2024年中考数学复习考点帮：考点17 相似三角形（解析版）

考点17相似三角形

在命题趋势

相似三角形是中考数学中非常重要的一个考点，也是难度最大的一个考点。它不仅可以作为简单考点单

独考察，还经常作为压轴题的重要解题方法，和其他如函数、特殊四边形、圆等问题一起考察。而且，在

很多压轴题中，虽然题面上没有明确考察相似三角形的判定或性质，但是经常通过相似三角形的判定以及

性质来得到角相等或者边长间的关系，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段。需要考生在复习的时

候给予加倍的重视！

在知识导图

«

比例线8

L-比例的基本性质基本性质a:b=c:d。ad=be

比例黄金分割线：黄金分割比=V5-1

------»0.618

2

平行线分线段成比例的基本性质：ABuCDliEF江=空

CFDE

例归角形对应角相等，对应边成比例

相似三角形

相，以三角形的性质相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方

相似三角形对应边上的“三线”之比等于相似比

平行于三角形一遍的直线和其它两边相交，所得的三角形与原三角形相似

有两个角对应相等的两个三角形相但

相似三角形的判定

两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似

三边对应成比例的两个三角形相似

中重却考向

一、比例线段

二、相似三角形的性质

三、相似三角形的判定

考向一：比例线段

一.比例的性质

1.基本性质：a:b=c:doad=be；

2

2.比例中项；a.c=c.b^c=abf此时，c为a、b的比例中项；

二.比例线段

［比例线段:在四条线段。为,c,d中，如果〃和b的比等于。和d的比,那么这四条线段冬A叫做成比

例线段简称比例线段；

2.黄金分割：把线段AB分成两条线段AC,3c（AC>5。，且使AC是A圻口3c的比例中项，叫做把线

段口黄金分割，点。叫做线段"的黄金分割点，其中与1。。.6―。.618AB.

3.平行线分线段成比例的基本性质:

如图：AB〃CD〃EFO四二型

CFDE

典例引■

1.若2a=3力（aWO,bKO）,则空也的值为（）

a

A.苴B.-iC.1D.2

333

【分析】根据2a=3b（aXO,-0）,设〃=3怎则b=2亿然后代入史也计算即可.

a

【解答】解：・：2a=3b（#0,斤0）,

・•.设a=3&,则。=2&,

•.•a+b二3k+2k二5・.

a3k3

故选:A.

2.已知线段a=3,6=12,则小b的比例中项线段等于（）

A.2B.4C.6D.9

【分析】利用比例中项的平方等于两外项的乘积，进行计算即可.

【解答】解：设〃，力的比例中项线段为。，

则：J="=3X12=36,

Vc>0,

，c=6.

故选：C.

3.若点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC,A8=8,则AC的长度为（）

A.12-4V5B.4V5-4C.5D.275

【分析】根据黄金分割点的定义，知力C为较长线段；则4。=返工A从代入数据即可得出AC的值.

2

【解答】解：・・・C为线段AB=5的黄金分割点，且4OBC,AC为较长线段，

r.AC=8X1=4^^-4.

2

故选：B.

4.如图，已知/i〃/2〃/3,AG=2,06=1,CH=3,OH=4,则G0=苴.

一3一

【分析】根据平行线分线段成比例定理得出里望，求出8G,即可求解.

DHBG

【解答】解：・・・/i〃/2〃/3,

.CH_AG即3

••瓦荻、这年

・・.8G=@,

3

'：G0=BG-05=应-1=6,

33

故答案为：1.

3

5.如图，已知直线人〃/2〃/3,直线A8分别交三条平行线于点A、E、B,直线CO分别交三条平行线于点

C、尸、D,直线AB、8相交于点0,若AE：E0：08=4：2：7,则下列式子①竺，：②"二生

0C3FD9

③1巴上；④旦巴△中，正确的个数有（）

DB7AC2

A.4个B.3个C.2个D.1个

【分析】根据平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质逐项判断便可.

【解答】解：

•・CF：OF=AE：£0=4：2,

.OF」，故①正确;

*DC3

：AE：EO：0B=4：2：7,

\AE：BE=4：9,

・"〃/2〃/3,

•.史故②正确;

河BE9

△OEFsAOBD,

故③正确;

△0EFS20AC,

翁愕屏《卷故④错麻

正确的说法有3个.

