2024-2025学年高中数学第1章解三角形1.2第1课时解三角形的实际应用举例学案含解析新人教A版必修5

PAGE1-1.2应用举例第1课时解三角形的实际应用举例学习目标核心素养1.能将实际问题转化为解三角形问题．(难点)2.能够用正、余弦定理求解与距离、高度有关的实际应用问题．(重点)通过利用正、余弦定理求解实际问题中的长度、高度，培育学生的直观想象及数学建模素养．1．基线的概念与选择原则(1)定义在测量上，依据测量须要适当确定的线段叫做基线．(2)性质在测量过程中，要依据实际须要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．思索：在本章“解三角形”引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不行及的月亮离地球原委有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么奇妙的方法探究到这个奇妙的呢？[提示]利用正弦定理和余弦定理．2．测量中的有关角的概念(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图所示).(2)方向角从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.(如图所示)(3)视角从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的夹角，如图所示，视角50°指的是视察该物体的两端视线张开的角度．思索：李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？[提示]东南方向．1．小强站在地面上视察一个建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得视察该建筑物顶部的仰角为β，则小强观测山顶的仰角为()A．α＋β B．α－βC．β－α D．αC[如图所示，设小强观测山顶的仰角为γ，则β－γ＝α，因此γ＝β－α，故选C项．]2．如图所示，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应选用数据()A．α，a，b B．α，β，aC．a，b，γ D．α，β，bC[选择a，b，γ可干脆利用余弦定理AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosγ)求解．]3．某人先向正东方向走了xkm，然后他向右转150°，向新的方向走了3km，结果他离动身点恰好为eq\r(3)km，那么x的值为()A．eq\r(3) B．2eq\r(3)C．2eq\r(3)或eq\r(3) D．3C[如图，在△ABC中由余弦定理得3＝9＋x2－6xcos30°，即x2－3eq\r(3)x＋6＝0，解之得x＝2eq\r(3)或eq\r(3).]4．如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点测得树尖的仰角分别为30°和45°，且A，B两点之间的距离为60m，A．(30＋30eq\r(3))m B．(30＋15eq\r(3))mC．(15＋30eq\r(3))m D．(15＋3eq\r(3))mA[由正弦定理可得eq\f(60,sin（45°－30°）)＝eq\f(PB,sin30°)，则PB＝eq\f(60×\f(1,2),sin15°)＝eq\f(30,sin15°)(m)，设树的高度为h，则h＝PBsin45°＝(30＋30eq\r(3))m.]测量距离问题【例1】海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是()A．10eq\r(3)海里 B．eq\f(10\r(6),3)海里C．5eq\r(2)海里 D．5eq\r(6)海里D[依据题意，可得如图所示．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°.由正弦定理可得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，即eq\f(10,\f(\r(2),2))＝eq\f(BC,\f(\r(3),2))，∴BC＝5eq\r(6)(海里).]三角形中与距离有关的问题的求解策略(1)解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则干脆利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要依据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解．(2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还须要求出哪些元素，敏捷应用正、余弦定理来解决．eq\a\vs4\al([跟进训练])1．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则河的宽度为m60[由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，∴△ABC为等腰三角形．河宽即AB边上的高，这与AC边上的高相等，过B作BD⊥AC于D，∴河宽＝BD＝120·sin30°＝60(m).]测量高度问题【例2】(1)如图所示，从山顶望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝100m，点C位于BD上，则山高ABA．100m B．50eq\r(3)mC．50eq\r(2)m D．50(eq\r(3)＋1)m(2)在一幢20m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，A.20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),3)))m B．20(1＋eq\r(3))mC．10(eq\r(6)＋eq\r(2))m D．20(eq\r(6)＋eq\r(2))m思路探究：(1)解决本题关键是求AB时确定在哪一个三角形中求解，该三角形是否可解．(2)解决本题关键是画出示意图．(1)D(2)B[(1)设山高为h，则由题意知CB＝h，DB＝eq\r(3)h，∴eq\r(3)h－h＝100，即h＝50(eq\r(3)＋1).(2)如图，由条件知四边形ABCD为正方形，∴AB＝CD＝20m，BC＝AD＝20在△DCE中，∠EDC＝60°，∠DCE＝90°，CD＝20m∴EC＝CD·tan60°＝20eq∴BE＝BC＋CE＝(20＋20eq\r(3))m.选B.]解决测量高度问题的一般步骤(1)画图：依据已知条件画出示意图．(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形．