2025年高考数学专项复习训练：直线与圆锥曲线的位置关系【七大题型】原卷版+解析版

专题8.8直线与圆锥曲线的位置关系【七大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1直线与圆锥曲线的位置关系】..........................................................4

【题型2圆锥曲线的弦长问题】................................................................4

【题型3圆锥曲线的中点弦问题】..............................................................6

【题型4圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题】..............................................7

【题型5圆锥曲线中的最值问题】..............................................................8

【题型6圆锥曲线中的向量问题1...............................................................................................9

【题型7圆锥曲线中的探索性问题】...........................................................11

►考情分析

1、直线与圆锥曲线的位置关系

考点要求真题统计考情分析

2022年新高考全国I卷：第

22题，12分

2022年新高考全国II卷:第22

题，12分圆锥曲线是高考的热点内容，直线

2023年新高考I卷：第22题，与圆锥曲线的位置关系是每年高考必考

（1）了解直线与圆锥曲线

12分内容.从近几年的高考情况来看，本节内

位置关系的判断方法

2023年新高考H卷:第21题，容主要以解答题的形式考查，考查方向

⑵掌握直线被圆锥曲线

12分主要有两个方面：一是平面解析几何通

所截的弦长公式

2023年全国甲卷（理数）：性通法的研究；二是圆锥曲线中的弦长、

⑶能利用方程及数形结

第20题，12分面积、最值、定点、定值或定直线等问

合思想解决焦点弦、中点

2024年新高考I卷：第16题，题的求解；有时会与向量、数列等知识

弦问题

15分结合考查，其思维要求高，计算量较大，

2024年新高考II卷：第10题，需要灵活求解.

6分

2024年新高考II卷：第19题，

17分

►知识梳理

【知识点1直线与圆锥曲线的位置关系】

1.直线与圆锥曲线的位置判断

将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y（或x）,得到关于x（或y）的一元二次方程，则直线与圆锥曲线

相交u台△>（）；直线与圆锥曲线相切u》A=。；直线与圆锥曲线相离u今△<0.

特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点.

②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点.

【知识点2圆锥曲线中的弦长问题】

1.椭圆的弦长问题

(1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.

工2V2

(2)弦长公式：设直线/:y=foc+加交椭圆后+方•=：!(a>6>0)于尸I(XQI),尸2(如”)两点，

则出尸21=0+左[Xi—句或l^lAl=J+%|凹—.

2.双曲线的弦长问题

2

①弦长公式：直线>=息+6与双曲线相交所得的弦长d=\^\+k\xi—x2\=十%|%-R.

②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.

③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直

线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.

④双曲线的通径：

过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还

是在〉轴上，双曲线的通径总等于笠

3.抛物线的弦长问题

设直线与抛物线交于/(%,%),夙X"乃)两点，贝U

2

\AB\=\/(1+k~\xx—x2)=+尸•7(X]+.2)2-4氏工2或

\AB\={(1+表)(M—乃丁=J1+表•,(%+于>一4川为(左为直线的斜率，际0).

【知识点3圆锥曲线中的中点弦与焦点弦问题】

1.椭圆的“中点弦问题”

(1)解决椭圆中点弦问题的两种方法

①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根

与系数的关系以及中点坐标公式解决.

②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中

点坐标和斜率的关系.

22

设/(%,珀，3(%2,歹2)，代入椭圆方程%+方=1(a>6>0),

①.②可得3+X2）'I—必）+（凹+Rj…）巾,

ab

设线段的中点为尸（X。/。），当x#X2时，有£+W=°.

因为尸（X。0。）为弦的中点，从而转化为中点尸（x。,%）与直线N2的斜率之间的关系，这就是处理弦

中点轨迹问题的常用方法.

（2）弦的中点与直线的斜率的关系

线段48是椭圆£+，=1（。>6>0）的一条弦，当弦所在直线的斜率存在时，弦AB的中点”的坐标

为,则弦AB所在直线的斜率为-孕，即心心kAB=~~.

aJ。Q

2.双曲线的“中点弦问题”

“设而不求”法解决中点弦问题：

①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的

这类问题中，则不能确定.要注意检验.

