高等数学（经济类）全书习题解答第5章（不定积分）

PAGE1习题解答习题5－11．已知一个函数的导数是，且当x=1时,该函数值是，求这个函数.解设所求函数为f(x),则由题意知又当x=1时，，代入上式,得C=故满足条件的函数为.2．验证在(-∞,+∞)内,，，都是同一函数的原函数．解因为3．求下列不定积分：（1）；解；（2）；解；（3）；解；（4）；解；（5）；解；（6）；解；（7）；解；（8）；解；（9）；解；（10）；解；（11）；解；（12）；解；（13）；解；（14）；解；（15）；解；（16）；解；（17）；解；（18）；解；（19）；解；（20）；解；（21）；解；（22）；解；（23）．解．（24）；解； （25）；解；（26）.解.4．已知一曲线通过点，且曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程．解设所求曲线方程为，则，，由曲线过点，得，即所求曲线方程为．5.设某企业的边际收益是(其中x为产品的产量)，且当产量x=0时，收益R=0.试求收益函数R(x)和平均收益函数.解由已知边际收益是所以在上式两端积分,得将代入上式,得C=0故收益函数为平均收益函数为.6.一种流感病毒每天以(240t–3t2)/天的速率增加,其中t是首次爆发后的天数，如果第一天有50个病人，求在第10天被感染的人数．解设为天被感染上的人数,则由题意得所以上式两端积分,得又当时，代入上式,得C=－697.已知f(x)=ktan2x的一个原函数是，求常数k.解因为是f(x)的一个原函数,所以8.已知,求函数f(x).解因为由不定积分的性质,有所以,令t=x+1,有9.设f(x)是(-∞,+∞)内的连续的奇函数,F(x)是它的一个原函数,证明:F(x)是偶函数.证由已知F(x)是f(x)的一个原函数,则又因为f(x)是(-∞,+∞)内的连续的奇函数,则于是即,故F(x)是偶函数.习题5－21．在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立：（1）；解；（2）；解；（3）；解；（4）；解；（5）；解；（6）；解；（7）；解；（8）；解；（9）；解；（10）.解2.若己知，求下列各式积分(1)(2)(3)(4)解（1）因为.（2）因为（3）因为（4）因为3．利用第一类换元法求下列不定积分：（1）；解；（2）；解；（3）；解（4）；解；（5）；解；（6）；解；（7）；解；（8）；解；（9）；解；（10）；解；（11）；解；（12）；解；（13）；解；（14）；解；（15）；解；（16）；解；（17）；解；（18）；解；（19）；解；（20）；解；（21）；解；（22）；解=；（23）；解；（24）；解；（25）；解；（26）；解；（27）；解；（28）；解；（29）；解；（30）；解；（31）；解；（32）；解；（33）；解；（34）；解；（35）；解；（36）；解；（37）；解；（38）；解；（39）；解；（40）．解．4．利用第二类换元法求下列不定积分：（1）；解令，则，；（2）；解令，则，；（3）；解令，则，；（4）；解令，则，；（5）；解令，则，；（6）；解令，则，；（7）；解令，则，；（8）；解令，则，；（9）；解令，则，，；（10）；解令，，则。于是，。（11）；解令，，则。于是，。（12）；解令，则，，；（13）；解令，则，，；（14）。解令，，则。于是，。（15）；解令，则，，；（16）；解；（17）解令，则，（18）解令，则，（19）。解令，，则。于是，。（20）。解令，则。于是，。（21）；解；（22）；解．习题5－31．求下列不定积分：（1）；解；（2）；解；（3）；解；（4）；解（5）；解；（6）；解；（7）；解；（8）解；（9）；解；（10）；解；（11）；解；（12）；解；（13）；解；（14）；解；（15）；解；（16）；解；（17）；解；（18）；解；（19）；解；（20）；解；（21）；解；（22）；解；（23）；解；（24）；解令，则，，；（25）；解令，则，，；（26）；解；2．已知的一个原函数为，求．解．3．已知，求函数.解设，则由已知，可得所以故.4．已知函数的一个原函数是，求不定积分.解因为函数的一个原函数是,则所以两边求导,得且于是故.习题5－41．求下列不定积分：（1）；解；（2）；解；（3）；解；（4）；解，通分，得令，得，令，得，比较项系数，得，，；（5）；解，通分，得令，得令，得比较项系数，得，解得比较项系数，得，解得；（6）；解；（7）；解；（8）；解；（9）；解；（10）.解.（11）；解；（12）；解；（13）；解；（14）；解令，则，，；（15）；解令，则，，；（16）；解令，则，，．2．求下列三角有理式的不定积分：（1）；解令，则，；（2）；解令，则，；（3）；解令，则，．（4）；解令，则，；（5）．解令，则，，；（6）；解；（7）．解．（8）；解；（9）；解．总习题51．选择题（1）函数的原函数是()（A）（B）（C）（D）解因为，所以的一个原函数是，即选项（A）正确；（2）若等式成立，则函数（）（A）（B）（C）（D）解对两边求导，得所以选项（B）正确；（3）设是连续函数，是的原函数，则（）（A）当是奇函数时，必为偶函数（B）当是偶函数时，必为奇函数（C）当是周期函数时，必为周期函数（D）当是单调函数时，必为单调函数；解因为奇函数的任意一个原函数都是偶函数，即选项A正确；（4）设，则（）；（A）（B）（C）（D）解因为，所以选项C正确；（5）设，是的原函数，且，则（）（A）（B）（C）（D）；解因为，所以一定连续，仅有选项D的函数在处连续，即选项D正确．2．填空题（1）；解；（2）设，则；解令，所以，；（3）设，则；解因为，，所以；（4）已知的一个原函数为，则；解；（5）设，且，则．解令，所以，由，得．3．求下列不定积分（1）；解；（2）；解；（3）；解；（4）；解；（5）；解；（6）；解；（7）；解；（8）；解令，则，；（9）；解令，则，；（10）；解令，则，；（11）；解令，则，，；（12）；解；（13）；解；（14）；解；（15）；解；（16）；解；（17）；解；（18）；解；（19）；解；（20）；解；（21）；解；（22）；解．4．设函数F(x)为f(x)的原函数,且x≥0,，已知F(0)=1,F(x)>0,试求函数f(x).解因为F(x)为f(x)的原函数，即又因为F(0）=1，代入上式,得C=0所以5．设当x≠0时，连续，求.6．设，，，且，求函数.解因为7.一公司某产品的边际成本为3x+20,它的边际收益为44-5x,当生产与销售80单位产品时的成本为11400元，试求:(1)该产品产量的最佳水平;(2)利润函数;(3)在产量的最佳水平状态下该公司是盈利还是亏损?解（1