故选：B.

考向二：相似三角形的性质

相似三角形的性质

相似相似三角形的对应角桂等，对应边成比例

三角相似三角形的周长之比等于相似比

形的相似三角形的面积之比等于相似比的平方

性质相似三角形的对应“三线”（高线、中线、角平分线）之比等于相似比

相似三角形性质的主要应用方向：

>求角的度数

>求或证明比值关系

>证线段等积式

>求面积或面积比

相似三角形的对应边成比例是求线段长度的重要方法，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段

1.如图，/XABC中，点。在线段3c上，且△A8CS/XO84,则下列结论一定正确的是（）

A

A.AB?=BC・BDB.AB2=AC^CDC.AB・AD=BD・BCD.AB^AD=AD*CD

【分析】根据相似三角形的性质进行计算即可得.

【解答】解：•••△ABCS/XOBA,

•.--3-D-=-A-B-=-A-D-,

ABBCAC

AB2=BCBD-ABAD=BDAC,

故选:4.

2.已知△ABCS/\DEF,SAABC：SAD£F=1：4.则它们的周长比为（）

A.1：2B.1：4C.2：1D.4：1

【分析】由△ABCSADE凡SMBC：SdDEF=l：4,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可

求得答案.

【解答】解：:△ABCs△。所，SMBC：S&DEF=1：4,

.••△ABC与△£>£：〃的相似比为：1：2,

•・.△ABC与△£>£：〃的周长比为：I：2.

故选：A.

3.若两个相似三角形的面积之比为4：9,则它们对应角的平分线之比为（）

A.2B.3C.返D.迎

3232

【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形对应角的平分线的比

等于相似比计算即可.

【解答】解：•・•两个相似三角形的面积之比为4：9,

・•・两个相似三角形的相似比为2：3,

・•・它们对应角的平分线之比为2：3,

故选：A.

4.已知△ABCsZXOE尸，且AC：DF=2：3,与所边上的高分别记为加和也，则加：也等于2：3.

【分析】利用相似三角形的对应边上的高的比等于相似比即可求得答案.

【解答】解：°：△ABCsXDEF,且AC：。尸=2：3,

・••相似比为2：3,

:.hi：比等于2：3,

故答案为：2：3.

5.如图，ZVIBC中，A8=8,AC=6,点E在AB上且AE=3,点尸在AC上，连接所，若尸与△ABC

相似，则AF=9或4.

-4

「步析】根据题意，要使AAQ•与8c相似，山于本题没有说明对应关系，故采用分类诃论法.有两

种可能：

当AAE产5c时；当时.

【解答】解：当△AEFS/XABC时，则士H_,萼，A尸=2

AFACAF64

当AAE尸S/\AC8时，则，坐工^,且一般，A尸=4.

AFABAF8

6.如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和），轴上，点8的坐标为（2,3）,双曲线y=-K（x>0）

x

的图象经过的中点£>,且与A8交于点E,连接OE

（1）求的面积

（2）若点尸是OC边上一点，且AFBCSADEB,求点F坐标.

【分析】（1）先利用。点为BC的中点得到。（1,3）,再利用待定系数法确定反比例函数解析式为〉，=

旦，接着利用E点的横坐标为2得到E（2,弓），然后根据三角形面积公式求解；

x2

（2）根据相似三角形的性质，利用相似比可求出然后计算出0尸的长，从而得到点尸坐标.

【解答】解：（1）点为8C的中点,B（2,3）,

・・・0(1,3),

把。（1,3）代入y=-三得k=-1X3=-3,

x

・•・反比例函数解析式为），=旦，

・・・E点的横坐标为2,

当x=2时，y=3=2,即E(2,3)，

x22

.•.△8OE的面积=1X(2-1)X(3-3)=3；

224

(2)•・•△尸8cs△OE8,

即座=、_,解得

ACF=BC

BDBE13_3

2

：.OF=OC-CF=3->1=6,

33

，点尸坐标为(0,5).

