海南省2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 含解析

2024—2025学年海南高一年级阶段性教学检测（一）数学1．本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页．2．考查范围：必修第一册第一章、第二章．一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列说法正确的是（）A.高一（1）班视力比较好的同学可以构成集合B.方程的解构成的集合与相等C.D.方程的实数解构成的集合为【答案】B【解析】【分析】A根据确定性判断；B写出解集即可判断；C注意点集的两个点不同；D注意的情况.【详解】A：视力比较好的标准不明确，不能构成集合，错；B：由，可得解为或，对应集合为，对；C：显然表示不同的点，故集合不相等，错；D：若时，集合为，不能写成，错.故选：B2.命题：，使是素数，则命题的否定为（）A.，使不是素数 B.，是素数C.，不是素数 D.，使不是素数【答案】C【解析】【分析】由特称命题的否定是存在改任意并否定原结论，即可得答案.【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为，不是素数.故选：C3.下列命题中真命题的序号为（）①若，则，；②若，则；③存在不全等的三角形，使它们的面积相等；④面积相等的两个三角形一定是全等三角形．A.②③ B.①④ C.①③ D.②④【答案】A【解析】【分析】①由，等式成立，即可判断；②利用不等式的传递性判断；③④示例：两个直角三角形，直角边分别为和，即可判断.【详解】①由，时，也成立，假命题；②若，必有，而，故，真命题；③两个直角三角形，直角边分别为和，则它们的面积相等，但三角形不全等，所以存在不全等的三角形，使它们的面积相等，真命题；④同③示例，知面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，假命题.故选：A4.不等式的解集为，则（）A.， B.， C.， D.，【答案】C【解析】【分析】将或3代入不等式左侧判断与0的大小关系，即可确定元素与集合的关系.【详解】由，故，由，故.故选：C5.定义：已知集合满足，，都有，则称集合对于这种*运算是封闭的．下列论述错误的是（）A.若，则对于加法“＋”封闭 B.若，则对于减法“－”封闭C若，则对于乘法“×”封闭 D.若，则对于除法“÷”封闭【答案】D【解析】【分析】根据题设新定义，结合数的加减乘除性质判断各项正误.【详解】A：任意两个自然数相加必是自然数，所以对于加法“＋”封闭，对；B：任意两个实数相减必是实数，所以对于减法“－”封闭，对；C：任意两个有理数相乘必是有理数，所以对于乘法“×”封闭，对；D：对于除数是0的情况，任何数除以0没有意义，故对于除法“÷”不封闭，错.故选：D6.不等式的解集为（）A. B.C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】由，得，即，解得，所以不等式的解集为.故选：A.7.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先分别求出集合，再根据集合的包含关系及交集的定义即可得解.【详解】由，得，解得，故，，所以是的真子集，，故B正确，ACD错误.故选：B.8.已知，，，则的最小值为（）A.11 B.10 C.9 D.8【答案】D【解析】【分析】根据题设得到且，代入目标式并应用基本不等式求最小值，注意取值条件.详解】由题设，又，，故，则，所以，当且仅当，时等号成立，所以最小值为8.故选：D二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】CD【解析】【分析】举出反例即可判断AB；根据不等式的性质即可判断CD.【详解】对于A，当时，，故A错误；对于B，当时，，故B错误；对于C，若，则，所以，故C正确；对于D，若，则，则，故D正确.故选：CD.10.已知集合，，则下列说法正确的是（）A.有2个子集 B.中任意两个元素差的最小值为C. D.或【答案】ABD【解析】【分析】根据集合的交并补运算及子集的定义逐一判断即可.【详解】对于A，，所以有2个子集，故A正确；对于B，，则中任意两个元素差的最小值为，故B正确；对于C，或x≥1，所以，故C错误；对于D，且，所以或x>1，故D正确.故选：ABD.11.已知集合，，，，若关于的方程有两个不相等的实数解，则实数的值可能为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】BC【解析】【分析】根据题设可得，则在上有两个不等的实数解，结合对应二次函数性质列不等式求参数范围，即可得答案.【详解】由，则至少有一个元素属于，由，则至少有一个元素不属于，又，故，由有两个不相等的实数解，对于二次函数，开口向上且对称轴为，所以Δ=1+4a>0(-2)2故选：BC三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.不等式的解集为_________．【答案】【解析】【分析】将不等式化为，即可求解集.【详解】由题设，即，解集为.故答案为：13.若，则的最大值为_________．【答案】【解析】分析】直接利用基本不等式求解即可.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为.故答案为：.14.若集合，，且，则实数_________．【答案】0或1【解析】【分析】根据题设有，结合包含关系及，讨论参数求对应参数值，并判断是否同时属于集合，即可得答案.【详解】由题设，又，且，由于，讨论如下：当，即时，，满足；当，即时，，满足；而或或时，，不满足.所以0或1.故答案为：0或1四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知，．（1）求证：；（2）求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用不等式的性质证明即可；（2）应用作差法比较大小，即可证.【小问1详解】由，则，故，由，则，故，所以，得证.【小问2详解】由，而，所以，即，得证.16.在中，．（1）若，求面积的最大值；（2）若，求周长的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据，结合基本不等式有求最大值，再由求面积最大值，注意取值条件；（2）根据题设有，结合求得，，注意等号成立条件，即得周长最小值.【小问1详解】由题设，，且，，所以，当且仅当时取等号，所以，即面积的最大值为.【小问2详解】由，即，由，即，当且仅当时取等号，故，，它们取等号的条件均为，所以周长，即周长的最小值为.17.已知二次函数fx=ax2+bx+c，，不等式的解集为或（1）求的解析式；（2）设，不等式gx<0的解集为，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题设有的解集为或，结合对应一元二次方程根与系数关系求参数，即可得解析式；（2）由题设有的解集为，结合对应二次函数性质列不等式求参数范围.小问1详解】由题设，则，即的解集为或，所以，可得，故；【小问2详解】由的解集为，所以k−1>0Δ=4−16(k−1)≤0，可得18.已知二次函数，方程有且仅有一个实数根．（1）求，，的关系；（2）若的图象过点，且图象的对称轴与轴正半轴相交．证明：方程的两个不同实根之和大于2的充要条件为．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题设有且仅有一个实数根，有求参数关系；（2）由题设及（1）得，对于有且，进而有，即可证结论.【小问1详解】由题设有且仅有一个实数根，则，所以.【小问2详解】由题设，结合（1）有，若的两个不同实根分别为，所以，即，由两根之和大于2，即，故，则，所以，综上，，所以方程的两个不同实根之和大于2的充要条件为.1