广东省实验中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

广东实验中学2024-2025学年（上）高二级期中考试数学本试卷共5页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回.第一部分选择题（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则复数的虚部为（）A.1 B. C. D.2.一组数据23，11，31，14，16，17，19，27的百分之七十五分位数是（）A.14 B.15 C.23 D.253.在四面体OABC中，，，，G为三角形ABC的重心，P在OG上，且，则为（）A. B. C. D.4.已知随机事件A和B互斥，且，，则等于A.0.8 B.0.7 C.0.5 D.0.25.已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（）A. B. C. D.6.双曲线与椭圆有相同的焦点，一条渐近线的方程为，则双曲线的标准方程为（）A. B. C. D.7.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为，则椭圆E的方程为（）A. B. C. D.8.椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围为，则线段AB的长度的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在棱长为1的正方体中，E，F分别是AB，BC中点，则（）A.平面B.直线与平面所成的角为C.平面平面D.点E到平面的距离为10.已知点P是左、右焦点为，的椭圆上的动点，则（）A.若，则的面积为B.使为直角三角形的点有6个C.的最大值为D.若，则的最大、最小值分别为和11.如图，曲线C是一条“双纽线”，其C上的点满足：到点与到点的距离之积为4，据此判断，下列结论正确的是（）A.点在曲线C上B.点在C上，则C.点Q在椭圆上，若，则D.过作X轴的垂线交C于A，B两点，则第二部分非选择题（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知点在角的终边上，则________.13.若为偶函数，则_______.14.如图，椭圆与双曲线有公共焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为两曲线的一个公共点，且，I为的内心，，I，G三点共线，且，x轴上点A，B满足，，则的最小值为________；的最小值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线上，且与直线相切于坐标原点.（1）求圆M的标准方程；（2）经过点的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程.16.（15分）已知三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且.（1）若，求；（2）点d在边BC上且AD平分，若，求三角形ABC的周长.17.（15分）椭圆过点且离心率为，F为椭圆的右焦点，过F的直线交椭圆C于M，N两点，定点.（1）求椭圆C的方程；（2）若面积为，求直线MN的方程.18.（17分）在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，侧面底面ABCD，，且E，F分别为PC，CD的中点，（1）证明：平面PAB；（2）若直线PF与平面PAB所成的角为，①求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.②平面ADE将四棱锥分成上、下两部分，求平面ADE以下部分几何体的体积.19.（17分）已知双曲线的实轴长为4，渐近线方程为.（1）求双曲线的标准方程；（2）双曲线的左、右顶点分别为，，过点作与轴不重合的直线l与C交于P，Q两点，直线与交于点S，直线与交于点T.（i）设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的值；（ii）求的面积的取值范围.

广东实验中学2024-2025学年（上）高二级期中考试·数学参考答案1.C2.D3.C4.B5.A6.A7.A8.B9.【答案】ACD10.【答案】BCD11.【答案】ACD12.13.14.；9.【答案】ACD【解析】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，对于A，，，，显然，即平行于平面，而平面，因此平面，A正确；对于B，，，即有不垂直于DE，而平面，因此不垂直于平面，B错误；对于C，，，而，显然，，即，，，，平面，于是平面，而平面，因此平面平面，C正确；对于D，，，设平面的一个法向量，则，令，得，又，所以点E到平面的距离，D正确.故选：ACD10.【答案】BCD【详解】A选项：由椭圆方程，所以，，所以，所以的面积为，故A错误；B选项：当或时为直角三角形，这样的点P有4个，设椭圆的上下顶点分别为S，T，则，，，同理，知，所以当P位于椭圆的上、下顶点时也为直角三角形，其他位置不满足，满足条件的点P有6个，故B正确：C选项：由于，所以当最小即时，取得最大值，故C正确；D选项：因为，又，则的最大、最小值分别为和，当点P位于直线与椭圆的交点时取等号，故D正确.故选：BCD11.【答案】ACD【解析】对选项A，因为，由定义知，故A正确；对选项B，点在上，则，化简得，所以，，B错误；对选项C，椭圆上的焦点坐标恰好为与，则，又，所以，故，所以，C正确；对选项D，设，则，因为，则，又，所以，化简得，故，所以，故，所以，故D正确，故选ACD.12.【详解】由点在角的终边上可得，，则.13.[解析]设，易知的定义域为，且，所以为奇函数.若为偶函数，则也应为奇函数，所以，（在公共定义域内：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇）14.解：①由题意得椭圆与双曲线的焦距为，椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，不妨设点P在双曲线的右支上，由双曲线的定义：，由椭圆的定义：，可得：，，又，由余弦定理得：，即，整理得：，所以：，即，可得，当且仅当时等号成立.②为的内心，所以为的角平分线，则有，同理：，，，即，，故，为的内心，，I，G三点共线，即为的角平分线，进而是角的平分线，则有，又，，即，，，，所以，当且仅当时，等号成立.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）解析：（1）圆的圆心在直线上，设，则，解得，即，圆的半径为.圆的标准方程为；（2）经过点的直线l被圆M截得的弦长为，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时直线l被圆M截得的弦长为，不符，舍去；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即..解得或，直线l的方程为或.（说明：这里少一种结果扣2分）16.（15分）解析：（1）由正弦定理可知，.，，即，.由余弦定理知，又，（不写范围扣1分）由，知.又为直角三角形，，，故.（2）点D在边BC上且AD平分，所以，即，即，即.①又由于，即，即.②①代入②得到，所以或（舍去），所以的周长为.（说明：解答过程中从头到尾不写“正弦定理、余弦定理”扣1分）17.（1）由已知可得解得所以，椭圆C的标准方程为.（2）当直线MN与x轴重合时，不符合题意，设直线MN的方程为，联立，可得，，设，由韦达定理可得，，则，则，解得，所以直线MN的方程为.（说明：这里少一种结果扣2分）18.【解答】（1）取PB中点M，连接AM，EM，为PC的中点，，，又，，，，四边形ADEM为平行四边形，，平面PAB，平面PAB，平面PAB；（2）平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，，平面PAB，取AB中点G，连接FG，则，平面PAB，，，，，又，，，如图以G为坐标原点，GB为x轴，GF为y轴，GP为z轴建立空间直角坐标系，

，，，，，设平面PCD的一个法向量，，则，取，则，平面PAB的一个法向量可取，设平面PAB与平面PCD所成锐二面角为，，所以平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.②如图，，从而AD垂