②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将

乃必转化为能用韦达定理直接代换的4+刈户产2.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化.

3.抛物线的焦点弦问题

抛物线y2=2/M>0）上一点/（无0,%）与焦点厂（彳,0）的距离为l"1=Xo+-y，若MV为抛物线y2=20x（f»>0）

的焦点弦，则焦点弦长为|MV|=Xi+x?+p（Xi,x2分别为MN的横坐标）.

设过抛物线焦点的弦的端点为/（矶弘）乃（向,g），则四种标准方程形式下的弦长公式为：

标准方程弦长公式

y2=2px(p>0)\AB\=x\+x0+p

y2=-2px(p>0)M=p-(X1+X2)

2

x=2py(p>0)\AB\=yi+y2+p

x2=-2py(p>0)\AB^p-(yx+y^

【知识点4圆锥曲线中最值问题的解题策略】

1.处理圆锥曲线最值问题的求解方法

圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：

一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；

二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式），然后利用

函数方法、不等式方法等进行求解.

【知识点5圆锥曲线中的探索性问题的解题策略】

1.圆锥曲线中的探索性问题

此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立,

成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及

对参数的讨论.

【方法技巧与总结】

Y-p2

1.已知M,N是椭圆C：后+泉=1（Q>6>0）上的两点，点。为坐标原点，且尸是M,N的中点，则

.._b2

^MN.k（jp―2•

a

Z）2

2.若曲线为双曲线，其余条件不变，贝曝肱v•生户=后.

3.若曲线为抛物线，P（x。,%）为弦MV的中点：左加=3（开口向右），心加=一二（开口向左）,

，0歹0

kMN—万（开口向上），kMN=—万（开口向下）.

►举一反三

【题型1直线与圆锥曲线的位置关系】

【例1】（2024•山东•模拟预测）已知直线1：y=kx+l,椭圆C：9+必=1,贝『%=0”是“I与C相切”的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【变式1-1］（2024•广东肇庆•模拟预测）已知双曲线则过点（2,西）与E有且只有一个公共点的

直线共有（）

A.4条B.3条C.2条D.1条

【变式1-2］（2024•江苏宿迁•三模）已知抛物线C:久2=y,点则“爪>1”是“过M且与C仅有一个公

共点的直线有3条”的（）

A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式1-3］（2024•上海•模拟预测）已知直线呜椭圆r,点％尸2分别为椭圆吟+必=1的左右焦点，直线

FiMll,F2N11,垂足分别为点MN（M,N不重合），那么“直线，与椭圆「相切”是“|2M|•丹州=1”的

（）

A.充分非必要B.必要非充分

C.充分必要D.既非充分又非必要

【题型2圆锥曲线的弦长问题】

【例2】（2024•安徽蚌埠•模拟预测）已知双曲线值/一，=1（£1>0,6>0）的左顶点是2（-1,0）,一条渐近线

的方程为丫=乂.

（1）求双曲线£的离心率;

⑵设直线y=与双曲线E交于点PQ，求线段P。的长.

22

【变式2-1](2024•河南•模拟预测)己知椭圆。云+蓝=l(a>6>0)的左、右焦点分别为2,打，点「(但旧)

为椭圆C上一点，且△0％出的面积为2遍.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若倾斜角为;的直线/与C相交于两个不同的点4B,求|4B|的最大值.

【变式2-2](2024•全国•模拟预测)已知双曲线喏—'=l(a>0,6〉0)一个焦点F到渐近线的距离为房

且离心率为2.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设M,N分别是双曲线C左、右两支上的动点，4为双曲线C的左顶点，若直线力M,AN的斜率分别为的,七，

且的♦©==9近，求直线MN的方程.

22

【变式2-3](2024•四川成都•模拟预测)已知椭圆+标=l(a>6>0)与抛物线C2：V=4以的图象在

第一象限交于点P.若椭圆的右顶点为3,且|PB|=9a.

(1)求椭圆的的离心率.

(2)若椭圆的的焦距长为2,直线/过点反设/与抛物线。2相交于不同的两点〃、N,且AOMN的面积为

24,求线段|MN|的长度.

