2024年中考数学复习第26讲 圆的相关概念及性质（练习）（解析版）

第26讲国的相关概念及性质

录

型

题

01理解圆的相关概念

型

题

02圆的周长与面积相关计算

型

题

03圆中的角度计算

型

题

04圆中线段长度的计算

型

题

05求一点到圆_L一点的距离最值

型

题

06由垂径定理及推论判断正误

型

题

07利用垂径定理求解

型

题

08根据垂径定理与全等/相似三角形综合求解

型

题

09在坐标系中利用勾股定理求值或坐标

型

题

10利用垂径定理求平行弦问题

型

题

11利用垂径定理求同心圆问题

型

题

12垂径定理在格点中的应用

型

题

13利用垂径定理的推论求解

型

题

14垂径定理的实际应用

型

题

15利用垂径定理求取值范围

型

题

16利用弧、弦、圆心角关系判断正误

型

题

17利用弧、弦、圆心角关系求解

型

题

18利用弧、弦、圆心角关系求最值

型

题

19利用弧、弦、圆心角关系证明

型

题

利用圆周角定理求解

型20

题

利用圆周角定理推论求解

型21

题

已知圆内接四边形求角度

型

题22

利用圆的有关性质求值

型

题23

型

题24利用圆的有关性质证明

型

题25利用圆的有关性质解决翻折问题

型

题26利用圆的有关性质解决多结论问题

型

题27圆有关的常见辅助线一遇到弦时，常添加弦心距

28圆有关的常见辅助线一遇到有直径时，常添加（画）直径所对的圆周角

期型过关练N

题型01理解圆的相关概念

I.（2023•上海普陀・统考二模）下列关于圆的说法中，正确的是（）

A.过三点可以作一个圆B.相等的圆心角所对的弧相等

C.平分弦的直径垂直于弦D.圆的直径所在的直线是它的对称轴

【答案】D

【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项.

【详解】解：A、过不在同一直线上的三个点一定能作一个圆，故错误，不符合题意；

B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，不符合题意；

C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误，不符合题意；

D、圆的直径所在的直线是它的对称轴，正确，符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了确定圆的条件及圆的有关性质，解题的关键是了解有关性质及定义，难度不大.

2.（2（）20.内蒙古乌兰察布.校考一模）下列命题：①三点确定一个圆；②直径是圆的对称轴；③平分弦的直

径垂直于弦；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤相等的圆心角所对的弧相等，正确命题的个数

是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】A

【分析】本题考查了三角形的内切圆、圆周角定理、垂径定理以及弧与圆心角的关系的知识点，注意熟记

定理是解此题的关犍.

①根据确定圆的条件进行解答即可；

②利用直径所在的直线为圆的对称轴进行判断即可；

③根据垂径定理即可得出结论；

④根据三角形外心的性质可得出结论；

⑤根据圆周角定理即可得出结论.

【详解】解：①不在同一-条直线上的三个点确定一个圆，故本小题错误：

②直径所在的直线为圆的对称轴，故本小题错误；

③平分弦的直径垂直于弦（非直径），故本小题错误；

④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本小题错误；

⑤在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本小题错误.

••・正确命题的个数为0个.

故选：A.

【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、圆的对称性、垂径定理及三角形的

外心的性质，难度不大.

3.（2023•江苏徐州・统考一模）下列说法中，正确的是（）

①对角线垂直同互相平分的四边形是菱形；②对角线相等的四边形是矩形；

③同弧或等弧所对的圆周角相等；④半圆是弧，但弧不一定是半圆.

A.①④B.@@C.①③④D.②③④

【答案】A

【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，在同圆或等圆中，

同弧或等弧所对的圆周角相等，弧分为优弧、劣弧、半圆弧分别判断即可.

【详解】解：①、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形，故该项

正确;

②、对角线相等的平行四边形为矩形，故该选项错误；

③、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，故该选项错误；

④、弧分为优弧、劣弧、半圆弧，则半圆是弧，但弧不一定是半圆，故该项正确；

故选：A.

【点睛】本题考查基本概念，熟记知识点是解题关键.

4.（2023•福建泉州•南安市实验中学校考二模）生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里去，

这是因为（）

A.同样长度的线段围成的平面图形中圆的面积最大

B.同一个圆所有的直径都相等

C.圆的周长是直径的7T倍

D.圆是轴对称图形

【答案】B

【分析】根据圆的特征即可求解.

【详解】解：根据同一个圆所有的直径都相等，则井盖就不会掉进井里去，

故选：B.

【点睛】本题主要考查圆的基础知识，理解并掌握圆的基础知识，圆的基本特征是解题的关键.

题型02圆的周长与面积相关计算

5.（2022•山西临汾•统考二模）山西著名工艺品平遥推光漆器外观古朴雅致、闪光发亮，绘饰金碧辉煌，以

手掌推出光泽而得名.图1是平遥推光漆器的一种图案，图2是选取其某部分并且放大后的示意图.四边

形A8C。是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，夕寸角线的长为半径画弧，四条弧相交于

点。，则图中阴影部分的面积为：）

图1图2

A.2TT—4B.n-2C.2nD.»

