新高考数学一轮复习讲练测第7章第03讲 直线、平面平行的判定与性质（练习）（解析版）

第03讲直线、平面平行的判定与性质（模拟精练+真题演练）1．（2023·陕西西安·统考一模）已知SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0外的两条直线，在SKIPIF1<0的前提下，“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0外的两条直线，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面内必存在一条直线与SKIPIF1<0平行，不妨设为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即充分性成立；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0可能平行，也可能相交，即必要性不成立；所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分不必要条件.故选：A.2．（2023·黑龙江大庆·统考二模）已知l，m是两条不同的直线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是两个不同的平面，则可以用来判断SKIPIF1<0的条件有（

）①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0④SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0A．①② B．①③ C．②③ D．①④【答案】D【解析】根据题意，依次分析4个条件：对于①，垂直于同一平面的两条直线平行，可以判断SKIPIF1<0，对于②，平面同一平面的两条直线可以平行、也可以相交或异面，不可以判断SKIPIF1<0，对于③，两个平行平面内的两条直线，可以平行、也可以相交或异面，不可以判断SKIPIF1<0，对于④，由直线与平面平行的性质分析，可以判断SKIPIF1<0，则可以判断SKIPIF1<0的是①④；故A，B，C错误.故选：D．3．（2023·江西赣州·统考模拟预测）如图，在正四棱台SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，则下列结论中一定不成立的是（

）

A．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】对于A选项，连接SKIPIF1<0，如下图所示：

在正四棱台SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，四边形SKIPIF1<0为平行四边形，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由正四棱台的几何性质可知，四边形SKIPIF1<0为正方形，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，A对；对于B选项，将正四棱台SKIPIF1<0补成正四棱锥SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，

因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，又因为四边形SKIPIF1<0为正方形，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，B对；对于C选项，取棱SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，

在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，所以，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故四边形SKIPIF1<0为梯形，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为两腰，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0相交，又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，从而直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0有公共点，即SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0不平行，C错；对于D选项，连接SKIPIF1<0，如下图所示：

因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故四边形SKIPIF1<0为平行四边形，所以，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在平面SKIPIF1<0内，以点SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，过点SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0的直线为SKIPIF1<0轴建立如图所示的平面直角坐标系，

设点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即当点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，D对.故选：C.4．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知平面SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内，有以下四个命题：①在SKIPIF1<0内过点SKIPIF1<0，有且只有一条直线垂直SKIPIF1<0；②在SKIPIF1<0内过点SKIPIF1<0，有且只有一条直线平行SKIPIF1<0；③过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0与SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的交线分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．则真命题的个数为（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内过点SKIPIF1<0，有且只有一条直线垂直SKIPIF1<0，故①正确；当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交线上时，在SKIPIF1<0内过点SKIPIF1<0，不存在直线平行SKIPIF1<0，故②错误；当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交线上时，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故③错误；SKIPIF1<0与SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的交线分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，由平面与平面平行的性质，可得SKIPIF1<0，故④正确．SKIPIF1<0真命题的个数为2．

故选：B．5．（2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）如图，已知正方体SKIPIF1<0的棱长为1，SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点．若点SKIPIF1<0为侧面正方形SKIPIF1<0内（含边界）的动点，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与侧面SKIPIF1<0所成角的正切值最大为（

）

A．2 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，如图所示：

在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，四边形SKIPIF1<0为平行四边形，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理可证SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，点SKIPIF1<0在侧面SKIPIF1<0内的轨迹为线段SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与侧面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与侧面SKIPIF1<0所成角的正切值为SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0到边SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与侧面SKIPIF1<0所成角的正切值的最大值为SKIPIF1<0，故选：D.6．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0与SM交于点N，则SKIPIF1<0的值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则平面SKIPIF1<0即为平面SKIPIF1<0，

因为SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B.7．（2023·云南昆明·统考模拟预测）已知正方体ABCD－A1B1C1D1，平面SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若直线AC到平面SKIPIF1<0的距离与BC1到平面SKIPIF1<0的距离相等，平面SKIPIF1<0与此正方体的面相交，则交线围成的图形为（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【答案】D【解析】如图，设SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共面，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离与SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离相等，即平面SKIPIF1<0为所求的平面SKIPIF1<0，故与正方体交线为正六边形SKIPIF1<0.故选：D8．（2023·江西赣州·统考二模）在棱长为4的正方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在正方体SKIPIF1<0的表面上运动，满足SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹所构成的周长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】延长SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延长线与SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，分别交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0则平行四边形SKIPIF1<0（SKIPIF1<0点除外）为点SKIPIF1<0的轨迹所构成的图形，因为正方体棱长为4，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则由几何关系可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹所构成的周长为SKIPIF1<0.故选：D9．（多选题）（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）下列命题正确的是（

）A．如果一条直线上两点到一个平面的距离相等，那么这个直线与这个平面平行B．两条平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等C．如果一个平面内一个锐角的两边，分别平行于另一个平面内一个角的两边，那么这两个平面平行D．如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直【答案】BC【解析】对于A，当直线上的两点位于平面的同侧时，可得直线与平面平行；当两点位于平面两侧时，直线与平面相交，故A错误；对于B，如图，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0确定一个平面，又因为SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0，所以根据平面与平面平行的性质得SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0是平行四边形，所以SKIPIF1<0，故B正确；