【题型3圆锥曲线的中点弦问题】

22

【例3】(2024•陕西西安•模拟预测)已知椭圆C:芯+左=l(a>b>0)的一个焦点与抛物线产=4x的焦点重

合，离心率为:

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点尸(-，0)作斜率为|的直线交椭圆C于P,Q两点，求弦PQ中点坐标.

【变式3-1](2024・广东•二模)已知双曲线C:*看=l(a>0/>0)的焦点与椭圆9+%=1的焦点重合,

其渐近线方程为丫=士争.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若48为双曲线C上的两点且不关于原点对称，直线1丁=9过48的中点，求直线4B的斜率.

【变式3-2](2024•陕西西安•三模)已知椭圆C：5+，=l(a>6>0)的长轴长是短轴长的四倍，且右焦点

为F(l,0).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)直线l:y=k(x+2)交椭圆C于4B两点，若线段4B中点的横坐标为-1.求直线I的方程.

【变式3-3](2024•陕西渭南•模拟预测)已知。为坐标原点，抛物线=2p久(p>0)的焦点为F,点

X(x0,2p)在C上，且sinN04F=零.

(1)求C的标准方程；

(2)已知直线/交C于M,N两点,且MN的中点为(2,1),求直线/的方程.

【题型4圆锥曲线中的三角形(四边形)面积问题】

【例4】(2024•河北•模拟预测)已知直线/过椭圆。技+工=1(£1>0乃>0)的右焦点尸(1,0),且交C于4&，9

,B两点.

(1)求C的离心率;

(2)设点P(3,l),求△4BP的面积.

2

【变式4-1](2024•山东济南•二模)己知点B(4,板)是双曲线行今-步=1上一点，7在点B处的切线与x轴交

于点4

⑴求双曲线T的方程及点4的坐标；

(2)过4且斜率非负的直线与T的左、右支分别交于N,M.过N做NP垂直于x轴交T于P(当N位于左顶点时认为N

与P重合).C为圆E:(x—1产+(y+2产=1上任意一点，求四边形MBPC的面积S的最小值.

【变式4-2](2024・浙江•模拟预测)已知点4(4,4),B,C,。均在抛物线W：x2=2py(p>0)±,A,C关

于y轴对称，直线48,4。关于直线4C对称，点。在直线AC的上方，直线2。交y轴于点E,直线4B斜率小于

2.

(1)求△2BE面积的最大值；

(2)记四边形BCDE的面积为Si，UBE的面积为S2，若|j=2,求sinNBAD.

【变式4-3](2024•陕西宝鸡•三模)已知椭圆E：g+1(a>b>0)和圆C：x2+y2=1,C经过£

的右焦点R点),8为£的右顶点和上顶点，原点。到直线N8的距离为零.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设。，/是椭圆£的左、右顶点，过歹的直线/交E于〃，N两点(其中M点在x轴上方)，求aMaF

与△DNF的面积之比的取值范围.

【题型5圆锥曲线中的最值问题】

22

【例5】(2024•新疆•二模)已知椭圆。宏+:=l(a>b>0)的左焦点为F,C上任意一点到F的距离的最大

值和最小值之积为1,离心率为奈

⑴求C的方程；

(2)设过点R(l()的直线/与C交于M,N两点,若动点P满足两=4嬴，PN=-ANR,动点Q在椭圆C上，求|PQ|

的最小值.

【变式5-1]（2024•陕西西安•模拟预测）已知为抛物线C：*=2px（p>0）上的一点，直线x=my+几

交C于4,3两点，且直线P4PB的斜率之积为2.

（1）求C的准线方程；

（2）求小（九一3的最小值.

【变式5-2]（2024•福建泉州•模拟预测）己知椭圆C：总+?=1的左右焦点分别是FI，F2,双曲线E的顶点

恰好是％、F2,且一条渐近线是丫=心

（1）求E的方程：

（2）若E上任意一点H（异于顶点），作直线“％交C于4B,作直线“尸2交C于P,Q,求|4B|+4|PQ|的最小值.