【答案】A

【分析】由题意得半径为加，阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积，代入计算即可.

【详解】解：•・•四边形A8C。是边长为2的正方形

・••正方形的对角线的长为2企

，半径为企

•・•阳影部分面积二圆的面积-正方形的面积

,阴影部分面积=兀（V2）2-22=2TT—4

故选:A.

【点睛】本题考查了正方形的性质和圆，组合图形阴影部分面积，解题的关键是将不规则图形转化为规则

图形面积之间的关系.

6.（2019・广东佛山・佛山市三水区三水中学校考一模）某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后

来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边

沿（）

A.图（1）需要的材料多B.图（2）需要的材料多

C.图（1）、图（2）需要的材料一样多D.无法确定

【答案】C

【分析】根据圆的周长公式，将每个圆的周长计算出来，找到和周长L的关系即可.

【详解】设大圆的直径是D,图：2）中三个小圆的直径分别为：dhd2,d3,

.*.di+d2+d3=D

根据圆周长公式，得图（1）中，需要2TTD；

图(2)中,需要TTD+rrd]+7rd2+7rd3=7rD+TT(di+ch+d3)=2zrD

故选：C.

【点睛】注意：第二个图中，计算三个小圆的周长时候，提取7T,所有的直径之和是大圆的直径.

7.（2019•河北张家口•统考一模）半径为R、r的两个同心圆如图所示，已知半径为7•的圆周长为a,且R-r=1,

则半径为R的圆周长为（）

A.Q+1B.a+2C.Q+7TD.a+27r

【答案】D

【分析】根据半径为r的圆的周长表示出半径r.

【详解】•・•半径为r的圆周长为a,

:.2nr=a

•a

••r=—9

271

-：R-r=1,

...°R=l+r=l+.——a=-2n-+-a

27r2n

・•・半径为R的圆周长为27r.誓二a+2「

故选:D.

【点睛】此题考查圆的周长公式，熟记公式是解题的关键.

8.（2021・江苏宿迁・统考一模）一块含有30。角的三角板ABC如图所示，其中ZC=9O。，NA=30。，BC=

3cm.将此三角板在平面内绕顶点4旋转一周.

（1）画出边8c旋转•周所形成的图形:

（2）求出该图形的面积.

【答案】（1）画图见详解；（2）BC扫过的面积S则:==9兀.

【分析】（1）由三角板4BC可求AB=2BC=6cm,由勾股定理：AC=y/AB2-BC2=V36-9=3>/3,边BC在

平面内绕顶点力旋转一周.图形是以AB为半径的圆去掉以AC为半径的圆，所形成的圆环，如图所示;

2

（2）BC扫过的面积SMu=7r/1F-兀/1。2计算即可.

【详解】解：3)•.•三角板zC=90°,2.A=30°,BC=3cm,

AB=2BC=6cm»

・•・由勾股定理：ACZAB2-BC2=V36-9=36,

边BC在平面内绕顶点A旋转一周.图形是以AB为半径的圆去掉以AC为半径的圆，所形成的圆环，如图所

示:

（2）BC扫过的面积S\^=nAB2-nAC2=367r-27n=97r.

【点睛】本题考查画旋转图形，勾股定理，30。直角三角形的性质，圆环面枳，掌握画旋转图形方法，勾股

定理，30。直角三角形的性质，圆环面积求法是解题关键.

题型03圆中的角度计算

9.（2023•山东聊城•统考一模）如图，A8是。。的弦，0C_LA8,垂足为C,OD||AB,OC=gOD,则480

的度数为（）

A.90。B.95°C.100°D.105°

【答案】D

【分析】连接03,即得出08=。。，从而得出/03。=/0。8.根据含30度角的直角三角形的性质结合

题意可判断/。8。=30。，再利用平行线的性质可得出/8。。=/。8c=30。，从而根据三角形内角和求出

/OBD=/ODB=75°,最后由ZABD=/OBCMOBD求解即可.

【详解】如图：连接08,

A

：.Ob=OL）,

：・4）BD=N0DB.

9：OC=^OD,

：.OC=-OB.

2

「OCLLAB,

・・・sin4OBC=空=3

OB2

・・・NOBC=30。.

*：0D||AB,

•••N800=N08C=30。，

：・/OBD=/ODB=W,

：./ABD=NO8C+NO8D=300+75°=105°.

故选D.

【点睛】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，平行线的性质，三

角形内角和定理的应用.连接常用的辅助线是解题关键.

10.（2023•河北秦皇岛•统考一模）如图，在O0中，力B为直径，〃OC=80°,点D为弦4c的中点，点E

为品•上任意一点，则4CE。的大小可能是（）

A.10B.20C.30D.40

【答案】C

【分析】连接OD、OE,先求出NCOD=40°,ZBOC=100。，设ZBOE=x,则ZCOE=100°-x,ZDOE=100°-xi40°；

然后运用等腰三角形的性质分别求得NOED和NCOE,最后根据线段的和差即可解答.