3

考向三：相似三角形的判定

一.相似三角形的判定方法:

A

判定方法A.DE//BC

1•平行/.△ABCcoAADE

判定方法,/ZA=ZA',ZC=ZC'

2•“AA”AADC^AA,B-C-

判定方法.•丝=匹,ZB=ZB

ABBC

3•“SAS”：.AABC^AA'B'C'

..ABBCAC

判定方法—

ABBCAC

4.“SSS”AABC^AA'B*C

二.判定三角形相似的思路:

(1)有平行截线一一用平行线的性质，找等角

(2)有一对等角，找!另一对等角

该角的两边对应成比例

(3)有两边对应成比例，找夹角相等

找!一对锐角相等

(4)直角三角形,［直角边、斜边对应成比列

(5)等腰三角形，找一对底角相等

底边和腰反对应成比例

典例引微

・•A------------LJ

1.如国，在△ABC中，NA=78°,AB=6,AC=9.将△A3。沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与

原三角形不相似的是()

【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可.

【解答】解：A、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，符合题意.

8、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意;

C、阴影部分的二角形与原二角形有两个角相等，故两二角形相似，不符合题意:

。、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意.

故选：A.

【分析】先计算出各三角形的三边，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似进行判断.

【解答】解：已知三角形的三边长为我，242,而,

4选项中的三角形的三边长为2,V10，3加，

因为雪/需•卢塞■,不符合题意；

8选项中的三角形的三边长为2,4,K巧，

因为运整_邛，

24275

所以5选项中的三角形与己知三角形相似；

C选项中的三角形的三边长为2,3,V13,

因为睁声骂2声遛＞，不符合题意;

。选项中的三角形的三边长为泥，V13'嗡嚅呼不符合题意.

故选：B.

3.如图，点。在AABC的边AC上，添加下列条件后不能判定△408与aABC相似的是（）

A.ZABD=ZCB.ZADB=ZABCC.D.娼W

ABACBDCD

【分析】由NA是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与3正确；又由两组对应边的

比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得C正确，继而求得答案.

【解答】解：・・・/A是公共角，

，当N4BO=NC或NA£>8=NA8C时，（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正

确，不符合题意；

当他殳出时，△4O8S/X4BC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故C正确，

ACAB

不符合题意；

当空0时，不是夹角，故不能判定△AOB与△45C相似，故。错误，符合题意.

3DCD

故选：D.

4.如图，点。是等腰RlZXABC斜边8c上的一个动点，以为边作等腰RlZXADE,斜边4E交BC于F,

则图中相似三角形共有（）对.

【分析】根据“两个角对应相等的两个三角形性质”判定求解即可.

【解答】解：••.△ABC和△AOE是等腰直角三角形，

・・・/B=NC=45°,NE=NOAE=45°,

:"B=4E,ZC=ZDAE,

:.2ABCsADEA：

VZB=ZE,NAFB=NDFE,

:.△ABF^ADEF；

VZ.ADF=ZC+ZDAC=45°+/OAC,ZCAF=Z.DAE+ZDAC=45°+ZDAC,

；・^ADF=ZCAF,

又：ZAFD=ZCFA,

:.XAFDs4CFA,

同理，AAEDsXBAD,

：・、BADSACFA;

综上，图中相似三角形共有5对,

故选：D.

5.如图所示，在锐角二角形中，AR=6rm,AC=]9.rm,点力从点A出发以1”，，的速度运动到点“

停止，点七从点C出发以2cmJs的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点4、D、E

为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为3或4.8$.

【分析】根据题意得到△4£>£SA4BC或△AO£SA4C8,利用相似三角形对应边成比例，列出比例式,

即可求得答案.

【解答】解：设运动时间为x秒时，XAOEs4ABC,

根据题意：AD=xcm,CE=2xcm,则4E=（12-2x）cm,

,:、ADEsXABC、

・ADAE

•手记

.x=12-2x

•话12

解得：K=3；

设运动时间为x秒时，△AOEsZ\ACB,

根据题意：AD=xcrn,CE=2xcm,贝！JAE=（12-2x）cm,

■:XADEs丛ACB,

•ADAE

*'AC-AB'

・x12-2x

••'・I'•

126

解得：x=4.8,

故答案是：3或4.8.

6.如图，在矩形A3CO中，AB=3cmtBC=6cm,动点M以lcm/s的速度从A点出发，沿48向点8运动,

同时动点N以25心的速度从点O出发，沿OA向点4运动，设运动的时间为/秒（0V/V3）.