【变式5-3]（2024・安徽•三模）已知双曲线C:*f|=1（。>0,6>0）的离心率为2,动直线切=依+6与C

的左、右两支分别交于点MN,且当卜=爪=1时，OM-ON=-2（。为坐标原点）.

⑴求C的方程；

⑵若点。到珀勺距离为1,。的左、右顶点分别为a/2,记直线4M/2N的斜率分别为LM,3N，求小;黑尸

的最小值

【题型6圆锥曲线中的向量问题】

【例6】(2024•四川成都・模拟预测)椭圆C的中心为坐标原点。，焦点在y轴上，离心率e=^，椭圆上的点

到焦点的最短距离为1-e,直线I与y轴交于点P(0,m)(m^O),与椭圆C交于相异两点4B,^OA+MB=4

~0P.

(1)求椭圆方程；

(2)求ZH的取值范围.

【变式6-1](2024•湖北襄阳•模拟预测)设双曲线£落居=1缶>0,6>0)的左、右顶点分别为4B,左、

右焦点分别为%,F2，|%&|=2而，且E的渐近线方程为、=±权，直线咬双曲线E于P,Q两点.

⑴求双曲线E的方程；

(2)当直线I过点(4,0)时，求而•而的取值范围.

【变式6-2](2024•福建厦门•二模)已知4(-2,0),B(2,0),P为平面上的一个动点.设直线力P,BP的斜率分

别为七，k2,且满足七・的=—J.记P的轨迹为曲线匚

(1)求r的轨迹方程；

(2)直线P4PB分别交动直线x=t于点C,。，过点C作PB的垂线交x轴于点H.坑•丽是否存在最大值？若存

在，求出最大值；若不存在，说明理由.

222

【变式6-3](2024・陕西咸阳・模拟预测)已知椭圆C:叁+与=l(a>b>0)的离心率是双曲线会一步=1的离

心率的倒数，椭圆C的左、右焦点分别为尸1F2，上顶点为P，且西•丽=-2.

(1)求椭圆C的方程；

⑵当过点Q(0,2)的动直线I与椭圆C相交于两个不同点4B时，设而=4诙，求4的取值范围.

【题型7圆锥曲线中的探索性问题】

【例7】(2024•云南昆明•模拟预测)已知双曲线氏9=l(a>0)的右焦点为&(c,0)，一条渐近线方程

为y=*c

⑴求双曲线E的方程;

(2)是否存在过点七的直线/与双曲线E的左右两支分别交于42两点，且使得NF/B=NF1B4若存在,

求出直线/的方程；若不存在，说明理由.

【变式7-1](2024•上海长宁•二模)已知椭圆「：[+q=1,0为坐标原点；

63

(1)求r的离心率e；

(2)设点N(l,0),点M在「上，求|MN|的最大值和最小值；

(3)点7(2,1),点P在直线x+y=3上，过点P且与。T平行的直线/与「交于4B两点；试探究：是否存在常数九

使得|可.丽|=%|而『恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由；

【变式7-2]（2024•全国•二模）椭圆「：《+'=l（a>623）的离心率为孚，左、右顶点分别为/,B,过

点M（3,0）的动直线I与椭圆T相交于尸，。两点，当直线珀勺斜率为1时，|PQ|=等.

（1）求椭圆r的标准方程；

（2）设直线/P与直线x=t的交点为N,是否存在定实数t,使。，B,N三点共线?若存在，求出t的值；若不

存在，请说明理由.

【变式7-3]（2024•全国•模拟预测）已知双曲线C:，—'=1（（1>0,6>0）的离心率为*且点（一4鱼,3）在双

曲线C上.

（1）求双曲线C的标准方程.

