2023年北京市四中初三3月月考数学试卷及答案

第1页/共1页2023北京四中初三3月月考数学学生须知1.本练习卷共8页，共28道小题，满分100分．练习时间120分钟．2.在练习卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号．3.答案一律填写在答题纸上，在练习卷上作答无效．4.选择题、作图题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答．一、选择题（每小题2分，共16分）1.有着“冰丝带”美誉的国家速滑馆是2022年冬奥会北京赛区的标志性场馆，它拥有亚洲吸大的全冰面设计，冰面面积约为12000平方米．将12000用科学记数法表示应为（）．A. B. C. D.2.如图是某几何体三视图，则该几何体是（）A.圆柱 B.圆锥 C.三棱柱 D.球3.若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形是（）．A.正六边形 B.正五边形 C.正方形 D.等边三角形4.实数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（）A.|a|<|b| B.ad>0 C.a+c>0 D.d－a>05.如图，直线，平分，，则的度数是（）A. B.C. D.6.在一个不透明的袋子中，有1个白球和2个红球，它们只有颜色上的区别，从袋子中随机地摸出一个球记下颜色放回．再随机地摸出一个球．则两次都摸到白球的概率为（）．A. B. C. D.7.，，三点在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.8.如图，正方形的边长为2，点E和点F分别在和上运动，且保持．若设的长为x，的长为y，则y与x的函数图象是（）A. B.C. D.二、填空题（每小题2分，共16分）9.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．10.分解因式：______．11.若，那么代数式的值为______．．12.如图所示的网格是正方形网格，则＝_____°（点A，B，P是网格线交点）.13.如图，在矩形中，是边的中点，连结交对角线于点，若，则的长为__________．14.如图，正比例函数图象和反比例函数的图象交于，两点，分别过点，作轴的垂线，垂足为点，，则△与的面积之和为________．15.我国魏晋时期的数学家刘徽（263年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率．刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，圆内接正二十四边形，…，割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆．设圆的半径为R，圆内接正六边形的周长，计算；圆内接正十二边形的周长，计算；请写出圆内接正二十四边形的周长________，计算________．（参考数据：，）16.现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙两位同学轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下面所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最小的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最大的数字．如图，若表中第一个数字是6，甲先填，（1）请你在表中空白处填出一种符合要求填数结果______；（2）满足条件的填法有______种．6三、解答题（共68分，第17－22题，每题5分，第23－26题，每题6分，第27－28题，每题7分）17计算：．18.解不等式组：．19.已知关于x的方程有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．20.我们把连接三角形两边中点线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线有如下性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半．下面请对这个性质进行证明．（1）如图1，点，分别是的边，的中点，求证：，且；（2）如图2，点是边的中点，点是边的中点，若，，，直接写出的长＝______．21.如图，在中，平分，的垂直平分线分别交，，于点，，，连接，．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，，求的长．22.在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且与函数的图象交于点．（1）求一次函数的表达式；（2）已知点，过点作垂直于轴的直线，交直线于点，交函数的图象于点．当时，直接写出的取值范围．23.北京冬奥会的成功兴办折起了全民“冬奥热”，某校九年级甲班和乙班学生联合举行了“冬奥知识”竞赛．现分别从甲班、乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计整理如下：【收集数据】甲班10名同学测试成绩统计如下：85，78，86，79，72，91，78，72，69，89乙班10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，85，80，74，90，74，75，81【整理数据】两组数据各分数段，如下表所示：成绩甲班1531乙班0451【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：平均数中位数众数方差甲班8072和7951．8乙班8080【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：______，______，______；（2）请估计哪个班级的竞赛成绩更整齐，并说明理由．（3）按照比赛规定80分及以上可以获得冬奥纪念奖品，若甲乙两班学生共85人，共中甲班学生45人，请估计这两个班级可以获得冬奥纪念奖品的总人数．24.如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，连接，过点作交的延长线于．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．25.2022年卡塔尔世界杯（）是第二十二届国际足联世界杯，于当地时间2022年11月20日至12月18日在卡塔尔举行．在某场比赛中，球员甲在离对方球门23米处的点起脚吊射（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门），假如球飞行的路线是一条拋物线，在离对方球门11米时，足球达到最大高度6米．如图所示，以球员甲所在位置点为原点，球员甲与对方球门所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（1）求满足条件的抛物线的函数表达式；（2）如果对方球员乙站在球员甲前3米处，乙球员跳起后最高能达到米，请通过计算说明：乙球员能否在空中截住这次吊射？26.已知二次函数．（1）求该二次函数的图象与轴交点的坐标及对称轴．（2）抛物线过点，，，①判断：______0（填“＞”，“＜”或“＝”）；②若，，恰有一个点在轴下方，求的取值范围．27.已知正方形，将边绕点顺时针旋转至线段，的角平分线所在直线与直线相交于点．过点作直线的垂线，垂足为点．（1）当为锐角时，依题意补全图形，并直接写出的度数；（2）在（1）的条件下，写出线段和之间的数量关系，并证明；（3）设直线与直线相交于点，若，直接写出线段长的最大值和最小值．28.在平面直角坐标系中，对于线段，点和图形定义如下：线段绕点逆时针旋转90°得到线段（和分别是和的对应点）；若线段和均在图形的内部（包括边界），则称图形为线段关于点的旋垂闭图．（1）如图，点，．①已知图形：半径为3的；：以为中心且边长为6的正方形；：以线段为边的等边三角形．在，，中，线段关于点的旋垂闭图是______；②若半径为5的是线段关于点的旋垂闭图，求的取值范围；（2）已知长度为2的线段在轴负半轴和原点组成的射线上．若存在点，使得对半径为2的上任意一点，都有线段满足半径为的是该线段关于点的旋垂闭图，直接写出的取值范围．

