数学学案：平面的基本性质与推论

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精数学人教B必修2第一章1.2.1平面的基本性质与推论1．理解平面的三个基本性质与三个推论，并会用三种语言表示性质和推论．2．了解异面直线的概念，能用符号语言描述点、直线、平面之间的相互位置关系．3．能进行文字语言与数学图形语言和符号语言间的相互转化与应用．1．空间点和直线的基本性质(1）连接两点的线中，________最短．(2）过________有一条直线，并且只有一条直线．2．平面的基本性质文字语言图形语言符号语言基本性质1如果一条直线上的________在一个平面内,那么这条直线上的______都在这个平面内．这时就说，直线________或平面________若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，则______基本性质2经过不在同一条直线上的三点，________一个平面，简称为不共线的三点________一个平面若A,B，C三点不共线，则有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α基本性质3如果不重合的两个平面__________，那么它们________一条过这个点的公共直线．这条公共直线叫做这两个平面的________若A∈α，A∈β，则α∩β＝l且A∈l【做一做1－1】若点B在直线b上，b在平面β内，则B,b，β之间的关系可以记作（）．A．B∈b∈βB．B∈b⊂βC．B⊂b⊂βD．B⊂b∈β【做一做1－2】若两个不重合的平面有公共点，则公共点的个数是()．A．1个B．2个C．1个或无数个D．无数个且在同一条直线上【做一做1－3】如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b且M∈l，N∈l，那么()．A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝MD．l∩α＝N3．平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和直线外的一点,__________个平面．推论2:经过两条______直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条______直线,有且只有一个平面．空间中的几个点或几条直线,如果都在同一平面内，我们就说它们________．【做一做2－1】下列命题正确的是()．①一条直线和一个点确定一个平面；②两条相交直线确定一个平面;③两条平行直线确定一个平面；④四个点确定一个平面．A．①③B．②③C．③④D．②③④【做一做2－2】由4条平行直线最多可以确定（)．A．2个平面B．4个平面C．5个平面D．6个平面4．空间两条直线的位置关系位置关系共面情况公共点个数相交直线在同一平面内__________平行直线__________没有________不同在任何一个平面内没有【做一做3】下列说法正确的是()．A．四边形是平面图形B．有三个公共点的两个平面必重合C．两两相交的三条直线必在同一个平面内D．三角形是平面图形5．异面直线(1)画法：画两条异面直线时，为了充分显示出它们既不________又不______的特点,即________的特点，通常采用平面衬托法，以加强直观性，常见的画法如下图．（2)判断方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线．【做一做4】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与棱AA1成异面直线的棱有__________条．1．对异面直线的理解剖析：若直线a，b是异面直线，则在空间中找不到一个平面，使其同时经过a，b两条直线．例如，如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AB和B1C1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线．要注意分别在两个平面内的直线不一定是异面直线，可以平行，可以相交，也可以异面．2．平面的基本性质的作用剖析:(1)基本性质1的作用．利用基本性质1可以判断一条直线是否在一个平面内．基本性质1给出了判断直线在平面内的方法，引出了直线在平面内的定义，从而说明了在空间中的每个平面内都存在着各种平面图形，在每个平面内都可以用初中的平面几何知识．另外，该基本性质也是判断点在平面内的方法，还可借此用直线来检验平面．（2）基本性质2的作用．作用之一是确定平面，作用之二是可用它来证明点、线共面问题．(3)基本性质3的作用．平面的基本性质3主要说明了两个相交平面的特征，对我们确定两个平面的交线有着重要的作用．其一，它是判定两个平面是否相交的依据,也就是说，只要两个平面有公共点,则这两个平面就相交；其二，它可以证多点共线的问题．若点是某两个平面的公共点，则该点必定在这两个平面的交线上．3．教材中的“思考与讨论”已知两条直线相交，过其中任意一条直线上的一点作另一条直线的平行线,这些平行线是否都共面？为什么？剖析:都共面，如图所示，a∩b＝A，过b上任意一点B作c∥a，则a，c可确定一个平面α.因为A∈a，所以A∈α.又因为B∈c,所以B∈α，所以AB⊂α，即b⊂α。所以a，b，c共面．同理在a上任取一点作b的平行线，都与a,b共面，所以这些平行线都共面．题型一文字语言、图形语言和符号语言的转换【例1】将下面用符号语言表示的关系改用文字语言予以叙述，并且用图形语言予以表示．α∩β＝l,A∈l，AB⊂α，AC⊂β.分析：本题实质是数学的三种语言：符号语言、文字语言、图形语言之间的互译．反思：符号语言简洁，层次感强．文字语言比较自然、生动,它能将问题所研究的对象的含义更加明白地叙述出来．教科书上的概念、定理等多以文字语言叙述．图形语言，易引起清晰的视觉形象，它能直观地表达概念、定理的本质以及相互关系，在抽象的数学思维面前起着具体化和加深理解的作用．各种数学语言间的互译可为我们在更广阔的思维领域里寻找问题解决的途径提供方便．题型二共线问题【例2】如图所示，已知△ABC的三边所在的直线分别与平面α交于P，Q，R三点．求证：P,Q，R三点共线．分析：证明P,Q，R三点均在平面ABC与平面α的交线上．反思:证明点共线，可先由两点确定一条直线，再证其他的点也在这一直线上，也可证明所有点都在一条特定直线(两平面交线）上．题型三共面问题【例3】如图所示，已知一直线a分别与两平行直线b,c相交．