（2）过点P（0,l）的直线1与双曲线C的左、右两支分别交于点4艮问：在y轴上是否存在定点Q,使直线AQ与BQ

的斜率之和为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

►过关测试

一、单选题

1.（2024•湖南衡阳•模拟预测）已知直线依+y+2k=0与椭圆9+?=1相切，则k的值为（）

11

A.2B.-C.±2D.±-

2.（2024・安徽芜湖・模拟预测）已知椭圆3+9=1，一组斜率，的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭

圆截得的段的中点所在的直线方程为（）

A.y=-|xB.y=-2xC.y=­|xD.y=2x

3.（2024•全国•模拟预测）设抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为尸，直线/与C交于N,8两点，FA1FB,

\FA\=2\FB\,则l的斜率是()

A.±1B.±V2C.±V3D.±2

4.（2024•北京海淀•三模）已知抛物线产=轨的焦点为产、点M在抛物线上，垂直〉轴于点N,若

\MF\=6,则△MNF的面积为（）

A.8B.4V5C.5V5D.10V5

2

5.（2024•河南信阳三模）已知椭圆白+/=1,P为椭圆上任意一点，过点尸分别作与直线％：y=3久和已

:y=-3x平行的直线，分别交%，A交于M，N两点，则|MN|的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

22

6.（2024•黑龙江•二模）双曲线C:今一左=1的左、右顶点分别为公，A2,左、右焦点分别为广,F2,过八

作直线与双曲线C的左、右两支分别交于M,N两点.若俞=轲后，且cosN%NF2=g则直线与MA?

的斜率之积为（）

A.B.-C.D.

7.（2024・陕西商洛•三模）已知抛物线E:y2=2px（p>0）的焦点为尸，过尸的直线交E于/,3两点，点尸

满足而=2而（0<4<1）,其中。为坐标原点，直线4P交E于另一点C,直线AP交£于另一点。，记

△PAB,△PCD的面积分别为Si，S2,则卷=（）

A.AB.2AC.A2D.2/L2

8.（2024•陕西榆林•模拟预测）如图，抛物线£：y2=2px（p〉o）的焦点为尸，过点M（p,0）的直线八，%与

E分别相交于4（X1，月），3（乂2，丫2）和。，。两点，直线40经过点尸，当直线48垂直于x轴时，|4F|=3.下

列结论正确的是（）

A.p=4

B.yiy2=-6

C.若皿的斜率分别为购，k2f则七=2七

D.若△FAB的面积为2鱼，贝q△尸C。的面积为4企

二、多选题

9.（2024•广东茂名•二模）已知双曲线。4/—f=1,直线l：y=履+>0）,则下列说法正确的是

（）

A.若k=2,贝”与C仅有一个公共点

B.若k=2近，贝〃与C仅有一个公共点

C.若I与C有两个公共点，贝。2<卜<2鱼

D.若/与C没有公共点，则k>2四

•2

10.（2024•江西•模拟预测）己知4（一2,0）,B（2,0）,C（l,0）,动点M满足MA与MB的斜率之积为一“动点M

的轨迹记为「，过点c的直线交「于p,Q两点，且p,Q的中点为R,则（）

A.M的轨迹方程为3+9=1

B.|MC|的最小值为1

C.若。为坐标原点，则面积的最大值为|

D.若线段PQ的垂直平分线交%轴于点D,则R点的横坐标是。点的横坐标的4倍

2

11.（2024•浙江金华•模拟预测）已知椭圆三+必=1,。为原点，过第一象限内椭圆外一点P（xo,yo）作椭圆的

两条切线，切点分别为4B.记直线O4OB,P4PB的斜率分别为的也后%，若七•七=］，则（）

A.直线A8过定点B.（七+瓢）・（的+七）为定值

C.久0-出的最大值为2D.5久0-3yo的最小值为4

三、填空题

12.（2024•海南•模拟预测）已知抛物线。产=6久的焦点为F,过点F的直线Z与抛物线。交于M,N两点，

若\MN\=54,则直线［的斜率为.

13.（2024•安徽・模拟预测）已知抛物线。必=4比的焦点为为C上的两点.若直线凡4的斜率为表且

FA-FB^O,延长分别交C于P,Q两点，则四边形ABPQ的面积为.

14.（2024•宁夏银川•三模）已知曲线C:y=4（—3,0）,B（3,0）,尸为C上异于4,8的一点，直线4P

与直线x=5交于直线BP与直线x=6交于点N,则有以下四种说法：

①存在两个定点，使得尸到这两个定点的距离之和为定值

②直线4P与直线BP的斜率之差的最小值为,

③|MN|的最小值为等

④当直线4P的斜率大于拊，|MN|大于等

其中正确命题的序号为.