【详解】解：连接OD、OE

VOC=OA

AAOAC是等腰三角形

•・2AOC=80°,点D为弦4c的中点

AZDOC=40°,ZBOC=100°

设NBOE=x,则NCOE=l(X)°-x,ZDOE=100°-x+40°

VOC=OE,ZCOE=1000-x

:.ZOEC=180-(10°—j=40°+-

22

VOD<OE,ZDOE=1(X)°-x+40°=140°-x

:.ZOED<180O~(140°~X)=20°+-

22

・•・ZCED>ZOEC-ZOED=(40°+-(200+力20。.

又「ZCED<ZABC=40°,

【点睛】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形是解答本

题的关键.

11.（2023・湖南湘西・统考模拟预测）如图，。。与aO/lB的边4B相切，切点为8.将△。48绕点B按顺时针

方向旋转得到△。勿'B,使点。落在。。上，边4B交线段4。于点C.若44=27。，贝叱。CB=度.

【答案】87

【分析】根据旋转对应边相等及半径相等得到等边△。8。，得到旋转角为60。，然后利用三角形外角和定理

计算即可.

【详解】•••△408绕点8按顺时针方向旋转得到AOWB,点。落在。0上，

.•.〃="=27。，OB=O'B,

•••OB=00',

.•・△00'8为等边三角形，

WB0'=60°,

・•.△AOB绕点8按顺时针方向旋转了60。，

^ABA'=60°,

Z.OCB=^A+/-ABA'=27°+60°=87°.

故答案为：87.

【点睛】本题考查旋转中角度的计算，旋转过程中对应边相等，对应角相等，旋转角处处相等.本题中利

用圆的半径相等得到边长关系进而求得角度关系是解题的关键.

题型04国中线段长度的计算

12.（2023・湖南益阳・统考二模）如图，在Rtzx/IBC中，ZC=90S点。在斜边4?上，以BD为直径的O。经

过边AC上的点七，连接8E,且8E平分乙4BC,若。。的半径为3,AD=2,则线段BC的长为（）

AC处D.6

-TB.8•5

【答案】c

【分析】连接。E，证明。EII8C,利用相似三角形的性质即可求解.

【详解】解：连接0E,如图，

•・・5E平分乙48C,

二乙OBE=LCBE,

;OB=OE,

:•乙OBE=乙OEB,

:.乙CBE=乙OEB,

：.OE\\BC,

4AOEABC,

,OE_AO

**BC~AB'

•・・。。的半径为3,4)=2,

.'•AO=AD+OD=5,AB=AO4-OB=8,

,,OEAB3X824

,•BnCz=---------=---=一,

74055

故选：c.

【点睛】本题考查了圆的基本性质，相似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键.

13.（2023•广东深圳•统考二模）如图，在RtANBC中，NC=90。，点。在斜边A8上，以BD为直径的00经

过边47上的点E,连接8E,且BE平分乙48C,若。。的半径为3,AD=2,则线段8C的长为（）

C

A.yB.8C.YD.g

【答案】C

【分析】连接0£,由角平分线的性质，等腰三角形的性质的推=得到0EII8C,因此AAOE

〜2ABC,得到力0：AB=OE：8c代入有关数据，即可求出BC的长.

【详解】解：如图,连接。E，

•••BE平分乙ABC,

Z.ABE=Z-CBE,

•••OE=OB,

:.Z.OEB=乙ABE,

:.Z.OEB=Z-CBE>

:.OEWBC,

AOE~△ABC,

:.AO：AB=OE：BC,

的半径为3,AD=2,

:.AO=AD+0D=2+3=5,AB=AD+BD=2+6=8,

•••5：8=3：BC,

,BC-芋

故选：C.

【点睛】本题考查角平分线定义，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形

的判定和性质.

14.（2022・湖北武汉・武汉第三寄宿中学校考模拟预测）如图，将两个正方形如图放置（B,C,E共线，D,

C,G共线），若A8=3,£/=2,点O在线段BC上，以。尸为半径作。。，点A,点尸都在。。上，则。。

的长是（）

BOcE

A.4B.VlOC.V13D.V26

【答案】B

【分析】连接。4,OF,由题意得。A=OF,设。C=x,由勾股定理得（x+2/+22=（3-幻2+32,解答方

程可得OC的值，再运用勾股定理可得0。的长.

【详解】解：连接OA，OF,如图，

:。尸是半圆。的半径，

：.OA=OF,

•・•四边形ABC。、EFGC是正方形，

：.LABC=乙DCB=乙FEC=90。，AB=BC=CD=3,CE=EF=2

设0C=x,

JBO=BC-OC=3-x,OE=OC+CE=x+2,

在R/AABO和心AEFO中，

AB2+BO2=AO2,OE2+EF2=OF2,

:.32+(3-%)2=AO2,(x+2尸+22=OF?,

*：AO=FO

A32+(3-X)2=(x+2)2+22,

解得，x=1,即OC=1,

在RA。。。中，DO2=OC2+DC\

・・・0D=VOC2+CD2=Vl2+32=V10,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了圆的基本概念，勾股定理以及正方形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键.