（1）当/为何值时，的面积等于矩形ABC。面积的工？

9

（2）是否存在某一时刻/,使得以A、M、N为顶点的三角形与△ACO相似？若存在，求出，的值；若

不存在，请说明理由.

【分析】(1)根据矩形的性质求出/加0=90°,求出AA/、AN,根据三角形的面积公式，利用S=2X

9

18建立方程，解之即可；

(2)先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的，值即可说明存在，反之则不

存在.

【解答】解：(1)•・•四边形ABC。是矩形，

:・AD=BC=6cm,ZBAD=90°,

AM=tcmfAN=6-2tCem),

：.SMMN=1AN*AM=^-X(6-2r)Xr=-(r-J.)2+_i(0<r^3),

2224

依题意得：-(r-1)2+1=1X3X6,

249

t2-3z+2=0,

11=2,12=1.

答：经过1秒或2秒时，△4MN的面积等于矩形ABC0面积的工；

9

(2)设运动时间为1秒，

由题意得ON=2f(cm),AN=(6-2r)(c〃?)，AM=t(cm),

若ANMASAACD,

则有AO：AN=CD：AM,即6：(6-2/)=3：r,

解得/=1.5,

若XMNAsRNCD

则有AD：AM=CDtAN,即6：r=3：(6-20,

解得f=2.4,

答：当运动时间为1.5秒或2.4秒时，以A、M、N为顶点的三角形与△4CD相似.

考向四：相似三角形性质与判定的综合

0

DE//BC,/ADE=NEFC,AD：BD=5：3,CF=6,则。E的长为（）

B.10C.12D.14

【分析】由。E〃BC可得出/AOE=NB,结合NADE=NEFC可得出NB=NER7,进而可得出8。〃

EF,结合DE//BC可证出四边形BDEF为平行四边形，根据平行四边形的性质可得出DE—BF,由DE

〃BC可得出△AOEsAABC,根据相似三角形的性质可得出8c=反。区再根据。尸=808尸=2。E=

55

6,即可求出。£的长度.

【解答】解：:。七〃8。,

:.4ADE=NB,

•:^ADE=NEFC,

:・/B=NEFC,

：.BD//EFt

,:DE〃BF,

・•・四边形BDEF为平行四边形,

：.DE=BF,

•：DE//BC,

:.、ADEsXABC,

.DE「AD-AD=5

**3CABAD+BDW，

：.BC=^-DE,

5

:.CF=BC-8F=^-DE=6,

5

・•・£>£=10.

故选:B.

2.如图，将△ABC沿射线AC方向平移一定的距离，平移后的三角形记为B'C,边4'B'刚好经

过边AC的中点。，已知八人〃。的面秩为16,则阴影部分OC的面积为()

【分析】根据线段的中点定义可得CD=lBCt再根据平移的性质可得：A8〃4'B',从而可得N8=

2

NA'DC,NA=NOA'C,进而可得△ABCs^"DC,然后利用相似三角形的性质，进行计算即可解

答.

【解答】解：•・•点。是的中点，

:.CD=LBC,

2

由平移得：AB//A'B',

：.^B=ZA'DC,ZA=ZDArC,

•••△ABCsAVDC,

SZ

.AADC(CD)2=(_1)2=£

,△ABCBC24

•••△ABC的面积为16,

••.△A'OC的面积=2ZXA8C的面积=4,

4

故选：D.

3.如图，在△ABC中，AB=AC=6,8c=8,点。是BC边上的一个动点，点E在AC上，点。在运动过

程中始终保持N1=N8.当E4=E。时，则8。的长为()

A.2B.工C.3D.工

32

【分析】先利用等腰三角形的性质可得NE4O=N1,再利用等量代换可得NE4£>=N8,然后利用两角

相等的两个三角形的相似证明△CAOS/XCBA,从而利用相似三角形的性质可求出CD的长，进而求出

8。的长.

【解答】解:

AZE4D=Z1,

VZ1=ZB,

：・4EAD=4B,

VZC=ZC,

:.XCADsACBA,

.CA=CD

e，CBCA,

•.•161_CD,•

86

・・.co=9,

2

：.BD=BC-CD=L

2

故选：D.

4.如图，矩形E/G”内接于△ABC,边尸G落在BC上.若4O_LBC于点DBC=3,AD=2,EF=EH,

【分析】设E”=3x,表示出EF,由A£)-E尸表示出三角形AEH的边EH上的高，根据三角形与

三角形4BC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，即为石〃的长.