四、解答题

22

15.(2024・海南•模拟预测)已知双曲线。今一春=l(a>0,b>0)的实轴长为2立，点P(2,竭在双曲线C

上.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)过点P且斜率为26的直线与双曲线C的另一个交点为Q,求|PQ|.

16.(2024•福建泉州•模拟预测)已知椭圆£：《+居=19>。>0)的左、右焦点分别为鼻尸2，离心率为|,

且经过点(2,1).

(1)求E的方程；

(2)过％且不垂直于坐标轴的直线/交E于48两点，点M为4B的中点，记△MF/2的面积为Si,△BF1&的面

积为S2,求言的取值范围.

17.(2024•山西太原•二模)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为尸，过点。(2,1)且斜率为1的直线

经过点F.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若/,2是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M(异于坐标原点。)，使得当直线经过点

M时，满足。41。8?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

18.(2024•河南郑州•模拟预测)设抛物线。必=2Px(p>0)的焦点为F，。(配,出)是C上一点且仍尸口―仍巴=

XQ+x0,直线/经过点Q(-8,0).

(1)求抛物线C的方程；

(2)①若I与C相切，且切点在第一象限，求切点的坐标；

②若I与C在第一象限内的两个不同交点为4B,且Q关于原点。的对称点为R,证明：直线4R,BR的倾斜角之

和为7T.

19.(2024•湖南邵阳•三模)已知椭圆C：2+餐=l(a>b〉0)的离心率为今右顶点Q与C的上，下顶点所

围成的三角形面积为2遮.

⑴求C的方程.

(2)不过点Q的动直线，与C交于4B两点,直线Q4与Q8的斜率之积恒为;.

(i)证明：直线I过定点；

(ii)求AQAB面积的最大值.

专题8.8直线与圆锥曲线的位置关系【七大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1直线与圆锥曲线的位置关系】..........................................................4

【题型2圆锥曲线的弦长问题】.................................................................6

【题型3圆锥曲线的中点弦问题】..............................................................10

【题型4圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题】.............................................14

【题型5圆锥曲线中的最值问题】..............................................................19

【题型6圆锥曲线中的向量问题】.............................................................24

【题型7圆锥曲线中的探索性问题】...........................................................28

►考情分析

1、直线与圆锥曲线的位置关系

考点要求真题统计考情分析

2022年新高考全国I卷：第

22题，12分

2022年新高考全国II卷:第22

题，12分圆锥曲线是高考的热点内容，直线

2023年新高考I卷：第22题，与圆锥曲线的位置关系是每年高考必考

（1）了解直线与圆锥曲线

12分内容.从近几年的高考情况来看，本节内

位置关系的判断方法

2023年新高考H卷:第21题，容主要以解答题的形式考查，考查方向

⑵掌握直线被圆锥曲线

12分主要有两个方面：一是平面解析几何通

所截的弦长公式

2023年全国甲卷（理数）：性通法的研究；二是圆锥曲线中的弦长、

⑶能利用方程及数形结

第20题，12分面积、最值、定点、定值或定直线等问

合思想解决焦点弦、中点

2024年新高考I卷：第16题，题的求解；有时会与向量、数列等知识

弦问题

15分结合考查，其思维要求高，计算量较大，

2024年新高考II卷：第10题，需要灵活求解.

6分

2024年新高考II卷：第19题，

17分

►知识梳理

【知识点1直线与圆锥曲线的位置关系】

1.直线与圆锥曲线的位置判断

将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y（或x）,得到关于x（或y）的一元二次方程，则直线与圆锥曲线

相交u台△>（）；直线与圆锥曲线相切u》A=。；直线与圆锥曲线相离u今△<0.

特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点.

②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点.

【知识点2圆锥曲线中的弦长问题】

1.椭圆的弦长问题

(1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.