题型05求一点到圆上一点的距离最值

15.（2023♦湖北咸宁•统考二模）如图，正方形ABC。内接干圆。，线段MN在对角线80上运动，若圆。的面

积为2TT,MN=1,A/IMN周长的最小值是

【答案】4

【分析】由正方形的性质知点C是点A关于的对称点，过点C作&4'||8D,且使&T=1,连接44交8。于

点N,取MN=1,连接力M、CM,则点M、N为所求点，进而求解.

【详解】解：。0的面积为2ir,则圆的半径为VLBD=2V2=AC,

由正方形的性质知点C是点A关于的对称点，

过点C作&4'IIBD,且使&4'=1,

连接4H交3。于点N,取MN=1,连接AM、CM,则点M、N为所求点,

理由：vA'CWMN,且4（=MN,则四边形为平行四边形.

则4N=CM=4M,

故AAMN的周长=AM+AN+MN=AAf+1为最小，

•.•正方形A8CD中4C18D,

•••AfC1AC,

=J(2V2)2+l2=3,

ArA=-JAC2+A'c2

则A/1MN的周长的最小值为3+1=4,

故答案为：4.

【点睛】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M、N的位置是解题的关键.

16.(2023•浙江嘉兴•统考一模)平面直角坐标系xoy中，O。的半径为2,点M在。。上，点N在线段0M上，

设ON=t(IVCV2),点P的坐标为(-4,0),将点P沿0M方向平移2个单位，得到点再将点P'作关

于点N的对称点。，连接PQ,当点M在。。上运动时、PQ长度的最大值与最小值的差为____.(用含，的

【分析】根据题意作出点P'和点Q，连接P'M,P。，并延长P'M至点B,使得P'M=BM,连接BQ并延长交P。

的延长线于点C,证明四边形P'PCB为平行四边形，四边形PP0M为平行四边形，求出PC和CQ的长度，根

据三角形三边关系即可判断.

解：根据题意作出点P'和点Q，如图，连接P'M,PO,并延长P，M至点、B,使得P'M=BM,连接BQ并延长交

P。的延长线于点C,

••・将点尸'作关于点N的对称点Q,

P'N=NQ,

•••P'M=BM,

BQ=2MN=2x(OM-ON)=4-2t,且MN||8Q,

•••将点P沿OM方向平移2个单位，

P'PWOMWBQ,P'MWPO,

・•・四边形PPCB为平行四边形，四边形P'POM为平行四边形，

•••将点尸沿OM方向平移2个单位，

二p'p=BC=2,

QC=8C-BQ=2-（4-2t）=2£-2,

•••点P的坐标为（一4,0）,

PC=P'B=2P'M=8,

由图得，PC-CQ<PQ<PC+CQ,

二PQ的最大值为PC+CQ=2t+6,PQ的最小值为PC-CQ=10-2t,

・••PQ长度的最大值与最小值的差为"+6-（10-2t）=4t-4.

故答案为：4t—4.

【点睛】本题考杳了圆的综合问题，主要考杳/中位线的性质，二角形二边关系，平行四边形的判定及性

质，正确画出图形并作出辅助线是解题的关键.

17.（2023・山东济宁•统考三模）如图，在中，/-ABC=90°,AB=8,BC=6,。为线段力B上的

动点，连接CD,过点8作BE1CD交CD于点E,则在点Z）的运动过程中，求线段4E的最小值为.

【答案】V73-3/-3+V73

【分析】根据BE1CD,得至UNBEC=90。，进而得到点E在以8C为直径的圆上，设BC的中点为。，连接4。，

交0。于点八连接OE,则：AE>OA-OE,当且仅当O,4E三点共线时，4E取得最小值，即点E与点尸重

合时，4E取得最小值，进行求解即可.

【详解】解：•••BE_LG9，

：,LBEC=90°,

・••点E在以8c为直径的圆上，

设的中点为。，连接A。，交。0于点尸，连接OE,则：AE>OA-OE,

A

・•・当且仅当。三点共线时，AE取得最小值，此时点E与点F重合，

'：LABC=90°,AB=8,BC=6,

：・0F=80=3,AO=>]AB2+BO2=V73

••/E的最小值为：AO-OF=V73-3；

故答案为：V73-3.

【点睛】本题考查勾股定理，求一点到圆上的距离的最小值.解题的关键是确定点E在以BC为直径的圆上.

18.（2023•安徽合肥•校联考一模）如图，在矩形力BCD中，AB=6,BC=4,P是矩形内部一动点，且满足

LBCP-则线段BP的最小值是；当BP取最小值时，OP延长线交线段8。于£则CE的长

为.

CK---------------

B1---------------------------'A

【答案】23

【分析】（1）如图，由48cp=NPDC及ZBCD=90。易证NCPO=90。，所以点P在以CD为直径的圆上，连

接0B,交。。于P,此时BP长最小，根据勾股定理求解。8=5,进而求得BP为2；

（2）如图，作。FIIBC交DE于尸,由OC=OD可证。?=^CE,由△8PE〜A0P尸知器=需，从而解得CE=3.