(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何学问与平面几何学问，留意方程思想的运用．eq\a\vs4\al([跟进训练])2．某爱好小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m).如图所示，竖直放置的标杆BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H[解]由AB＝eq\f(H,tanα)，BD＝eq\f(h,tanβ)，AD＝eq\f(H,tanβ)及AB＋BD＝AD，得eq\f(H,tanα)＋eq\f(h,tanβ)＝eq\f(H,tanβ)，解得H＝eq\f(htanα,tanα－tanβ)＝eq\f(4×1.24,1.24－1.20)＝124.因此电视塔的高度H是124m与立体几何有关的测量问题[探究问题]1．已知A，B是海平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C[提示]用线段CD表示山，用△DAB表示海平面．结合题中相应的距离及角度，画出立体图形，如图所示．2．在探究1中若要求山高CD，怎样求解？[提示]由探究1知CD⊥平面ABD，首先在△ABD中利用正弦定理求出AD的长，然后在Rt△ACD中求出CD.【例3】如图所示，为了测量河对岸的山高AB，有不同的方案，其中之一是选取与山底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200m，在C点和D点测得山顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求山高AB.思路探究：利用方程的思想，设AB＝h.表示出BC＝h，BD＝eq\f(h,tan30°)＝eq\r(3)h，然后在△BCD中利用余弦定理求解．[解]在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，若设AB＝h，则BC＝h.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝eq\r(3)h.在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD，即2002＝h2＋(eq\r(3)h)2－2·h·eq\r(3)h·eq\f(\r(3),2)，所以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)，即塔高AB＝200米．(变条件)若将例题中的条件“CD＝200m，在C点和D点测得山顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°”改为“CD＝800m，在D点测得山顶A的仰角为45°，∠CDB＝120°，又在C点测得∠DCB＝45°.”求山高[解]在△BCD中，∠CBD＝180°－120°－45°＝15°，CD＝800m，∠BCD＝45°由正弦定理，eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BD,sin∠BCD)，BD＝eq\f(CD·sin∠BCD,sin∠CBD)＝eq\f(800×\f(\r(2),2),\f(\r(2),2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－\f(1,2))))＝800(eq\r(3)＋1)m，又∠ADB＝45°，AB＝BD.∴AB＝800(eq\r(3)＋1)m.即山的高度为800(eq\r(3)＋1)m．测量高度问题的两个关注点(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析全部三角形，细致规划解题思路．1．本节课要驾驭三类问题的解法(1)测量距离问题．(2)测量高度问题．(3)与立体几何有关的测量问题．2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种状况(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理和余弦定理解之．(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时须要选择条件足够的三角形优先探讨，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．1．推断正误(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边． ()(2)两个不行到达的点之间的距离无法求得． ()(3)东偏北45°的方向就是东北方向． ()(4)仰角与俯角所在的平面是铅垂面． ()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√[提示]已知三角形中至少知道一条边才能解三角形，故(1)错．两个不行到达的点之间的距离可以用解三角形的方法求出，故(2)错．2．身高相同的甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，A．d1>d2 B．d1<d2C．d1>20m D．d2<20mB[如图，设旗杆高为h，则d1＝eq\f(h,tan50°)，d2＝eq\f(h,tan40°).因为tan50°>tan40°，所以d1<d2.]3．若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30°，此人往金字塔方向走了80m到达点B，测得金字塔顶端的仰角为45°，A．110m B．112mC．220m D．224mA[如图，设CD为金字塔，AB＝80m．设CD＝h，则由已知得(80＋h)×eq\f(\r(3),3)＝h，h＝40(eq\r(3)＋1)≈109(m).从选项来看110最接近，故选A.]4．在高出海平面200m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为200(eq\r(3)＋1)[过点A作AH⊥BC于点H，由图易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200m，则BH＝AH＝200m，CH＝AH·tan60°＝故两船距离BC＝BH＋CH＝200(eq\r(3)＋1)m.]5．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12eq\r(6)海里；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8eq\r(3)海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120°，求：(1)A处与D处之间的距离；(2)