工2V2

(2)弦长公式：设直线/:y=foc+加交椭圆后+方•=：!(a>6>0)于尸I(XQI),尸2(如”)两点，

则出尸21=0+左[Xi—句或l^lAl=J+%|凹—.

2.双曲线的弦长问题

2

①弦长公式：直线>=息+6与双曲线相交所得的弦长d=\^\+k\xi—x2\=十%|%-R.

②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.

③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直

线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.

④双曲线的通径：

过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还

是在〉轴上，双曲线的通径总等于笠

3.抛物线的弦长问题

设直线与抛物线交于/(%,%),夙X"乃)两点，贝U

2

\AB\=\/(1+k~\xx—x2)=+尸•7(X]+.2)2-4氏工2或

\AB\={(1+表)(M—乃丁=J1+表•,(%+于>一4川为(左为直线的斜率，际0).

【知识点3圆锥曲线中的中点弦与焦点弦问题】

1.椭圆的“中点弦问题”

(1)解决椭圆中点弦问题的两种方法

①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根

与系数的关系以及中点坐标公式解决.

②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中

点坐标和斜率的关系.

22

设/(%,珀，3(%2,歹2)，代入椭圆方程%+方=1(a>6>0),

①.②可得3+X2）'I—必）+（凹+Rj…）巾,

ab

设线段的中点为尸（X。/。），当x#X2时，有£+W=°.

因为尸（X。0。）为弦的中点，从而转化为中点尸（x。,%）与直线N2的斜率之间的关系，这就是处理弦

中点轨迹问题的常用方法.

（2）弦的中点与直线的斜率的关系

线段48是椭圆£+，=1（。>6>0）的一条弦，当弦所在直线的斜率存在时，弦AB的中点”的坐标

为,则弦AB所在直线的斜率为-孕，即心心kAB=~~.

aJ。Q

2.双曲线的“中点弦问题”

“设而不求”法解决中点弦问题：

①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的

这类问题中，则不能确定.要注意检验.

②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将

乃必转化为能用韦达定理直接代换的4+刈户产2.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化.

3.抛物线的焦点弦问题

抛物线y2=2/M>0）上一点/（无0,%）与焦点厂（彳,0）的距离为l"1=Xo+-y，若MV为抛物线y2=20x（f»>0）

的焦点弦，则焦点弦长为|MV|=Xi+x?+p（Xi,x2分别为MN的横坐标）.

设过抛物线焦点的弦的端点为/（矶弘）乃（向,g），则四种标准方程形式下的弦长公式为：

标准方程弦长公式

y2=2px(p>0)\AB\=x\+x0+p

y2=-2px(p>0)M=p-(X1+X2)

2

x=2py(p>0)\AB\=yi+y2+p

x2=-2py(p>0)\AB^p-(yx+y^

【知识点4圆锥曲线中最值问题的解题策略】

1.处理圆锥曲线最值问题的求解方法

圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：

一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；

二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式），然后利用

函数方法、不等式方法等进行求解.

【知识点5圆锥曲线中的探索性问题的解题策略】

1.圆锥曲线中的探索性问题

此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立,

成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及

对参数的讨论.

【方法技巧与总结】

Y-p2

1.已知M,N是椭圆C：后+泉=1（Q>6>0）上的两点，点。为坐标原点，且尸是M,N的中点，则

.._b2

^MN.k（jp―2•

a

Z）2

2.若曲线为双曲线，其余条件不变，贝曝肱v•生户=后.

3.若曲线为抛物线，P（x。,%）为弦的中点：左加=3（开口向右），心加=一二（开口向左），

歹0歹0

kMN—关■（开口向上），kMN=—关'（开口向下）.

►举一反三

【题型1直线与圆锥曲线的位置关系】

【例1】（2024•山东•模拟预测）已知直线1：y=kx+l,椭圆C：9+必=1,贝『%=0”是“I与C相切”的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【解题思路】利用“数形结合”的思想结合”一元二次方程根有一解求解的判别式等于零”求解即可.

【解答过程】当k=0时，直线I：y=l,直线与椭圆相切，当”与C相切”时，

（V=fcx+1rr

联立1g+y2-1有（4k2+1）X2+8fcx=0,令A=（8fc）2-4X（4fc2+1）x0=0,有k=0,

所以k=0是直线与椭圆相切的充要条件.

