2025届高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第二节平面向量的数量积及应用举例课时规范练理含解析新人教版

PAGE其次节平面对量的数量积及应用举例[A组基础对点练]1．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)且(a－b)⊥b，则m＝()A．－8 B．－5C．5 D．8解析：由(a－b)⊥b知(a－b)·b＝0，所以a·b－b2＝0，即3－2m－13＝0所以m＝－5.答案：B2．已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上的投影是4，则a·b＝()A．12 B．8C．－8 D．2解析：∵|a|cos〈a，b〉＝4，|b|＝3，∴a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝3×4＝12.答案：A3．(2024·河南新乡模拟)若向量m＝(2k－1，k)与向量n＝(4，1)共线，则m·n＝()A．0 B．4C．－eq\f(9,2) D．－eq\f(17,2)解析：∵向量m＝(2k－1，k)与向量n＝(4，1)共线，∴2k－1－4k＝0，解得k＝－eq\f(1,2)，∴m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))，∴m·n＝－2×4＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×1＝－eq\f(17,2).答案：D4．(2024·湖南永州模拟)已知非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，|2a－b|＝1，则|aA．eq\f(1,2) B．1C．eq\r(2) D．2解析：∵非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，∴a·b＝|a|×1×eq\f(1,2)＝eq\f(|a|,2).∵|2a－b|＝1，∴|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4|a|2－2|a|＋1＝1，∴4|a|2－2|a|＝0，∴|a|＝eq\f(1,2)答案：A5．已知平面对量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝()A．eq\r(3) B．2eq\r(3)C．4 D．12解析：由题意得|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12，所以|a＋2b|＝2eq\r(3).答案：B6．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(2，1)，则eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝()A．5 B．4C．3 D．2解析：由四边形ABCD是平行四边形，知eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，故eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.答案：A7．已知非零向量m，n满意4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝eq\f(1,3).若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为()A．4 B．－4C．eq\f(9,4) D．－eq\f(9,4)解析：由n⊥(tm＋n)可得n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，所以t＝－eq\f(n2,m·n)＝－eq\f(n2,|m|·|n|cos〈m，n〉)＝－eq\f(|n|2,|m|·|n|·\f(1,3))＝－3·eq\f(|n|,|m|)＝－3×eq\f(4,3)＝－4.答案：B8．若非零向量a，b满意|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,2)C．eq\f(3π,4) D．π解析：设a与b的夹角为θ，|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，因为(a－b)⊥(3a＋2b)，所以(a－b)·(3a＋2b)＝3|a|2－2|b|2－a·b＝eq\f(8,3)|b|2－2|b|2－eq\f(2\r(2),3)|b|2cosθ＝0，解得cosθ＝eq\f(\r(2),2).因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,4).答案：A9．(2024·安徽淮北模拟)在△ABC中，三个顶点的坐标分别为A(3，t)，B(t，－1)，C(－3，－1).若△ABC是以B为直角顶点的直角三角形，则t＝________．解析：由已知，得eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，即(3－t，t＋1)·(－3－t，0)＝0，∴(3－t)(－3－t)＝0，解得t＝3或t＝－3，当t＝－3时，点B与点C重合，舍去．故t＝3.答案：310．若非零向量a，b满意|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a，b夹角θ的余弦值为________．解析：|a|＝|a＋2b|，两边平方得，|a|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝|a|2＋4|b|2＋4|a||b|·cosθ又考虑到|a|＝3|b|，所以0＝4|b|2＋12|b|2cosθ，得cosθ＝－eq\f(1,3).答案：－eq\f(1,3)11．已知向量a＝(－4，3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝________．解析：∵a⊥b，∴a·b＝(－4，3)·(6，m)＝－24＋3m＝0，∴m答案：812．如图所示，在△ABC中，O为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为60°，则|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝________．解析：eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|·cos∠BAC＝1×3×eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).又eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以eq\o(AO,\s\up6(→))2＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))2＝eq\f(1,4)·(eq\o(AB,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))2)，即eq\o(AO,\s\up6(→))2＝eq\f(1,4)×(1＋3＋9)＝eq\f(13,4)，所以|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(13),2).答案：eq\f(\r(13),2)[B组素养提升练]1．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝eq\f(π,3)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，P为CD上一点，且满意eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)).