高等数学（第二版）上册课件：不定积分

不定积分

§4.1不定积分的概念与性质§4.2换元积分法§4.3分部积分法§4.4某些特殊类型的不定积分§4.1不定积分的概念与性质4.1.2不定积分的性质4.1.1原函数与不定积分的概念4.1.1原函数与不定积分的概念1．原函数

.定义4.1

设是定义在区间上的函数，如果存在函数，使对任意的都有或则称为在区间上的一个原函数..

定理4.1

（原函数存在定理）如果函数在区间都有.上连续，在上存在可导函数使得对任意的

面给出一个充分条件．举最简单的例子来说,

,故

是自身的一个原函数.但如果给其加上任意常数，由于,那么

仍然是

的原函数．由此可知，当一个函数具有原函数时，它的原函数有无穷多个．那么，什么样的函数具有原函数呢？下数，就能得到其所有原函数.间内一定有原函数.

由上述定理可知，连续函数一定有原函数.因为初等函数在定义域区间内连续，所以初等函数在定义域区

我们已经知道：函数如果存在原函数，那么原函数有无穷多个，那么的其它原函数与有什么关系?事实上，很多时候我们只需要求出一个原函

设

是

的任意一个原函数，即

，则有：

由拉格朗日中值定理的推论1知，导数恒等于零的函数是常数，故

这表明与只相差一个常数.因此,只要找

到的一个原函数，(为任意常数)就可以表示的任意一个原函数．2．不定积分

定义4.2

那么在区间

上有

(为任意常数)

在区间

上,函数

的带有任意常数项的原函数

.其中，记号称为积分号，

称为被积函数，称为

（或

）在区间上的不定积分，记作

根据定义,如果

是

在区间上的一个原函数称为被积表达式，

称为积分变量．

分析

原式经过变形可化为求幂函数的原函数.解

由于因此有

分析

根据斜率求原曲线，即是求函数原函数的过程.解

设所求的曲线方程为

，按题设，曲线上任一点处

例4.1.1

求的切线斜率为，即是的一个原函数．

例4.1.2

设曲线通过点，且斜率为，求该曲线方程.

由于因此有某个常数

使

，即曲线方程为.因所求曲线通过点

，故于是所求曲线方程为

函数

的原函数的图形称为的积分曲线.本例即是求函数

的通过点

的那条积分曲线．显然，这条积分曲线可以由另一条积分曲线(例如

）向轴方向平移而得(如图)．

.4.1.2不定积分的性质

根据不定积分的定义，即可得下述性质：性质1或性质2或记作微分运算(以记号

表示)与求不定积分的运算(简称积分运算，以记号

表示)是互逆的．当记号

与

连在一起时，或者抵消，或者抵消后相差一个常数．

性质3（线性性质）其中

为任意常数证明

要证上式的右端是

的不定积分,将右端对

求导,得性质3可以推广到有限个函数的情形．

不定积分的性质以及基本积分公式是求不定积分的基础，记忆常见函数的积分公式，便能熟练计算可化为几个基本初等函数线性组合的积分．在应用这些公式时,有时需要对被积函数作适当变形,化成能直接套用基本积分公式的情况，一般称这种不定积分计算方法为直接积分法.现将常见的一些基本积分公式列表如下：(1)

(k为常数)(2)

(

为常数且

)，(3)

,(4),(5),(6),(7),(8),(9)，(10)，(11)，(12)，(13)，

例4.1.3求

分析

首先把被积函数化为和式，然后再逐项积分.

解

例4.1.4

求下列函数的不定积分.(1)

(2)

分析

(1)式可以拆为几个函数的积分和；

(2)式经过变形可拆为两个已知函数的积分.

解

(1)

(2)

例4.1.5

求下列函数的不定积分.解

(1)

(2)(1)(2)

本节我们主要从原函数的角度出发，给出了不定积分的概念和性质，并且探讨了利用基本积分表计算简单函数的积分。那么，对于形式上更为复杂的函数，我们应该如何求他的积分呢？一般来说都有哪些求积分的方法呢？

小

结§4.2换元积分法4.2.2第二类换元法4.2.1第一类换元法（凑微分法）4.2.1

第一类换元法（凑微分法）例4.2.1

求分析无法直接利用积分公式，因此可以将作为整体，凑出积分变量，再进行计算.解令，则由此可见,计算的关键步骤是把它变成,然后通过变量代换就可化为易计算的积分.