参考答案一、选择题（每小题2分，共16分）1.【答案】C【解析】【分析】根据科学记数法的表示形式，即可得到答案．【详解】故答案选C．【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，正确的确定、值是解题的关键．2.【答案】B【解析】【分析】根据主视图和左视图都是三角形，俯视图是圆，即可判断该几何体为圆锥．【详解】解：长方体的三视图都是圆锥，故选：B．【点睛】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是熟知基本几何体的三视图，正确判断几何体．3.【答案】A【解析】【分析】根据正多边形的性质和多边形的外角和即可得．【详解】任意一个多边形的外角和均为，由正多边形的性质可知，其每一个外角都相等，设这个正多边形为正边形，则，解得，即这个正多边形为正六边形，故选：A．【点睛】本题考查了正多边形的性质和多边形的外角和，熟记正多边形性质是解题关键．4.【答案】D【解析】【分析】根据实数在数轴上的位置，得出各个数的大小关系，再根据绝对值的大小，判断相关代数式的符号．【详解】由实数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置可知，a＜b＜0＜c＜d，∴|a|＞|b|，ad＜0，a+c＜0，d-a＞0，因此选项D正确，故选：D．【点睛】本题考查数轴表示数，有理数的四则运算法则，理解符号、绝对值是确定有理数的必要条件．5.【答案】C【解析】【分析】根据邻补角求出，由平分可知，根据得到．【详解】解：∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴，故选：C．【点睛】此题考查了邻补角和平行线的性质、角平分线的定义．解题关键是掌握相关定义和性质．6.【答案】A【解析】【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：列表如下，白红红白白白白红白红红白红红红红红红白红红红红红共有9种等可能结果，符合题意的有1中，则两次都摸到白球的概率为，故选：A．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．7.【答案】B【解析】【分析】由二次函数解析式可得函数对称轴和增减性，再根据离对称轴的远近的点的纵坐标的大小比较即可解答．【详解】解：∵二次函数解析式，∴函数图像开口向下，对称轴为，且在函数图像上距离对称轴越远的点函数值越小∵由离对称轴分别为：，，2∴．故选：B．【点睛】本题主要考查比较函数值的大小．发现当二次函数开口向下时，在函数图像上距离对称轴越远的点，函数值越小是解答本题的关键．8.【答案】A【解析】【分析】将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，从而得到BH＝DF，AH＝AF，∠HAB＝∠FAD，然后由∠EAF＝45°和∠BAD＝90°得到∠HAE＝∠FAE＝45°，得到△HAE≌△FAE，进而得到EF＝HE＝y，由BE＝x，得到BH＝DF＝y﹣x，结合正方形的边长为2得到EC＝2﹣x，CF＝2﹣（y﹣x），然后利用勾股定理列出关于x和y的关系式求得y与x的函数解析式，最后得到对应的函数图象．【详解】解：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，∴BH＝DF，AH＝AF，∠HAB＝∠FAD，∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠HAE＝∠HAB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝90°﹣∠FAE＝45°，∴∠FAE＝∠HAE，∵AE＝AE，∴△HAE≌△FAE（SAS），∴EF＝HE＝y，∵BE＝x，∴BH＝DF＝y﹣x，∵正方形的边长为2，∴EC＝2﹣x，CF＝2﹣（y﹣x），在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2，∴（2﹣x）2+[2﹣（y﹣x）]2＝y2，化简得，y＝＝＝（）2﹣4+4，∴当，即x＝2﹣2时，y有最小值，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是求出函数关系式．二、填空题（每小题2分，共16分）9.【答案】x≥-1【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，列不等式求解即可．【详解】由题意可知x+1≥0，∴x≥-1．故答案为：x≥-1．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义条件，明确被开方数为非负数是解题关键．10.【答案】【解析】【分析】先提公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可求解．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．11.【答案】【解析】【分析】，则，根据分式混合运算，将已知代入进而化简即可求解．【详解】解：∵，则∴，故答案为：．【点睛】本题考查了分式的混合运算，代数式求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．12.【答案】45【解析】【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，求得PD2+DB2=PB2，于是得到∠PDB=90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．【详解】解：延长AP交格点于D，连接BD，

则PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，

∴PD2+DB2=PB2，

∴∠PDB=90°，

即△PBD为等腰直角三角形，∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°，

故答案为：45．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13.【答案】【解析】【分析】根据矩形的性质可得出AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，易证△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出，利用勾股定理求出AC的长度，即可求出AF的长度．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∴∠FAE＝∠FCD，∠FEA＝∠FDC，∴△AFE∽△CFD，∴，∵AC＝，∴AF＝，故答案为．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理，利用相似三角形的性质得出CF＝2AF是解题的关键．14.【答案】1【解析】【分析】由关于原点成中心对称，反比例函数的系数的几何意义可得答案．【详解】解：正比例函数的图象和反比例函数的图象交于，两点，关于原点成中心对称，，垂足分别为故答案为1．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数与正比例函数的交点关于原点成中心对称，反比例函数的系数的几何意义，掌握以上知识是解题的关键．15.【答案】①.48Rsin7.5°②.3.12【解析】【分析】根据圆的内接正二十四边形的每条边所对应的圆心角是15°，可知：正二十四边形的周长为：，进而可求出π的近似值.【详解】∵圆的内接正二十四边形的每条边所对应的圆心角是15°，∴正二十四边形的周长为：，∴，故答案是：48Rsin7.5°，3.12.【点睛】本题主要考查圆的内接正多边形的性质以及三角形函数的应用，根据题意，在直角三角形中应用正弦三角函数，是解题的关键.16.【答案】①.②.【解析】【分析】根据填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，可知，甲每次都会选最大的数字；再根据乙选择数字的方法判断满足条件的填法即可．【详解】解：甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，表中第一个数字是，甲先填，第二个数字为，第四个数字为，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．第三个数字可以为，，，，，第五个数字可以为，，，，且不能与第三个数字相同，即第三个数字有种选法，第五个数字有种选法，满足条件的填法有种，表中空白处可以为．故答案为：，【点睛】本题考查平均数，中位数的定义，列举法，解题的关键是理解甲选数字的方法，乙选数字的方法，根据其选数字的方法知道其所选数字．三、解答题（共68分，第17－22题，每题5分，第23－26题，每题6分，第27－28题，每题7分）17.【答案】【解析】【分析】先计算负整数指数幂，特殊角三角函数值，化简二次根式和零指数幂，再根据实数的混合运算法则求解即可．【详解】解：原式．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键．18.【答案】﹣1＜x≤2．【解析】【分析】分别求得各不等式的解集，然后求得公共部分即可．【详解】由①得x≤2；由②得x＞﹣1；故不等式组的解集为﹣1＜x≤2．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19.【答案】（1）且（2）【解析】【分析】（1）根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围；（2）由（1）中的取值范围得出符合条件的的最大整数值，代入原方程，利用因式分解法即可求出的值．【小问1详解】解：（1）关于的方程有两个实数根，，解得：且；【小问2详解】解：当时，方程为：，即，解得：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，掌握利用判别式判断根的个数是解题的关键．20.【答案】（1）证明见解析（2）7【解析】【分析】（1）如图所示，延长到F，使得，证明，得到，则，再由点D是的中点，得到，即可证明四边形是平行四边形，则，再由，即可证明；（2）如图所示，连接并延长交延长线于E，证明，得到，，即点N是的中点，由（1）的结论可知，则．