求证：a，b，c三线共面．分析:有两种方法．（1)先用两平行直线b,c确定一个平面，再证a也在这个平面内；(2）先由两条相交直线a,b确定一个平面，再证c也在这个平面内．反思：本题为我们证明共面问题提供了多角度的思维模式，但整体套路是先用部分对象确定一个平面，后证明剩余对象亦在其中．题型四共点问题【例4】三个平面α,β,γ两两相交于三条直线,即α∩β＝c，β∩γ＝a,γ∩α＝b，若直线a和b不平行,求证:a，b，c三条直线必过同一点．分析：直线过同一点，我们可以这样来思考：先证明两线相交,得一交点,然后证明该点在其余的直线上（或其余的直线经过该点)．反思:证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题化归到证明点在直线上的问题．题型五交线问题【例5】如图所示，G是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1延长线上一点,E，F是棱AB，BC的中点．试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．（1）过点G及AC;（2)过三点E，F,D1。分析：找两个平面的两个公共点，则过这两个公共点的直线为两平面的交线．反思：画截面截得正方体的截面图形，关键是利用好公理,找到两个平面上的公共点是解决此类问题的突破口．题型六易错辨析【例6】在空间中，可以确定一个平面的条件的序号有__________．①两两相交的三条直线②三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交③三个点④三条直线，它们两两相交，但不交于同一点错解：①②③④错因分析：不能正确理解确定一个平面所需的条件，往往是疏忽了其中的特殊要求，只记得性质和推论的大概致误．1与“直线l上两点A，B在平面α内"含义不同的是(）．A．l⊂αB．平面α过直线lC．直线l上只有这两个点在α内D．直线l上所有点都在α内2平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α,且C∉l，但C∈β，又AB∩l＝R,如图,过A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是()．A．直线ACB．直线BCC．直线CRD．直线AR3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q,R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么在正方体中过P，Q，R的截面图形是（)．A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形4如图所示，请把下面的叙述用符号语言表示出来．(1）点A,B在直线a上：__________；(2)直线a在平面α内:__________,点C在平面α内：__________；(3)点D不在平面α内：__________，直线b不在平面α内：__________.5木匠师傅只需要用三只脚就能将一张圆桌面平稳地固定,为什么？答案：基础知识·梳理1．(1）线段(2）两点2．两点所有点在平面内经过直线l⊂α有且只有确定有一个公共点有且只有交线【做一做1－1】B关键是弄清点与直线是元素与集合之间的关系，直线与平面是集合与集合之间的关系．【做一做1－2】D利用基本性质3可知如果两个平面有一个公共点，则它们就一定有一条交线,而线是由无数个点构成的，所以这两个平面有无数个在同一直线上的交点．【做一做1－3】A因为M∈a，N∈b，a，b⊂α，所以M，N∈α，根据基本性质1可知l⊂α.故选A.3．有且只有一相交平行共面【做一做2－1】B【做一做2－2】D本题从确定平面的条件来考虑即可,要使四条平行直线确定的平面最多，只有当这四条直线中任两条所确定的平面互不相同时即为最多，从而得到结果．由确定平面的条件知，由四条平行直线最多可以确定六个平面，选D.4．有且只有一个在同一平面内异面直线【做一做3】D空间四边形不是平面图形,故选项A说法不正确；若三个公共点在一条直线上，则两个平面不一定重合，选项B也是错误的;选项C中两两相交的三条直线可能会经过同一点，此时三条直线不一定在同一个平面内．故选D。5．（1)平行相交不共面【做一做4】4典型例题·领悟【例1】解：文字语言叙述为：点A在平面α与平面β的交线l上,AB,AC分别在α,β内．图形语言如下图所示．【例2】证明：∵A，B，C是不在同一直线上的三点，∴过A，B，C有一个平面β.又∵AB∩α＝P，且AB⊂β，∴点P既在β内又在α内．设α∩β＝l，则P∈l.同理可证：Q∈l，R∈l.∴P,Q，R三点共线．【例3】证法一：∵b∥c，则b，c确定一个平面，设为α，如图,令a∩b＝A,a∩c＝B，∴A∈α，B∈α,∴AB⊂α，即直线a⊂α。∴a，b,c三线共面．证法二：∵a与b是相交直线，则a，b确定一个平面，设为α,如图，设a∩c＝A，过A点在α内作直线c′∥b，∵c∥b，c′∥b,∴c∥c′。又∵c与c′相交于点A，∴c与c′重合．∴a,b，c三线共面．【例4】证明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ。由于直线a和b不平行，∴a,b必相交,设a∩b＝P，如图，则P∈a,P∈b.∵a⊂β,b⊂α，∴P∈β，P∈α.又α∩β＝c，∴P∈c,即交线c经过点P.∴a,b,c三条直线相交于同一点．【例5】解:(1)画法:连接GA交A1D1于点M；连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN,AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．(2)画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE,则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．【例6】④正解：①中两两相交的三条直线，它们可能交于同一个点，也可能不交于同一个点，若交于同一个点，则三条直线不一定在同一个平面内，故排除①；②中的另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，则三条直线不能确定一个平面，故排除②;对于③来说，三个点的位置可能不在同一直线上,也可能在同一直线上，只有前者才能确定一个平面，故排除③；条件④中的三条直线，它们两两相交且不交于同一点,因而其三个交点不在同一直线上，由