而如果又是另一个变量的函数是一般地，如果的一个原函数，则且可微，那么根据复合函数的微分法，有由此得

于是有如下定理：定理4.2

则有换元公式注：如果积分不能直接利用利用基本积分公式计算，而其被积表达式能表示为可导，是具有原函数

设的形式，较易计算，那么可令且代入后有这样就得到了的原函数.这种积分称为第一类换元法.由于在积分过程中，先要从被积表达式中凑出一个积分因子因此第一类换元法也称为凑微分法.解

分析

被积函数

是

与构成的复合函数，因此作变量代换.例4.2.2

求

例4.2.3

求解

被积函数可看成

与构成的复合函数，虽没有这个因子，但我们可以凑出这个因子：如果令便有

，把它化为

一般地，对于积分总可以作变量代换

例4.2.4

求解

令,则在方法比较熟悉后，不定积分的换元法就可以删繁就简，略去设中间变量和换元的步骤，而直接凑成基本积分公式的形式．，即分析

可将

作为

例4.2.5

求分析

将作为，将其凑成微分部分.解：

例4.2.6

求

分析

凑微分，利用积分公式

计算.解

类似的方法可以计算

如下：解类似地可得

例

4.2.7

求和

分析

将正切函数转化成正余弦，再凑微分.解类似地可得

例4.2.8

求

和

分析

此题可以转化为正余弦，也可直接变形凑微分计算，采用第二种方法较为简单.

例4.2.9

求分析

含有

的函数求积分，通常利用求解.解

例4.2.10

求分析

原式变形，利用

求解.解解类似地可得

例4.2.11

求下列不定积分.(1)(2)(1)分析

通常三角函数平方的积分需要先降次再积分.(2)分析

正割的4次方，充分利用凑出微分求解.解

目前为止，我们已经掌握所有三角函数以及三角函数平方的积分了.(1)

(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)

凑微分是利用第一类换元法求解积分的主要技巧，熟记常见凑微分的形式往往会提高解题速度和能力。一般地，有如下几种常见的凑微分形式：4.2.2第二类换元法

第一类换元法是通过变量代换

，将积分化为积分．第二类换元法是通过变量代换，将积分化为积分

上述公式的成立是需要一定条件的，首先等式右边的不定积分要存在，即被积函数在求出后一个积分后,再以反函数代回去,这样换元积分公式可表示为:的有原函数；其次,的反函数要存在.我们有下面的定理．定理4.3

设函数

连续,单调、可导，并且，则有换元公式证明

设的原函数为，记,利用复合函数的求导法则及反函数的导数公式可得：即

是

的原函数，所以有：证明完毕．第二类换元法通常适用于以下几个类型：1.被积函数含有2.被积函数含有3.被积函数含有下面逐个举例说明．分析

为使被积函数有理化，利用三角公式解

令

，,则它是的单调可导函数，具有反函数且

例4.2.12

求因而t分析

利用公式，可以去掉根号.解

令，如图，则于是

其中

例4.2.13

求

例4.2.14

求分析

同上题，利用解令

，则

，，于是，

例4.2.15

求分析

为使被积函数有理化，利用三角恒等式解

被积函数的定义域为

，令可求得被积函数在内的不定积分，这时,故其中

，当

时，可令类似地可得到相同形式的结果．

例4.2.16

求

分析

同上题，利用三角恒等式解被积函数定义域为，令，此时，故原式=利用直角三角形，回代：原式=当时，此时原式=因此，

综上可以看出，第二类换元法一般是利用三角代换将被积函数中的无理因式化为三角函数的有理因式，从而解决根号下含有二次函数型的积分．现总结如下：1.若被积函数中含有时，可作代换或2.含有

时，可作代换3.含有

时，可作代换

变量回代时，利用直角三角形可以快速解出所求量,因此不失为一种切实有效的方法.

除以上三角换元之外，很多时候还需用到其他换元的方法，比如常见的有倒代换和根式换元等等.下面举一两个例子加以说明.例4.2.17

求解因此当时，有综合起来，得当时，,有,则令例4.2.18求分析

被积函数含有根号，但根号下是一元函数，无法使用三角换元.为了消去根号，因此可考虑用根式换元.解

令，,将回代得：原式=由此题可知，当被积函数中含有无理式或者

(a,b,c,d为实数)时，我们常作代换或

在本节的例题中，有几个积分结果是以后经常会遇到的．所以它们通常也被当作公式使用．这样,常用的积分公式，除了基本积分表中的以外，再添加下面几个(其中常数a＞0).通常这21个式子可以被当作公式使用．(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)例4.2.19求下列不定积分．（1）（2）

(1)分析

分母是二次函数，能因式分解，将其拆开裂项，再分别积分.解

(2)分析

分母是二次函数，但不能因式分解，此时需要配方，再用积分公式.解利用公式(18)，可得思考

试求.