解：•・•四边形矩形，

乙BCD=90°,

：./.BCP+Z-DCP=90°

•:乙BCP=乙PDC,

:.乙PDC+乙PCD=90°,

•••乙CPD=90°,

以CD为直径作。。，。。经过点P,连接。8,交。。于P,此时PB长最小.

\'OB2=BC2+CO2=42+32,

•••OB=5,

:,PB=OB-OP=5—3=2,

故答案为2.

(2)作OF||BC交DE于F,

•••OC=OD,

:.DF=EF,

：•OF=-CE,

2

*：OF||BC

工乙PFO=々PEB,乙POF=LPBE

:UBPE~〉OPF

.BE_BP

,,OF-P。’

,4-CE_2

■-7

•••CE=3.

故答案3.

【点睛】本题主要考查直角三角形的外接圆、点到圆上点的最值问题、中位线定理、相似三角形的判定和

性质；明确动点P的轨迹，确定BP取最小值时点P的位置是解题的关键；求CE长的关键是利用矩形的性质

及（1）空的结论构造相似三角形求解.

题型06由垂径定理及推论判断正误

19.（2022・山东济宁•二模）如图，在。。中，4B是直径，CO是弦，ABLCD,垂足为E,连接CO、AD.OD,

/8.4。=22.5。，则下列说法中不正确的是（）

A.CE=EOB.OC=\f2CD

C.Z-OCE=45°D.乙BOC=2^BAD

【答案】B

crx

【分析】由481C。，加?是。。的直径，得=BC=BD,进而得出△为等腰直角三角形，进

而得出/OCE=45。，OC=V2CE,CE=0E,从而得出答案.

【详解】解：C。，力8是0。的直径，

•••CE=DE,BC=BD,

...乙BOC=2/-BAD=2x22.5°=45°,

••.△OCE为等腰直角三角形，

Z.OCE=45°,OC=\[2CE,CE=0E,

AOC=—CD.

2

故选:B.

【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形，熟练掌握垂径定理是解题的关键.

20.（2022•河南许昌・统考一模）幻图，CO是。。的直径，弦A5_LCQ于点E,则下列结论不一定成立的是

A.AE=BEB.OE=DEC.XT=糜D.AD=

【答案】B

【分析】根据垂径定理即可判断.

【详解】解：:CD是O。的直径，弦A818于点E,

•••AE=EB,AC=AD=肛

故选：B.

【点睛】本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键.

21.（2018.内蒙古包头.校联考一模）如图，已知AB是。。的直径，弦CD_LAB于E,连接BC、BD、AC,

下列结论中不一定正确的是（）

A.ZACB=90°B.OE=BEC.BD=BCD.AE）=AC

【答案】B

【分析】根据垂径定理及圆周角定理进行解答即可.

【详解】•・・AB是。O的直径,

AZACB=90°,故A正确；

•・•点E不一定是OB的中点，

・・・OE与BE的关系不能确定，故B错误;

VAB±CD,AB是。O的直径,

・••即=阮,

・・・BD=BC,故C正确；

：,AD=AC,故D正确.

故选B.

【点睛】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的

关键.

题型07利用垂径定理求解

22.（2023•云南•模拟预测）如图，已知AB是。O的直径，。。是00的弦，AB^CD.垂足为E.若48=26,

0/>24,则/OCE的余弦值为（）

【答案】B

【分析】先根据垂径定理求出CE=：C。，再根据余弦的定义进吁解答即可.

【详解】解：：4B是。。的直径：AB^CD.

：.CE=-CD=OC=-AB=\3,

212,zOEC=902°,

AcoszOCE.

OC13

故选:B.

【点睛】此题考查的是垂径定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握垂径定理，锐角三角函数的定义是解答

此题的关键.

23.（2023•陕西西安•校考二模）如图，CD是圆。的弦，直径垂足为E,若4B=12,BE=3,则

四边形4C3。的面枳为（）

C.I8V3D.72V3

【答案】A

【分析】连接OC,首先根据题意可求得OC=6,OE=3,根据勾股定理即可求得CE的长，再根据垂径定理

即可求得CD的长，据此即可求得四边形ACBD的面积.

【详解】解：如图，连接OC,

*：AB=\2,BE=3,

：・OB=OC=6,OE=3,

:•在COE中，EC=VOC2-OF2=V36-9=3百，

:・CD=2CE=63

/.四边形ACBD的面积=TAB-CD=1x12x6V3=36Vl

故选：A.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，垂径定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键.

24.（2022.北京丰台・统考一模）如图，。。的直径相垂直于弦CO,垂足为E,NC4O=45。,则N80C=

c

【答案】45

【分析】根据垂径定理可得AAC。是等腰三角形，NB4C=22.5。，然后再利用圆周角定理可得NBOC=45。.