【小问1详解】证明：如图所示，延长到F，使得，∵点E是的中点，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵点D是的中点，∴，∴四边形是平行四边形，∴，又∵，∴，∴，且；【小问2详解】解：如图所示，连接并延长交延长线于E，∵，∴，∵点N是的中点，∴，在和中，，∴，∴，，即点N是的中点，又∵点M是的中点，∴由（1）的结论可知，∴，故答案为：7．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．21.【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）根据平分，得到，再根据垂直平分，得到，，从而得到，故，，从而证明四边形是平行四边形，再根据证明四边形是菱形；（2）过点作，由（1）知，，得到，分别解，求出的长即可得到答案．【小问1详解】证明：∵平分，∴，∵垂直平分，∴，，∴，，∴，∴，，∴四边形是平行四边形，又∵，∴四边形是菱形；【小问2详解】解：如图所示，过点作于H，由（1）知，，∴，∴，在中，，∴，在中，由勾股定理得，∴∴，∴，在中，，∴，∴．【点睛】此题主要考查菱形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．22.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先根据一次函数平移的特点得到，再把代入到反比例函数解析式求出，再把代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；（2）先求出一次函数与反比例函数的另一个交点坐标，再根据函数图象进行求解即可．【小问1详解】解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到，∴，∵一次函数与函数的图象交于点，∴，∴，把点代入到中得，∴，∴一次函数解析式为；【小问2详解】解：设一次函数与反比例函数的另一个交点为B，联立得，解得或，∴，∴由函数图象可知，当或时，．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数图象的平移问题，灵活运用所学知识是解题的关键．23.【答案】（1），，（2）乙班的竞赛成绩更加整齐，理由见解析（3）42人【解析】【分析】（1）根据中位数，平均数和方差的定义进行求解即可；（2）根据方差越小成绩越整齐进行求解即可；（3）分别用甲乙两个班的人数乘以样本中对应班级成绩在80分及以上的人数占比即可得到答案．【小问1详解】解：将甲班成绩从低到高排列为：69，72，72，78，78，79，85，86，89，91，处在第5名和第6名的成绩分别为，∴甲班的中位数；乙班的平均数，∴乙班的方差，故答案为：，，；【小问2详解】解：乙班的竞赛成绩更加整齐，理由如下：∵甲班的方差为，乙班的方差为，，∴乙班的竞赛成绩更加整齐；【小问3详解】解：人，∴估计这两个班级可以获得冬奥纪念奖品的总人数为42人．【点睛】本题主要考查了中位数，平均数，方差，用方差判断稳定性，用样本估计总体等等，灵活运用所学知识是解题的关键．24.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意，先证明，然后证明，即可证明结论．（2）根据题意，先求出、、的值，再证明和，即可求出结果．【小问1详解】又，又，与相切于点，即是的切线．【小问2详解】如图，连接，，，，．【点睛】本题考查了切线的定义、相似三角形判定与性质，掌握以上内容是解题的关键．25.【答案】（1）（2）乙球员能在空中截住这次吊射，理由见解析【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）求出当时，y值即可得到答案．【小问1详解】解：由题意得抛物线顶点坐标为，即，∴设抛物线解析式为，把代入中得：，解得，∴抛物线解析式为【小问2详解】解：乙球员能在空中截住这次吊射，理由如下：当时，，∴乙球员能在空中截住这次吊射．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出对应的二次函数解析式是解题的关键．26.【答案】（1），直线（2）①；②或．【解析】【分析】（1）令，得出，即可得出与轴交点的坐标；根据对称轴公式即可求解；（2）①将点横坐标代入得出，代入代数式进行计算即可求解；②分别用含的代数式表示，根据二次函数的性质，分或，分别讨论进而即可求解．【小问1详解】解：由，令，解得：，∴该二次函数的图象与轴交点的坐标为，对称轴为直线，【小问2详解】①当时，，当时，，∴，故答案为：．②∵二次函数的对称轴为直线∴时的函数值与时的函数值相等，即经过点，记为，