【解答】解:如图：•・•四边形七尸G〃是矩形,

：.EH//BC,

:.XAEHs4ABC,

'CAMVEH.ADLBC.

.AMEH

设E”=E/=x,

^•AM=AD"EF=2"x,

•・•I2-x・-_x,

23

解得:x=A,

5

则EH=旦,

5

故答案为：

5

5.如图，矩形月BCO中，AB=6,BC=9,E为CO的中点，F为BC上一点、,BFVFC,且AF_LFE.对角

线AC与EF交于点G,则GC的长为_@/亘_.

【分析】根据矩形的性质可得NB=N〃CE=90°,由N4F8+NE尸C=NAFB+N8A尸可得NEFC=N

BAF,以此证明△然/公△”■£根据相似三角形的性质得姻_理，设BF=x,则CF=9-x,以此列

CFCE

出方程解得8尸=3,CF=6,过点G作G4_LBC于点从再证明△CHGs/\C8A,AFHG^AFCE,得

到见0,更二红，联立两式子，算出CH、GH,最后根据勾股定理即可求解.

ABBCCECF

【解答】解：•・•四边形ABC。为矩形，

；・/B=NFCE=90°,

VAFXFE,

尸B+NE尸C=90°,

V^AFB+ZBAF=90°,

：・4EFC=NBAF,

:.XABFs/\FCE,

・ABBF

**CF=CE'

设BF=x,则CF=9・x,

•・•四边形ABC。为矩形，AB=6,E为CO的中点,

，CE=3,

・6x

9-x3

整理得：f-9x+18=0,

解得：xi=3,X2=6,

■:BFVFC,

；・Br=3,CF=6,

过点G作G”_L8C于点”，如图,

:.GH//AB,GH//CD,

:.XCHGsACBA,4FHGSMFCE,

.GH_CHGH二

••短年CE=CF

・GHCHcGH6-CH，

6936

GH_CH

W

联立.①②得:

GH一6-CH

~=6

CH=y-

解得：

GH=y-

在RtZ\CHG中，由勾股定理得GC=JGH2yH2二空平■

故答案为：国逗.

7

6.如图，在△ABC中，D、E、产分别为AB、AC、8C上的点，DE//BC,BF=CF,A”分别交。£、CD于

点G、H,且CG_LOE,CD=6,AE=3,有下面四个结论:

①DG=EG：

②△AGDsAACF；

③点〃是Ab的中点；

④S"5/；=9sMGE，

其中所有一正确结论的序号是①③④

【分析】利用平行线的性质，相似三角形的判定定理与性质定理，等腰三角形的判定与性质对每个选项

进行逐一判断即可得出结论.

【解答】解：YDE//BC,

：,zMQGs4ABF,△AEGs△ACF,

Q

AGDGEG

研BFCF

DGEG

3FCF

•:BF=CF,

：.DG=EG.

・♦•①的结论正确；

,:DE〃BC,

:./AG£>=ZAFB.

V4AFB>NACF,

：./AGO>NACF,

，AAGO与△ACF不可能相似.

・•・②的结论不正确；

VCGXDE,DG=EG,

・・・CG垂直平分OE,

：.CE=CD=6,

：.AC=AE+CE=9.

♦:DE〃BC,

:.XAEGSRACF,

,AG-EGAE-A-1

,,AFCF"AC

：.EG=1.CF,

3

,:DG=EG,

：,DG=^-CF.

3

,:DE〃BC,

：・》DHGs4CHF,

•.*'GH'=DG二1-,

HFCF3

设GH=2,则"尸=3比

..AGJ.

,m3，

・AG二1

・氐+4k3'

：.AG=2k.

：.AH=AG+GH=3k,

:.AH=HF,

，点〃是4F的中点.

.♦•③的结论正确；

•:BF=CF,

S/\ABF=Sj\ACF.

,:DE〃BC,

：.XAGES/XACF,

工沁二啮)2=4)24

'△ACFA。39

.*.5MCF=95A4G£.

:・SMBF=9S拄GE.

・••④的结论正确.

综上，正确的结论有：①③④，

故答案为：(D@④.