【详解】解：：。。的直径人B垂直于弦CQ,

:・CE=DE,

:.AB垂直平分CD

：.AC=AD

•••△ACO是等腰三角形

・・・/胡。三/6。=乂5。=22.5。

，N8OC=2NBAC=45。，

故答案为：45.

【点睛】此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定和性质，关键是掌握垂直于弦的直径

平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧

所对的圆心角的一半.

25.（2023•新疆乌鲁木齐•统考一模）如图，己知43是。。的弦，ZAOB=120°,OCLAB,垂足为C,OC

的延长线交。。于点D.若NAPD是脑所对的圆周角，则/APD的度数是.

D

【答案】30。/30度

【分析】根据垂径定理得出NAOB=N6O。，进而求出乙4。。=60。，再根据圆周角定理可得

ZAPD=-ZAOD=3（r.

2

【详解】yOCLAB,。。为直径,

工的=AD,

ZAOB=ZBOD,

VZAOB=120°,

・•・NAOO=60。，

・..NAP*NA如3。。，

故答案为：3。1

【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键.

题型08根据垂径定理与全等/相似三角形综合求解

26.（2022•新疆乌鲁木齐•统考一模）如图，。。是A/IBC的外接圆，力。是。。的直径，1BC于点E.

（1）求证：乙BAD=^CAD；

（2）连接8。并延长，交AC于点F,交。0于点G,连接GC.若0。的半径为5,0E=3,求GC和。尸的长.

【答案】（1）见详解；（2）GC=6,OF=；；

11

【分析】（1）由题意易得防二6,然后问题可求证；

（2）由题意可先作图，由（1）可得点E为8c的中点，则有0E=^CG,OE//CG,进而可得^AOF八CGF,

然后根据相似三角形的性质可进行求解.

【详解】（1）证明：・・飞。是。。的直径，ADLBC,

・•・即=CD,

：.^BAD=Z.CAD,

（2）解：由题意可得如图所示:

•••点。是3G的中点，

：.0E=\CG,OE//CG,

：.AAOF-△CGF,

.04_OF

"CG~GF1

♦：0E=3,

：.CG=6,

•••0。的半径为5,

：,0A=0G=5,

•5_OF

**6-GF'

：.0F=-OG=—.

1111

【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、三角形

中位线及相似三角形的性质与判定是解题的关键.

27.(2023・广东深圳•校联考模拟预测)小明向如图所示的圆形区域内投掷飞镖.已知△ABC是等边三角形,

。点是弧AC的中点，则飞镖落在阴影部分的概率为.

【分析】如图，连接。力，0C,连接。。交于E,则OD1AC,AE=CE,0D=0C=CD=0A,Z.OAE=

Z.DCE=30°,证明三△CDE(SAS),贝IIS^OE=S“M，S怏a=S&J形八。。=黑根据飞镖落在阴影

部分的概率为要，计算求解即可.

【详解】解：如图，连接04，0C,连接0。交4c于E,

由题意知，00_L4C,AE=CE,Z.0AE=Z.DCE=30°,

cr\

*：AD=CD,

：.LA0D=乙COD=60°,

*：0D=OC,

・•・ACOD是等边三角形，

：.CD=OA,

在A力0E和ACDE中，

OA=CD

WAE=Z.DCE=30°，

AE=CE

：.AAOE三△COE(SAS),

•*^hAOE=S^cDE'

2

.c_c_60zrr

・Q阴影=3扇形40D=WT'

c60nr2

・.•辿=正二，

SQO仃26

・•・飞镖落在阴影部分的概率为:，

6

故答案为；

6

【点睛】本题考杳了垂径定理，等弧所对的圆周角相等，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与

性质，扇形面积，几何概率等知识.解题的关键在于正确的表示阴影部分面积.

28.(2022・广东广州•统考一模)如图4/3与圆O相切于A,。是圆。内一点，OZT与圆相交于C.已知3c

=OC=3,OD=2,AB=6,则圆的半径为.

【答案】V22

【分析】连接BC并延长，交圆于F,过。作。E_L8F,连接力C044凡证明ZiABC〜△尸84则可得AB?

=BC・BF,进而求得。E=g,0D=2,勾股定理求解即可.

【详解】解：连接8C并延长，交圆于尸，过。作OE_LBF,连接力。,。4人尸

•・MA是圆。的切线，切点为A,

Z.OAB=90°

Z.OAC+乙CAB=90°

AC=AC

1

.0.Z.AOC=—Z.AFC

在ZM。。中，。4=OC

Z.AOC+24OAC=180°

则24AFC+240AC=180°

:.Z.AFC+乙OAC=90°

•••Z.AFC=Z.CAB

又乙B=乙B

•••△ABCFBA

AB_BC

：'~FB=~AB

•••AB2=BC・BF,

•・・6C=QC=3,48=6,

斤=12,CF=9,

：.DE=-00=2,

2t

：.OE=y/OD2-DE2=4--=-,CE=g,

7422

：.OC=>/OE2+CE2=l-+-=y/22.

yj44

故答案为：V22.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，垂径定理，勾股定理，切线的性质，证明4B2=BC・B凡是解题的

关键.