对于C，根据平面与平面平行的判定可知C正确；对于D，当平面内的无数条直线都平行时，不能得到直线与平面垂直，故D错误；故选：BC.10．（多选题）（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是三个平面，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．下列结论正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0可能是异面直线B．若SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0必然交于一点（即三线共点）C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0可能是异面直线【答案】BC【解析】对于A、B：由题意，知SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的公共点．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三线共点，故A错误，B正确．对于C、D：由题意，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可证SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C正确，D错误；故选：BC11．（多选题）（2023·广东梅州·统考三模）已知正方体SKIPIF1<0的棱长为2，SKIPIF1<0为四边形SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的一个动点，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上一点，若三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【解析】连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，

因为SKIPIF1<0为四边形SKIPIF1<0的中心，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为三棱锥SKIPIF1<0的体积等于三棱锥SKIPIF1<0的体积，且为定值，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0为同一平面，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点，所以SKIPIF1<0，故A错误，B正确；因为正方体的棱长为2，所以SKIPIF1<0．故C正确，D错误．故选：BC．12．（多选题）（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的动点，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的动点，则（

）

A．SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不垂直C．存在点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0【答案】CD【解析】对于A，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0相交，A错；因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，此时SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不重合，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0也垂直，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，不成立，所以此时SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不垂直，故B错；如图，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的动点，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的动点，所以存在点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，即存在点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，C正确；

对于D，将SKIPIF1<0和SKIPIF1<0放置于同一平面内，如图，

则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为等边三角形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，D正确.故选：CD13．（2023·广西贵港·贵港市高级中学校考三模）正方体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，给出下列四个命题：①上底边SKIPIF1<0的中点在平面SKIPIF1<0内②直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0不平行③平面SKIPIF1<0截正方体所得的截面面积为SKIPIF1<0④点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离相等．错误的命题是．【答案】①②④【解析】在①中，如图所示，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点共面，所以截面即为梯形SKIPIF1<0，所以上底边SKIPIF1<0的中点不在平面SKIPIF1<0内，故①错误；在②中，如图所示，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由条件可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故②错误；在③中，由①可知，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故③正确；在④中，记点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，故④错误．故答案为：①②④.14．（2023·山西临汾·统考三模）在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝2，过BC中点E的截面与AB，CD都平行，则截面的周长为．【答案】4【解析】设SKIPIF1<0的中点分别为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，根据三角形中位线定理，可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，因此四边形SKIPIF1<0是平行四边形，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此平行四边形SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<015．（2023·安徽·安徽省含山中学校联考三模）三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，过线段SKIPIF1<0中点E作平面SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都平行，且分别交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于F、G、H，则四边形SKIPIF1<0的周长为．【答案】2【解析】因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ABC，所以SKIPIF1<0EH，又点E为SKIPIF1<0中点，所以EH为三角形ABC的中位线，故SKIPIF1<0.同理，SKIPIF1<0所以四边形SKIPIF1<0的周长为2.故答案为：216．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）如图，直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．把SKIPIF1<0折起，使SKIPIF1<0至SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的动点，则有下列结论：①存在点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；②对任意点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0与SKIPIF1<0成异面直线；③存在点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；④存在点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．其中不正确的序号是．【答案】②③④【解析】对于①，取SKIPIF1<0的三等分点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0为平行四边形，则SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此①正确；对于②，当点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共面，故②错误；对于③，若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0垂直于平面内的任何直线，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不垂直于平面SKIPIF1<0，故③错误；对于④，若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，显然在SKIPIF1<0△SKIPIF1<0中不成立，故④错误．综上可得：②③④错误．故答案为：②③④17．（2023·河南·统考三模）如图，四棱锥SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0为梯形，SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M，N分别是PD，PB的中点．

(1)求证：直线SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值．【解析】（1）连接BD，SKIPIF1<0M，N分别是PD，PB的中点．SKIPIF1<0SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0两两之间互相垂直以SKIPIF1<0为原点，建立如图所示空间直角坐标系

SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0又SKIPIF1<0M，N分别是PD，PB的中点．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0令SKIPIF1<0可得法向量SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0得法向量SKIPIF1<0令平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角为SKIPIF1<0且为锐角SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值为SKIPIF1<0.18．（2023·北京·首都师范大学附属中学校考模拟预测）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面PAD，△PAD为等边三角形，SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面PBC交平面PAD直线l，E、F分别为棱PD，PB的中点．

(1)求证：SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0；(2)求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；(3)在棱PC上是否存在点G，使得SKIPIF1<0∥平面AEF？若存在，求SKIPIF1<0的值，若不存在，说明理由．【解析】（1）因为SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0直线l，所以SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0.（2）取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，由题意可得：SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为平行四边形，可得SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面PAD，则SKIPIF1<0平面PAD，由SKIPIF1<0平面PAD，则SKIPIF1<0，又因为△PAD为等边三角形，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，如图，以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0轴建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由题意可知：平面PAD的法向量SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值SKIPIF1<0.

（3）由（2）可得：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0∥平面AEF，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0∥平面AEF，此时SKIPIF1<0.19．（2023·辽宁丹东·统考二模）如图，平行六面体SKIPIF1<0的所有棱长都相等，平面SKIPIF1<0平面ABCD，AD⊥DC，二面角SKIPIF1<0的大小为120°，E为棱SKIPIF1<0的中点．(1)证明：CD⊥AE；(2)点F在棱CC1上，SKIPIF1<0平面BDF，求直线AE与DF所成角的余弦值．【解析】（1）（1）因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且两平面交线为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角，故SKIPIF1<0．连接SKIPIF1<0，E为棱SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面AED，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,因此SKIPIF1<0．（2）解法1：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．连SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点G，连SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面AEC,平面AECSKIPIF1<0平面BDF=OG所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，所以G为SKIPIF1<0中点，故SKIPIF1<0．且直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角等于直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因此直线AE与DF所成角的余弦值为SKIPIF1<0．解法2；设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．取SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0