0的两根。(1)求sin3θ+cos3θ的值；（2)求tanθ+的值.思路分析：（1)利用韦达定理,用a的代数式表示sinθ+cosθ与sinθcosθ。（2)利用同角三角函数关系式sin2α+cos2α=1，结合（1)构造关于a的方程.(3)求a值,注意检验a是否满足题意。（4)利用前面推导的结果及同角三角函数关系式求值.解：由韦达定理得所以a2=（sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=1+2a,即a2—2a—1=0。所以a=1±。又方程有两根，则Δ=(—a)2-4a≥0，即a≤0或a≥4，所以a=1—,即sinθ+cosθ=sinθcosθ=1—.（1）sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ）(sin2θ—sinθcosθ+cos2θ）=—2.（2）tanθ+=-—1。各个击破类题演练1已知sinθ-cosθ=，则sin3θ—cos3θ=__________.解析:∵sinθ-cosθ=,∴（sinθ—cosθ）2=.∴1—2sinθcosθ=。∴sinθcosθ=.∴sin3θ—cos3θ=（sinθ—cosθ）（sin2θ+sinθ·cosθ+cos2θ)=×（1+)=。答案:变式提升1已知:求sinθ·cosθ的值.解析:由,得,∴tanθ=2.∴sinθcosθ=.2.公式的变式应用【例2】已知sinα=t且|t｜＜1，求角α的余弦值和正切值.思路分析:由于已知sinα=t中含有参数,因而无法确定α所在的象限,这时应对参数角α进行分类讨论.解:∵sinα=t且|t|＜1,∴角α可能为四个象限和x轴上的轴线角.（1）当α为第一、四象限和x轴非负半轴上的角时,有cosα=，tanα==。（2)当α为第二、三象限和x轴非正半轴上的角时,有cosα=，tanα==。友情提示若已知正弦、余弦、正切中的某一个三角函数值是用字母表示的，且角所在象限也没有指定时，这个角α可能在四个象限(也可能是轴线角)，此时，不必按四个象限讨论,只需将四个象限角（可能含轴线角）的三角函数值分成两组讨论。【例3】化简下列各式：(1）；（2）.解析:(1）=cos2400°=|cos400°|=|cos（40°+360°）｜=|cos40°|=cos40°.（2)==—1。友情提示化简题目的目的：使项数尽可能地少，次数尽可能地低，函数的种类尽可能地少,分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定求值,尽可能地将根号中的因式移到根号外面。类题演练2若sinα=且α是第二象限角，则tanα的值等于（）A.B。C.±D。±解析：∵α是第二象限角,∴cosα=.∴tanα=.答案：A变式提升2已知tanα为非零实数，用tanα表示sinα,cosα.解析：∵sin2α+cos2α=1，∴sin2α=1—cos2α。∴tan2α=-1.于是cos2α=.由于tanα为非零实数,可知角α的终边不在坐标轴上.从而cosα=sinα=cosαtanα=类题演练3已知—1=—1，求的值.解析：由已知,得tanα=,所以。变式提升3证明恒等式:.证明：左边==右边所以原等式成立。3。公式应用中“１”的变换【例4】已知tanα=3，求sin2α+2sinαcosα+1的值。思路分析：对形如asin2α+bcosαsinα+ccos2α的值，可将分母1化为sin2α+cos2α,再分子分母同除以cos2α。解:sin2α+2sinαcosα+1=。友情提示若考虑不到将1变换，则式子不是同次的三角函数式，无法把弦全部化为切。类题演练4的值为（）A。sinα+cosαB。sinα—cosαC.cosα-sinαD.|sinα+cosα｜解析：∵1+2sinαcosα=sin2α+2sinαcosα+cos2α=。∴原式=（sinα+cosα）2=｜sinα+cosα｜.答案：D变式提升4如果θ是第三象限角，且满足=cos+sin,那么是（）A.第四象限角B.第三象限角C。第二象限角