本节我们研究了不定积分的两种换元法——第一类换元法与第二类换元法，通过这些技巧可以解决很大一部分函数的积分问题.但是，仅仅这些方法对于处理有些积分是远远不够的，例如

，无论用哪类换元法都是行不通的.那我们应该怎样解决这类积分呢？下节让我们继续讨论.小

结§4.3分部积分法引言上一节我们提到了有很多看似简单的函数利用换元法是无法求出积分的，诸如

等，像此类的不定积分，需要用到求不定积分的另一种基本方法――分部积分法．移项得对这个等式两边求不定积分，得此公式称为分部积分公式.如果积分不易求,而积分比较容易时,用分部积分公式就可以计算了.具体推导过程如下：设函数及具有连续导数．那么，两个函数乘积的导数公式为通常将上式变形，得到如下更易记忆的形式:

1.仔细观察，将被积函数分成两部分和，并变为的形式；2.代入公式，计算，使；3.计算，从而算出整个积分值.分部积分法可分为以下几步完成：解(1)若选择，，则，于是

例4.3.1

求

分析由于被积函数是是两个函数的乘积,选其中一个为,那么另一个即为．到底谁为呢？我们不妨两种都试一下.这样做的结果就是新得到的部分比原积分更加难求，因此这种选择行不通.(2)若选择，，于是由此例可以看到，如果和选取不当，就求不出结果．所以应用分部积分法时，恰当选取和是关键，一般以比易求出为原则.

例4.3.2求下列不定积分.(1)；(2).分析两道例题皆是含有，若将其作为，则很难得到，因此.解：(1)

(2)

例4.3.3求下列不定积分.(1)；(2).分析两道例题皆是含有反三角函数，若将其作为，同样很难得到，因此只能将其作为.解（1）

(2)若被积函数是指数为正整数的幂函数(或常函数)和对数函数或反三角函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并选择幂函数为．反之，若被积函数是指数为正整数的幂函数(或常函数)和指数函数或三角函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并选择幂函数为．．解

分析被积函数是幂函数(指数为正整数)和三角函数的乘积，选择幂函数为容易求解.例4.3.4求

例4.3.5求．解类似的方法可求

例4.3.6求．解令，则.于是

例4.3.7求.令

，解则

.

*例4.3.8求．解思考

试求.小

结

本节以分部积分法为重点，解决了一大类典型函数的积分问题，为以后的章节打下了基础.目前为止，我们已经学习不定积分的两种主要方法——换元法和分部积分法，这些方法并不是孤立的，在实际运算中，往往需要结合各种技巧才能事半功倍.但同时我们注意到，有些函数的积分是不好计算的，比如有理函数和含有三角函数的有理式，我们将要在下节单独进行研究.

§4.4某些特殊类型的不定积分

预备知识：二次函数的因式分解；多项式除法法则；三角函数的万能公式.4.4.1有理函数的不定积分定义4.3

有理函数（有理分式）指的是两个多项式之比所构成的函数，其一般式可表示为：与不可约如果n<m,称上式为真分式，如果n≥m,称上式为假分式，利用多项式的除法，可以将假分式化为多项式与真分式的和．因此，只要掌握真分式的积分，就可以解决假分式的积分问题．例如：设是真分式，即，则在实数范围内，可以将分母因式分解成为若干因式与因式的乘积．(1)如果分母含有单因式，通过待定系数法即可确定(2)如果分母含有重因式，则部分分式相应含有项之和：通过待定系数法即可确定(3)如果分解后含有质因式，则部分分式必然含有一项，待定系数法求出即可；*(4)如果分解后含有质因式，部分分式呈现如下形式：最后(4)这种情况过于繁复，本书不在赘述.上述过程称为将真分式化为最简分式之和．分析上述结果，有理真分式的积分大体有下面三种形式：接下来我们继续研究利用待定系数法求解有理函数的积分问题.例

4.4.1

计算不定积分分析被积函数分母可分解为两个单因式乘积，因此为第一种类型，用待定系数法来处理.解令等式右边通分，两端分子相等两端比较系数，得：解得：则例

4.4.2

计算不定积分分析

被积函数分母为一次函数与二重因式乘积，其中