若△ABC的面积为2eq\r(3)，则|eq\o(AP,\s\up6(→))|的最小值为()A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．3 D．eq\f(4,3)解析：∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AD,\s\up6(→)).∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→)).∵C，P，D三点共线，∴m＋eq\f(3,4)＝1，即m＝eq\f(1,4)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))2＝eq\f(1,16)eq\o(AC,\s\up6(→))2＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))≥2×eq\f(1,8)|eq\o(AC,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|＋eq\f(1,4)|eq\o(AC,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|coseq\f(π,3)＝eq\f(3,8)|eq\o(AC,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|.∵S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(AC,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|sineq\f(π,3)＝2eq\r(3)，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|＝8，∴eq\o(AP,\s\up6(→))2≥eq\f(3,8)×8＝3，∴|eq\o(AP,\s\up6(→))|≥eq\r(3).答案：B2．如图所示，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝5，|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝0，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(AE,\s\up6(→))，连接BE，CD交于点F，则|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝________．解析：由三点共线可知，eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(AE,\s\up6(→))＝2λeq\o(AD,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(AE,\s\up6(→))(λ∈R)，①同理，eq\o(AF,\s\up6(→))＝μeq\o(AD,\s\up6(→))＋(1－μ)eq\o(AC,\s\up6(→))＝μeq\o(AD,\s\up6(→))＋3(1－μ)eq\o(AE,\s\up6(→))(μ∈R)，②由①②，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(μ＝2λ，,3－3μ＝1－λ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,5)，,μ＝\f(4,5)，))故eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,5)eq\o(AE,\s\up6(→))，∴|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝eq\r(\f(4,25)|\o(AB,\s\up6(→))|2＋\f(9,25)|\o(AE,\s\up6(→))|2＋\f(12,25)\o(AB,\s\up6(→))·\o(AE,\s\up6(→)))＝eq\f(\r(145),5).答案：eq\f(\r(145),5)3．已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－eq\r(3))，x∈[0，π].(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．解析：(1)因为a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－eq\r(3))，a∥b，所以－eq\r(3)cosx＝3sinx.若cosx＝0，则sinx＝0，与sin2x＋cos2x＝1冲突，故cosx≠0.于是tanx＝－eq\f(\r(3),3).又x∈[0，π]，所以x＝eq\f(5π,6).(2)f(x)＝a·b＝(cosx，sinx)·(3，－eq\r(3))＝3cosx－eq\r(3)sinx＝2eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))).因为x∈[0，π]，所以x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，从而－1≤coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))≤eq\f(\r(3),2).于是，当x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,6)，即x＝0时，f(x)取到最大值3；当x＋eq\f(π,6)＝π，即x＝eq\f(5π,6)时，f(x)取到最小值－2eq\r(3).4．(2024·江西南昌模拟)已知向量a＝(2，2)，向量b与向量a的夹角为eq\f(3π,4)，且a·b＝－2.(1)求向量b；(2)若t＝(1，0)，且b⊥t，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosA，2cos2\f(C,2)))，其中A，B，C是△ABC的内角，若A，B，C依次成等差数列，试求|b＋c|的取值范围．解析：(1)设b＝(x，y)，则a·b＝2x＋2y＝－2，且|b|＝eq\f(a·b,|a|cos\f(3π,4))＝1＝eq\r(x2＋y2)，联立方程得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋2y＝－2，,x2＋y2＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－1，))∴b＝(－1，0)或b＝(0，－1).(2)∵b⊥t，且t＝(1，0)，∴b＝(0，－1).∵A，B，C依次成等差数列，∴B＝eq\f(π,3).∴b＋c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosA，2cos2\f(C,2)－1))＝(cosA，cosC)，∴|b＋c|2＝cos2A＋cos＝1＋eq\f(1,2)(cos2A＋cos2C)＝1＋eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos2A＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－2A))))＝1＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2A－\f(1,2)cos2A－\f(\r(3),2)sin2A))＝1＋eq\f(1,2)coseq\b\lc\(\