故选:C.

【变式1-1］（2024•广东肇庆•模拟预测）已知双曲线E:?=1,则过点（2,西）与E有且只有一个公共点的

直线共有（）

A.4条B.3条C.2条D.1条

【解题思路】根据点和双曲线的位置关系确定满足条件的直线的条数.

【解答过程】分析条件可得：点。（2,但）在双曲线的渐近线,=学”上，且位于第一象限，和双曲线的右顶点

有相同横坐标，如图:

所以过。（2,而）且与双曲线E有且只有一个公共点的直线只有两条：

一条是切线：%=2,一条是过点P（2,而）且与另一条渐近线平行的直线.

故选：C.

【变式1-2］（2024・江苏宿迁•三模）已知抛物线C:久2=y,点则>1”是“过M且与C仅有一个公

共点的直线有3条”的（）

A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】求出“过M且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条”的充要条件，进而判断.

【解答过程】过M且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条，

则当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线为x=m；

当直线的斜率存在时，设直线为y-l=k（x—爪），

则｛，"加），消去y整理得/一依+km-i=0,

・•.A=OBp/c2—4/cm+4=0有两个不同的解，

所以>0BP16m2—16>0,解得m<—1或m>1,

所以-m>1”是“过M且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条”的充分条件.

故选：A.

【变式1-3］（2024•上海•模拟预测）已知直线/与椭圆r,点尸1/2分别为椭圆的左右焦点，直线

fiMlZ,F2Nll,垂足分别为点M,N（M,N不重合），那么“直线/与椭圆「相切”是“|%M|•|尸2州=1”的

（）

A.充分非必要B.必要非充分

C.充分必要D.既非充分又非必要

【解题思路】设直线方程为y=kx+t,将直线方程与椭圆方程联立，利用判别式和点到直线的距离公式求

出t与k的关系，再根据充分性和必要性的概念求解即可.

【解答过程】根据题意可知直线I斜率存在，设直线方程为y=kx+3

联立［万）F=1得（2/+i）x2+4ktx+2t2-2=0

（y=k.x।t

当直线与椭圆相切时，△=（4履）2-4（2/+1）（2产-2）=0,化简得产=2k2+1,

由题意尸［（-1,0）,尸2（1,0），

因为F2N11,所以|F1M|=*，尸2%|=器券，

所以当|%M|•32州=^^；5|鲁=%*=1时，|/一的=k2+1，

解得产=2卜2+1或f2=-1（舍去）,

所以“直线［与椭圆r相切”是“|FM•02州=1”的充要条件.

故选：C.

【题型2圆锥曲线的弦长问题】

【例2】（2024•安徽蚌埠•模拟预测）已知双曲线E:5—3=1（。＞0力＞0）的左顶点是4（—1,0）,一条渐近线

的方程为y=%.

（1）求双曲线£的离心率；

⑵设直线y=3-2与双曲线后交于点尸，Q'求线段尸。的长.

【解题思路】（1）根据左顶点与渐近线的方程求得a,b,c即可得到离心率；

（2）求出交点纵坐标代入弦长公式求解.

【解答过程】⑴由题意知a=l,且2=1,二6=1,

a

•••c=Va24-b2=V2,

所以双曲线的离心率e=^=V2.

（2）由（1）知双曲线方程为%2-y2=i,

将y=$_'!即％—1=2y代入%2—y2=1,得3y2+4y=0,

4

不妨设VP=0,yQ=

所以|PQI=V1+22,|乃-加

【变式2-1】(2024•河南•模拟预测)已知椭圆缁+，=1(。>6>0)的左、右焦点分别为乙,尸2,点P(低回

为椭圆C上一点，且△PF1F2的面积为2痣.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若倾斜角为:的直线/与C相交于两个不同的点4B,求|4B|的最大值.

【解题思路】(1)借助椭圆上的点的坐标，△「尸1尸2的面积与&2=/+©2计算即可得；

(2)设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理与弦