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文档简介

河南省洛阳市栾川县实验高中2023-2024学年高三下学期5月练习数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.从抛物线上一点(点在轴上方)引抛物线准线的垂线,垂足为,且,设抛物线的焦点为,则直线的斜率为()A. B. C. D.2.在三棱锥中,,,则三棱锥外接球的表面积是()A. B. C. D.3.已知函数,则下列结论错误的是()A.函数的最小正周期为πB.函数的图象关于点对称C.函数在上单调递增D.函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到4.已知函数,则的值等于()A.2018 B.1009 C.1010 D.20205.在中,为边上的中线,为的中点,且,,则()A. B. C. D.6.阿基米德(公元前287年—公元前212年),伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家,他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形,为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的,且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形,其表面积为,则该圆柱的内切球体积为()A. B. C. D.7.已知幂函数的图象过点,且,,,则,,的大小关系为()A. B. C. D.8.等比数列中,,则与的等比中项是()A.±4 B.4 C. D.9.ΔABC中,如果lgcosA=lgsinA.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形10.已知抛物线:的焦点为,过点的直线交抛物线于,两点,其中点在第一象限,若弦的长为,则()A.2或 B.3或 C.4或 D.5或11.设集合,,则()A. B.C. D.12.已知集合,,则的真子集个数为()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若,则_________.14.若将函数的图象沿轴向右平移个单位后所得的图象与的图象关于轴对称,则的最小值为________________.15.若双曲线的两条渐近线斜率分别为,,若,则该双曲线的离心率为________.16.已知平面向量,,且,则向量与的夹角的大小为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在斜三棱柱中,已知为正三角形,D,E分别是,的中点,平面平面,.(1)求证:平面;(2)求证:平面.18.(12分)选修4-5:不等式选讲已知函数.(1)设,求不等式的解集;(2)已知,且的最小值等于,求实数的值.19.(12分)已知函数f(x)=x-lnx,g(x)=x2-ax.(1)求函数f(x)在区间[t,t+1](t>0)上的最小值m(t);(2)令h(x)=g(x)-f(x),A(x1,h(x1)),B(x2,h(x2))(x1≠x2)是函数h(x)图像上任意两点,且满足>1,求实数a的取值范围;(3)若∃x∈(0,1],使f(x)≥成立,求实数a的最大值.20.(12分)已知函数(1)求单调区间和极值;(2)若存在实数,使得,求证:21.(12分)已知函数的定义域为.(1)求实数的取值范围;(2)设实数为的最小值,若实数,,满足,求的最小值.22.(10分)如图,在三棱柱中,、、分别是、、的中点.(1)证明:平面;(2)若底面是正三角形,,在底面的投影为,求到平面的距离.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

根据抛物线的性质求出点坐标和焦点坐标,进而求出点的坐标,代入斜率公式即可求解.【详解】设点的坐标为,由题意知,焦点,准线方程,所以,解得,把点代入抛物线方程可得,,因为,所以,所以点坐标为,代入斜率公式可得,.故选:A【点睛】本题考查抛物线的性质,考查运算求解能力;属于基础题.2、B【解析】

取的中点,连接、,推导出,设设球心为,和的中心分别为、,可得出平面,平面,利用勾股定理计算出球的半径,再利用球体的表面积公式可得出结果.【详解】取的中点,连接、,由和都是正三角形,得,,则,则,由勾股定理的逆定理,得.设球心为,和的中心分别为、.由球的性质可知:平面,平面,又,由勾股定理得.所以外接球半径为.所以外接球的表面积为.故选:B.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算,解题时要分析几何体的结构,找出球心的位置,并以此计算出球的半径长,考查推理能力与计算能力,属于中等题.3、D【解析】

由可判断选项A;当时,可判断选项B;利用整体换元法可判断选项C;可判断选项D.【详解】由题知,最小正周期,所以A正确;当时,,所以B正确;当时,,所以C正确;由的图象向左平移个单位,得,所以D错误.故选:D.【点睛】本题考查余弦型函数的性质,涉及到周期性、对称性、单调性以及图象变换后的解析式等知识,是一道中档题.4、C【解析】

首先,根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式,根据所求函数的周期性,得到其周期为4,然后借助于三角函数的周期性确定其值即可.【详解】解:.,,的周期为,,,,,..故选:C【点睛】本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识,掌握辅助角公式化简函数解析式是解题的关键,属于中档题.5、A【解析】

根据向量的线性运算可得,利用及,计算即可.【详解】因为,所以,所以,故选:A【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,向量数量积的运算,向量数量积的性质,属于中档题.6、D【解析】

设圆柱的底面半径为,则其母线长为,由圆柱的表面积求出,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积.【详解】设圆柱的底面半径为,则其母线长为,因为圆柱的表面积公式为,所以,解得,因为圆柱的体积公式为,所以,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的,所以所求圆柱内切球的体积为.故选:D【点睛】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.7、A【解析】

根据题意求得参数,根据对数的运算性质,以及对数函数的单调性即可判断.【详解】依题意,得,故,故,,,则.故选:A.【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小,考查推理论证能力,属基础题.8、A【解析】

利用等比数列的性质可得,即可得出.【详解】设与的等比中项是.

由等比数列的性质可得,.