7.如图，在△A8C中，点。在BC上，坦望，ZBAD=ZCAE.

ABAC

(1)求证：ZACB=ZAED；

(2)AF*FC=FD*EF.

A

【分析】(I)先证明NB4C=ND4E,再根据知=杷,证明△ABCs即可得出答案；

ABAC

(2)根据△45CSZ^4£)E得出NA££)=N4C。，证明△ABCS2XAQE,得出生即可得出答案.

FDCF

【解答】(1)证明：ZBAD=ZCAEf

：.^BAC=ZDAE,

..AD_AE

•短记

:.XABCsMADE,

:.^ACB=ZAED.

(2)证明：,:XABCSXADE,

・•・乙AED=NACO,

V乙AFE=NDFC,

:.XABCsMDE,

・AFEF

?DCF

：.AF*FC=FD*EF.

8.如图，在矩形ABC。中，A8=2,BC=5,尸是边AO上的一个动点，连接8P,CP,过点B作射线，交

线段CP的延长线于点E,交边4D于点M,且使得NA8E=NCBP.

(1)若AP=4,求证△ABPsZ^opc；

(2)若AP=3,求PM的长.

【分析】(1)先求出。夕的长，推出或江」，即可证明

A?AB2

(2)先证明△A8WS/VU>3,再根据姻■望，得出加二，从而求出PM的长.

APAB胡3

【解答】(1)证明：•・•四边形A4c。为矩形,

.\BC=AD=5,AB=DC=2,

*：AP=4f

：,DP=AD-AP=5-4=\f

・Kjp」

一而需H，

VZA=ZD=90°，

：,XABPsADPC：

(2)解：•・•四边形ABC。为矩形，

.\AD//BC,ZA=ZD=90°,BC=AD=5,AB=DC=2,

:.4APB=NCBP,

■:/ABE=/CBP,

NABE=ZAPB,

AmMsAAPB,

.研二绅

一而而

・"5=2,AP=3,

・,・止4.

45

•*-PM=AP-AM=3^f=^-

oo

9.如图，何为线段AB中点，AE与8。交于点C,NDME=NA=NB=45°,且OM交AC于点F,ME

交BC于点、G.

(1)求证：△AM/SABGM；

(2)连接FG,若AB=4瓜4产=3,求FG的长.

【分析】(1)由NOME=NA=45°,得N48M=NBMG=135°-NAMR而N4=N8,即可由“两

角分别相等的两个三角形相似"证明△AM/SABGM：

(2)由M为线段AB的中点，AB=4^2,得AM=BM=2®,由△AMFsABGM,得细=期，则

BGBM

8G,AM・BM=区,由N4=N8=45°,得NAC8=90°,AC=BC,则AC=8C=^48=4,所以CF

AF32

=1,CG=1,即可根据勾股定理求得尸6=诟药不=亘.

33

【解答】（1）证明：・・・NOME=NA=45°,

・・・/ABM=180°・NA-N4M/=135°-AAMF,ZB;WG=180°-NOME-AM尸=135°-NAMF,

:./ABM=NBMG,

VZA=ZB=45°,

、AMFS4BGM.

（2）解：・・・M为线段48的中点，A8=4及，A/=3,

\AM=BM=—AB=—X4^J2=，2.yf2,

22

:2AMFSWGM,

.AM=AF

EBG前，

._2V2X2V28

AF33

•♦乙4=NB=45°,

♦・/4CB=180°-NA-NB=90°,AC=BC,

K=sinA=sin45°=亚,

AB2

AC=BC=返X4&=4,

2

♦.CF=AC-AF=4-3=1,CG=BC-8G=4-区=±

33

•・阳的长是6.

3

在跟踪ijll练

1.（2022•娄底）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观,

通过手绘（如图）、测量、计算发现点可是的黄金分割点.即力用t06XA力.延长方尸与A。相交于

点、G,则反沁0.618DE.（精确到0.001）

【分析】根据黄金分割的定义可得典=娼心0.618,再根据题意可得EG=A£即可解答.

ADDE

【解答】解：•・•点E是A。的黄金分割点，且。£20.6184。，

由题意得:

EG=AE,

.•.史-0.618,

DE

AEG^0.6I8DE,

故答案为:0.618.