29.（2022.广西钦州.统考一模）如图，在△A8C中，匕C=90。，8c=3,AC=4,点。是AC边上一动点，

过点A作4E1BE交BD的延长线于点E,则热的最小值为.

【答案】3

【分析】连接OE,作日口_AC,垂足为点F,先证明△EO/s/XBOC,得出当点E是月C中点时，石厂的值最

大,则黄值的最小，此时日F,。共线.再进行“算即可.

【详解】解：如图，设的中点为0,连接OE,作E/LL4C,垂足为点尸，

TN090。，AEA.BE,

・•・NC=NAE8=90。，

2,B,E,C四点共圆，

VZC=ZAEB=90°,ZEDF=ZBDC,

:AEDFs&BDC,

.BD_BC

,・DE一EF'

当点七是"中点时，样的值最大，则案值的最小，此时E,F,0共线.

L/C

•・•心4,803,

•MBW32+42=5,

：,0E=-AB=-,

22

9：OE1AC,

：,AF=-2AC=2,

:.OF=>JOA2-AF2=J（I-22=I，

：.EF=OE-OF=---=1,

22

.DDBC35

••———=—=3,

DEEF1

•••M的最小值为3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，知道当。石_LBC时，E尸有最大值

是解题的关键.

30.（2021・四川成都・统考二模）如图，在半径为3鱼的。。中，A3是直径，AC是弦，。是4C的中点，AC

与8。交于点£若E是3。的中点，则AC的长是.

【分析】连接0。，交AC于八根据垂径定理得出OQLAC,AF=CF,进而证得。/，'=3C,根据三角形中

位线定理求得。尸=/c=：QP,从而求得4C=QF=2VL利用勾股定理即可求得AC

t详解】解；连接OD，交AC于F,

丁。是力C的中点，

：.OD±AC,AF=CF,

：・NDFE=90。,

•：OA=OB,AF=CF,

・・・。/=沁

••MB是直径，

，NAC8=90。，

在乙七产。和△EC4中，

(Z.DBE=乙BCE=90°

乙DEF=乙BEC，

(DE=BE

.,.△EFD^AECB(AAS),

:・DF=BC,

：

,OF=-2DF,

•・,(%>=3VL

：.0F=a,

：.BC=2y/2,

在Ri&ABC中,AC2=AB2-BC?,

：,AC=>/AB2-BC2=J(6V2)2-(2V2)2=8,

故答案为8.

【点睛】本题考杳垂径定理、圆周角定理及推论、全等三角形的判定、勾股定理、灵活应用性质及定理是

关键，熟练掌握垂径定理是重点.

题型09在坐标系中利用勾股定理求值或坐标

31.(2022•山东淄博・统考一模)如图，在平面直角坐标系中，半径为5的与y轴交于点4(0,-2),8(0,4),

与x轴交于C,D,则点。的坐标为()

A.(4-2V6,0)B.(-4+2V6,0)C.(-4+726,0)D.(4-726,0)

【答案】B

【分析】如图，作EF_LCD于F,9川148于时，连接E。，由题意知M为力,8中点，坐标为(0,1),在Rt△BEM

中，由勾股定理得EM="082-8M2,求出EM的值，进而得出E的坐标，在笈△£•口)中，由勾股定理=

\/£。2一£尸2求出的值,进而可得。点坐标.

【详解】解：如图，作EFICC于凡£>"148于用，连接EO

在RtaBEM中，由勾股定理得EM=y/OB?一BM?=4

,:EF=OM=1

A£(-4,1)

^P.t△EFDrfi,由勾股定理得尸。='ED?一EF2=0一M?瓜

••・。（-4+2痣0）

故选B.

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识.解题的关键在于求出E的坐标.

32.（2021•浙江宁波・统考二模）如图，在平面直角坐标系中,已知4（10,0）,8（8,0）,点C,D是以04为直径的

半圆上两点，且四边形0C08是平行四边形，则点C的坐标是（）

A.（2,3）B.（2,4）C.（1,2）D.（1,3）

【答案】D

【分析】作MN_LC力于点N,连接MC,作CE_LQA于点E,则四边形MNCE是矩形.根据垂径定理即可

求得CE的长，即C的横坐标，然后在直角△MNC中，利用勾股定理求得MN的长，则C的纵坐标即可求

解.

【详解】解：作MN_LCZ）于点N,连接MC,作CE_LOA于点E.

则四边形MNCE是矩形.

•.•点4的坐标是（10,0）,点石的坐标是（8,0）,

.•・OA=10,OB=8,

•・•四边形OCQ6是平行四边形，

：・CD=OB=8.

•・・MN_LCO于点N,

/.CN=DN=-2CD=-2OB=4.

•・•四边形MNCE是矩形，

:,EM=CN=4,

：，OE=OM-EM=5-4=\.

在直角△CA/N中，CM=OM=5,MN=y/CM2-CN2=3.

:.CE=MN=3.

的坐标是：（1,3）.

故选：D.

【点睛】本题考查了垂径定理以及平行四边形的性质，把求点的坐标的问题转化成求线段的长的问题是常

用的解题方法.