∴与的等比中项

故选A.【点睛】本题考查了等比中项的求法,属于基础题.9、B【解析】

化简得lgcosA=lgsinCsinB=﹣lg2,即cosA=sinCsinB=12,结合0<A<π,可求A=π【详解】由lgcosA=lgsinC-lgsinB=-lg2,可得lgcosA=∵0<A<π,∴A=π3,B+C=2π3,∴sinC=12sinB=12sin2π3-C=34cosC+故选:B【点睛】本题主要考查了对数的运算性质的应用,两角差的正弦公式的应用,解题的关键是灵活利用基本公式,属于基础题.10、C【解析】

先根据弦长求出直线的斜率,再利用抛物线定义可求出.【详解】设直线的倾斜角为,则,所以,,即,所以直线的方程为.当直线的方程为,联立,解得和,所以;同理,当直线的方程为.,综上,或.选C.【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系,弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时,一般考虑抛物线的定义.11、A【解析】

解出集合,利用交集的定义可求得集合.【详解】因为,又,所以.故选:A.【点睛】本题考查交集的计算,同时也考查了一元二次不等式的求解,考查计算能力,属于基础题.12、C【解析】

求出的元素,再确定其真子集个数.【详解】由,解得或,∴中有两个元素,因此它的真子集有3个.故选:C.【点睛】本题考查集合的子集个数问题,解题时可先确定交集中集合的元素个数,解题关键是对集合元素的认识,本题中集合都是曲线上的点集.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

因为,所以.因为,所以,又,所以,所以..14、【解析】

由题意利用函数的图象变换规律,三角函数的图像的对称性,求得的最小值.【详解】解:将函数的图象沿轴向右平移个单位长度,可得的图象.根据图象与的图象关于轴对称,可得,,,即时,的最小值为.故答案为:.【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律,正弦函数图像的对称性,属于基础题.15、2【解析】

由题得,再根据求解即可.【详解】双曲线的两条渐近线为,可令,,则,所以,解得.故答案为:2.【点睛】本题考查双曲线渐近线求离心率的问题.属于基础题.16、【解析】

由,解得,进而求出,即可得出结果.【详解】解:因为,所以,解得,所以,所以向量与的夹角的大小为.都答案为:.【点睛】本题主要考查平面向量的运算,平面向量垂直,向量夹角等基础知识;考查运算求解能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2)见解析【解析】

(1)根据,分别是,的中点,即可证明,从而可证平面;(2)先根据为正三角形,且D是的中点,证出,再根据平面平面,得到平面,从而得到,结合,即可得证.【详解】(1)∵,分别是,的中点∴∵平面,平面∴平面.(2)∵为正三角形,且D是的中点∴∵平面平面,且平面平面,平面∴平面∵平面∴∵且∴∵,平面,且∴平面.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定,面面垂直的性质等,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养,中档题.18、(1)(2)【解析】

(1)把f(x)去绝对值写成分段函数的形式,分类讨论,分别求得解集,综合可得结论.(2)把f(x)去绝对值写成分段函数,画出f(x)的图像,找出利用条件求得a的值.【详解】(1)时,.当时,即为,解得.当时,,解得.当时,,解得.综上,的解集为.(2).,由的图象知,,.【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法及含绝对值的函数的最值问题,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题19、(1)m(t)=(2)a≤2-2.(3)a≤2-2.【解析】

(1)是研究在动区间上的最值问题,这类问题的研究方法就是通过讨论函数的极值点与所研究的区间的大小关系来进行求解.(2)注意到函数h(x)的图像上任意不同两点A,B连线的斜率总大于1,等价于h(x1)-h(x2)<x1-x2(x1<x2)恒成立,从而构造函数F(x)=h(x)-x在(0,+∞)上单调递增,进而等价于F′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立来加以研究.(3)用处理恒成立问题来处理有解问题,先分离变量转化为求对应函数的最值,得到a≤,再利用导数求函数M(x)=的最大值,这要用到二次求导,才可确定函数单调性,进而确定函数最值.【详解】(1)f′(x)=1-,x>0,令f′(x)=0,则x=1.当t≥1时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,f(x)的最小值为f(t)=t-lnt;当0<t<1时,f(x)在区间(t,1)上为减函数,在区间(1,t+1)上为增函数,f(x)的最小值为f(1)=1.综上,m(t)=(2)h(x)=x2-(a+1)x+lnx,不妨取0<x1<x2,则x1-x2<0,则由,可得h(x1)-h(x2)<x1-x2,变形得h(x1)-x1<h(x2)-x2恒成立.令F(x)=h(x)-x=x2-(a+2)x+lnx,x>0,则F(x)=x2-(a+2)x+lnx在(0,+∞)上单调递增,故F′(x)=2x-(a+2)+≥0在(0,+∞)上恒成立,所以2x+≥a+2在(0,+∞)上恒成立.因为2x+≥2,当且仅当x=时取“=”,所以a≤2-2.(3)因为f(x)≥,所以a(x+1)≤2x2-xlnx.因为x∈(0,1],则x+1∈(1,2],所以∃x∈(0,1],使得a≤成立.令M(x)=,则M′(x)=.令y=2x2+3x-lnx-1,则由y′==0可得x=或x=-1(舍).当x∈时,y′<0,则函数y=2x2+3x-lnx-1在上单调递减;当x∈时,y′>0,则函数y=2x2+3x-lnx-1在上单调递增.所以y≥ln4->0,所以M′(x)>0在x∈(0,1]时恒成立,所以M(x)在(0,1]上单调递增.所以只需a≤M(1),即a≤1.所以实数a的最大值为1.【点睛】本题考查了函数与导数综合问题,考查了学生综合分析,转化与划归,数学运算能力,属于难题.20、(1)时,函数单调递增,,函数单调递减,;(2)见解析【解析】

(1)求出函数的定义域与导函数,利用导数求函数的单调区间,即可得到函数的极值;(2)易得且,要证明,即证,即证,即对恒成立,构造函数,,利用导数研究函数的单调性与最值,即可得证;【详解】解:(1)因为定义域为,所以,时,,即在和上单调递增,当时,,即函数在单调递减,所以在处取得极小值,在处取得极大值;,;(2)易得,要证明,即证,即证即证对恒成立,令,,则令,解得,即

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