2.（2022•广安）下列说法正确的是（）

A.对角线相等的四边形是矩形

B.相似三角形的面积的比等于相似比

C.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小

D.过一点有且只有一条直线与已知直线平行

【分析】直接利用矩形的判定方法、相似三角形的性质、方差的意义、平行公理及推论分别分析得出答

案.

【解答】解：A.对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项不合题意；

B.相似三角形的面积的比等于相似比的平方，故此选项不合题意；

C.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，故此选项符合题意；

D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项不合题意.

故选：C.

3.⑵22・甘肃）若皿即,BC=6,Ei贝喘=（

)

【分析】根据△ABCs△DEE可以得到区4,然后根据BC=6,EF=4,即可得到反■的值.

EFDFDF

【解答】解：

・3CAC

••布TT

•・・BC=6,痔=4,

.AC6_3

DF42

故选:D.

4.（2022•贵阳）如图，在△ABC中，。是AB边上的点，N8=NAC。，AC：AB=1：2,则△ADC与△ACS

【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比可以解答本题.

【解答】解：*：4B=NACD,ZCAD=ZBAC,

，XACDsMABC,

・CAACD_AC_1

••一''--,

,△ABC研2

故选：B.

5.（2022♦包头）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，4,B,C,。四个点均在格点上，4。与8。

【分析】利用网格图，勾股定理求得AB,CO的长，利用直角三角形的边角关系定理得出NBA/=N”CQ,

进而得到NR4C=NOCA,则AB〃CO,再利用相似三角形的判定与性质解答即可.

【解答】解：如图所示，

由网格图可知：BF=2,A尸=4,CH=2,DH=\,

・•・^=7AF2+BF2=2V5，

CD=7CH2+DH2=^-

,CFA//CG,

：.AFAC=NACG.

在RtAAfiF中，

tanN84F=典

AF42

在RtZ\C。"中，

tanZ//CD=-^=A,

CH2

，tanZBAF=tanZHCD,

：・/BAF=NHCD,

V^BAC=ZBAF+ZCAF,ZACD=ZDCH+ZGCA,

・・・/BAC=NOCA,

：.AB//CD,

:.XABEs/xCDE,

•••△•川?与人「力月的周长比=例＞=型5=2：1.

CD《5

故选：D.

6.（2022•湘潭）在△ABC中（如图），点。、E分别为A8、AC的中点，贝ljS^ABC=（）

【分析】根据相似三角形的判定和性质定理解答即可.

【解答】解：在△ABC中，点。、E分别为48、AC的中点,

・・・0E为△ABC的中位线,

:.DE〃BC,DE-工BC,

2

:.XADEs丛ABC,

，SAAOE:SA4BC=

故选：D.

7.（2022•徐州）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1,则阴影部分的面积为（)

A.5B.6C.凶D.工

33

【分析】证明△AAEs/xcoy求得CE,再根据二角形的面积关系求得结果.

【解答】解：:CD〃48,

:.XABEs4CDE,

•・A•E=AB=4=%c

CECD2

・r2_21,16

,*邛月影=yS△物=yXvyXv4X4=丁，

故选：C.

8.（2022•阜新）如图，在矩形A8CO中，E是AO边上一点，且AE=2DE,B。与CE相交于点凡相X

OE尸的面积是3,则aBC尸的面积是27.

【分析】根据矩形4BC。的性质，很容易证明△OE/S/XBC凡相似三角形之比等于对应边比的平方,

即可求出△BC尸的面积.

【解答】解：•・•四边形A8CO是矩形，

:.ADJLBC,

：・"DF=NCBF,

,:4EFD=/CFB,

：.LDEFsABCF,

,:AE=2DE,AD=BC,

：,DE：BC=1：3,

S^DEF：SABCF=DE1ZBd,即3：S^BCF=1：9,

；・Sa8C尸=27.

故答案为：27.

9.（2022•淮安）如图，在RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,点。是AC边上的一点，过点。作

DF//AB,交BC于点尸，作NB4C的平分线交£）产于点E,连接BE.若△ABE的面积是2,则述的值

EF

是1.

【分析】首先由勾股定理求出A8的长，由面积法得点。到。尸的距离为反，点七到A8的距离为从

55

而得出8=2,再根据角平分线的定义和平行线的性质得4。=。七=1,从而解决问题.

【解答】解：在RtZXABC中，由勾股定理得，AB