数学学案：命题的四种形式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精数学人教B选修1—1第一章1。3。2命题的四种形式1．了解四种命题的定义．2．会分析四种命题的相互关系．1．四种命题（1)原命题：如果p，则q;（2）原命题的条件和结论“换位”得如果____，则____，这称为原命题的逆命题;（3）原命题的条件和结论“换质”（分别否定）得如果______,则______，这称为原命题的否命题．否命题和命题的否定是两个不同的概念,应注意区别：①一般地,只有“如果p,则q”形式的命题才有否命题:“如果p，则q”，而一般命题都可有“否定命题”;②一般命题的否定命题与原命题总是一真一假,而“如果p,则q”的否命题与原命题的真假可能相同也可能相反．(4)原命题的条件和结论“换位"又“换质”得如果______，则______,这称为原命题的逆否命题．原命题是我们自己规定的，其他三种命题是相对原命题而言的．【做一做1】已知命题“如果x2＝1，则x＝1或x＝－1”为原命题，写出它的其他三种命题．2．四种命题的关系（1)原命题和________是互逆的命题；________和逆否命题也是互逆的命题．（2）原命题和________、逆命题和__________分别是互否的命题．（3）原命题和________、逆命题和________分别都是互为逆否的命题．四种命题的关系如下图:【做一做2】与命题“如果x＞2，则x2＞4”互逆的命题是(）A．如果x＞2，则x2＜4B．如果x≤2，则x2≤4C．如果x2≤4，那么x≤2D．如果x2＞4,则x＞21．互为逆否的两个命题的等价性的理解．剖析：互为逆否的两个命题的等价性可以从集合角度给出恰当的解释．设A＝{x｜p（x)}，B＝{x｜q(x）｝,其中p，q是集合A，B中元素的特征性质,如果AB，则意味着对于元素x要具有性质p就必须有性质q，所以可以认为AB与p⇒q等同．由维恩图(如图所示）易发现有下面的结论：AB与∁UB∁UA等价,也就说明“p⇒q”与“q⇒p”等价．2．互为逆否命题的等价性的应用．剖析：由于原命题和逆否命题同真同假,逆命题和否命题同真同假，所以当一个命题不易判断真假时，可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假,这种手段特别适合条件和结论是否定形式的命题,如判断“如果a＋b≠5,则a≠2或b≠3”的真假，直接去看，是不易判断其真假的，但以其逆否命题“如果a＝2且b＝3，则a＋b＝5"来判断真假就十分容易了．题型一四种命题【例1】写出命题“已知a，b，c,d都是实数，若a＝b，c＝d,则a＋c＝b＋d”的逆命题、否命题与逆否命题．分析：先分清命题的条件和结论，再由四种命题的定义写出即可．条件“a＝b，c＝d”是“p且q”形式的命题，其否定为“a≠b或c≠d"．反思：写已知命题的逆命题、否命题与逆否命题时，应把已知命题看成原命题，首先分清原命题的条件和结论，然后利用四种命题的定义写出其他三种命题．题型二四种命题的关系【例2】已知下列四个命题:（1)p：若一个数是负数,则它的平方是正数；(2）q：若一个数不是负数,则它的平方不是正数;(3)s：若一个数的平方不是正数，则它不是负数;（4）r:若一个数的平方是正数，则它是负数．其中是互为逆否关系且都为真的两个命题为（）A．p与rB．q与rC．p与qD．p与s反思:解决本题的关键是明确四种命题的相互关系，利用“原命题与逆否命题"互为逆否、“否命题与逆命题”互为逆否来解决．题型三命题的否定与命题的否命题【例3】写出命题“面积相等的三角形是全等三角形”的否定及否命题,并判断它们的真假．分析：该命题是省略全称量词的全称命题，写其否定时要添加存在量词．利用否命题的定义写出否命题．反思：命题的否定一般来说只否定命题的结论；而写原命题的否命题时，既要否定条件又要否定结论．1对原命题的条件和结论分别否定得到的命题是原命题的（）A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．全称命题2命题“若两个角相等，则这两个角是对顶角”的逆命题是（）A．若两个角是对顶角,则这两个角相等B．若两个角不是对顶角，则这两个角不相等C．若两个角是对顶角,则这两个角不相等D．若两个角不相等，则这两个角不是对顶角3与命题“若a·b＝0，则a⊥b”等价的命题是()A．若a·b≠0,则a不垂直于bB．若a⊥b,则a·b＝0C．若a不垂直于b，则a·b≠0D．若a·b≠0，则a⊥b4与命题“若实数a＞1,则函数y＝ax是增函数”互为逆否的命题是（)A．若实数a＜1,则函数y＝ax不是增函数B．若实数a≤1，则函数y＝ax不是增函数C．若函数y＝ax是增函数，则实数a＞1D．若函数y＝ax不是增函数，则实数a≤15命题“如果角α＝45°，则tanα＝1”的否定是“______________"；其否命题是“______________”．答案：基础知识·梳理1．（2）qp（3)pq（4）qp【做一做1】解：它的逆命题、否命题、逆否命题分别为：如果x＝1或x＝－1，则x2＝1；如果x2≠1，则x≠1且x≠－1;如果x≠1且x≠－1,则x2≠1。2．(1)逆命题否命题（2)否命题逆否命题（3）逆否命题否命题【做一做2】D典型例题·领悟【例1】解：逆命题：已知a，b，c，d都是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d；否命题：已知a，b,c，d都是实数，若a≠b或c≠d,则a＋c≠b＋d；逆否命题：已知a，b,c，d都是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d.【例2】D利用四种命题的相互关系可判断p与s,q与r都互为逆否关系;命题p是真命题，利用互为逆否的两个命题真假性相同可知s也是真命题,而命题q，r为假命题,故选D.【例3】解:其否定为：有些面积相等的三角