33.（2017.山东临沂.校考一模）如图，已知。A在平面直角坐标系中，0A与x轴交于点B,C,与y轴交

于点D,E,若圆心A的坐标为（-4,6）,点B的坐标为（-12,0）,则DE的长度为（）

A.2V21B.4VHC.8D.16

【答案】B

【详解】连接AD,AB,再过点A作AN_LOB于N,AM_LDE于M.,则AMON是矩形,

•・•点A在第二象限,0A与x轴交于B（-12,0）点，A的坐标为（-4,6）,

.\OB=12,ON=AM=4,AN=6,ABN=8,

VAN±OB,由垂径定理可知：AB=AD=V62+82=1U,VAMXDE,

Z.DM=V102-42=2VH,/.DE=2DM=4VH,故选B.

34.（2022・四川泸州•模拟预测）己知在平面直角坐标系xOy中，。为坐标原点，点P是反比例函数y=（x>0）

图像上的一个动点，若以点P为圆心，3为半径的圆与直线y=%相交，交点、为A、B,当弦A8的长等于2遍时，

点P的坐标为.

6

【答案】（企,3企）或（3或，企）

【分析】当点P在直线y=%上方时，作PH1AB,利用垂径定理可得AH=若，由勾股定理易得P4,作PM1x

轴交直线48于点C,由PH可得CP,设OM=a,则CM=a,易得，尸（a,a+2或）,因为P点在反比例函数

图像上，所以易得a（a+2a）=6可得a,易得P点的坐标，当点P在直线y=%下方时，利用对称性可得P点

的另一坐标.

【详解】解：当点P在直线y=》上方时，连接P4,作尸〃_LA3,

AH=V5,而PA=3,

PH=2.

作PM1x轴交直线AB于点C,

*//乙COM=乙PCH=45。，

•LPCH=ZHPC=45。,OM=CM,

：.PC=V2PH=2V2,

设OM=a,则CM=a,

•••P（a,a+2V2）,

•・•点P是反比例函数y=>0）图像上的一个动点,

•••a（a+2&）=6,

•••a=-\/2,（负值舍去）

•••P（鱼,3夜），

当点P在直线y=%下方时，由对称性可知P（3企,企）.

故答案为：（鱼,3夜）或（3夜,企）.

【点睛】本题主要考查了垂径定理、反比例函数与•次函数的交点、勾股定理等知识点，正确作出恰当的

辅助线、利用勾股定理和垂径定理解得PC是解答此题的关键.

题型10利用垂径定理求平行弦问题

35.（2021♦浙江衢州•校考一模）如图，已知A8是半圆。的直径，弦CD=8.A8=10,则CD与

48之间的距离是—.

【分析】过点。作于从连接。C,先利用垂径定理得到CH=4,然后在RtZkOC〃中，利用勾股

定理即可求解.

【详解】解：过点。作O”_LC。于〃，

连接0C,如图，则C”=Q”=：CO=4,

在RS0C”中，0，=，52-42=3,

所以CO与之间的距离是3.

故答案为3.

【点睛】此题主要考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题关键.

36.（2022•黑龙江•统考一模）如图，矩形A8CO与圆心在A8上的OO交于点G,B,F,E,GB=5,EF=4,

那么AD=.

【分析】连接。人过点。作。从1石尸，垂足为〃，根据垂径定理，在AOH产中，勾股定理计算.

【详解】如图，连接OF,过点。作垂足为H,

：,OF=OB=l，

在〃尸中，勾股定理，得

。庄'CT-22=1,

•・•四边形ABC。是矩形，

・•・四边形OA。”也是矩形，

30华，

故答案为：

【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键.

37.（2022♦黑龙江牡丹江・统考二模）在半径为4cm的O。中，弦CD平行于弦A8,AB=4^cm280D=90°,

则AB与C。之间的距离是cm.

【答案】275+2或28-2

【分析】根据题意，分析两种A4的位置情况进行求解即可；

【详解】解：①如图，ABHCD,过点。作GMJ.48、GH1CD

在0。中

'：LBOD=90°,GHLAB,GH1CD

:.乙GOB+乙DOH=90°

：.LGOB=Z.ODH

LOGB=乙DHO

*/乙GOB=乙ODH

OB=OD

J.LGOB=HO(AAS)

:・BG=OH

•・・OG1AB

：.OH=BG=，B=2>/3

222

・，.0G=y]OB-BG=J4-(2同=2

：.CH=OH+OG=2>/3+2

■:ABHCD

・・/B与CQ之间的距离即GH

••/B与CO之间的距离为2百+2

②如图，作。尸148、PDLAB,连接A。

则有四边形PEF。是矩形，

：,EF=PD

■:乙BUD=9U0

：.LBAD=45°

*：PD1AB

：.AP=PD

*：0FLAB

：,BE=-AB=25/3

2

22

：,0E=VOF-BE=心-（2遍）2=2

\*0D2=OF2+FD2

A42=（2+PD）2+（2V3-P