2010年中考数学压轴题(五)及解答

第18页共27页2010年中考数学压轴题（五）及解答113、（2010年山东省滨州市）25．如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0，)，以点C为顶点的抛物线恰好经过x轴上A、B两点(1)求A、B、C三点的坐标；(2)求过A、B、C三点的抛物线的解析式；(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位?【解答】25.（1）A、B、C的坐标分别为，，（2）（3）设抛物线的解析式为，代入，可得，∴平移后的抛物线的解析式为。∴平移了个单位。第第22题图1OxyDBAC114、（2010年山东省德州市）22．(本题满分10分)●探究(1)在图1中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F．①若A(-1，0)，B(3，0)，则E点坐标为__________；②若C(-2，2)，D(-2，-1)，则F点坐标为__________；(2)在图2中，已知线段AB的端点坐标为A(a，b)，B(c，d)，求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d的OxOxyDB第22题图2A●归纳无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A(a，b)，B(c，d)，AB中点为D(x，y)时，x=_________，y=___________．（不必证明）xyy=y=xxyy=y=x-2ABO第22题图3的图象交点为A，B．①求出交点A，B的坐标；②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标．【解答】22．（本题满分10分）解：探究(1)①(1，0)；②(-2，)；2分(2)过点A，D，B三点分别作x轴的垂线，垂足分别为A′D′B′OxyDBA，，，则A′D′B′OxyDBA∵D为AB中点，由平行线分线段成比例定理得=．∴O=．xyy=y=x-2xyy=y=x-2ABOOP同理可得D点的纵坐标是．∴AB中点D的坐标为(，)．5分归纳：，．6分运用①由题意得解得或．∴即交点的坐标为A(-1，-3)，B(3，1)．8分②以AB为对角线时，由上面的结论知AB中点M的坐标为(1，-1)．∵平行四边形对角线互相平分，∴OM=OP，即M为OP的中点．∴P点坐标为(2，-2)．9分同理可得分别以OA，OB为对角线时，点P坐标分别为(4，4)，(-4，-4)．∴满足条件的点P有三个，坐标分别是(2，-2)，(4，4)，(-4，-4)．10分115、（2010年山东省德州市）23．(本题满分11分)xyOABCPQMNxyOABCPQMN第23题图(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．【解答】23．（本题满分11分）xyOABCxyOABCPQDEGMNF∴c=-3．将点A(3，0)，B(2，-3)代入得解得：a=1，b=-2．∴．2分配方得：，所以对称轴为x=1．3分(2)由题意可知：BP=OQ=0.1t．∵点B，点C的纵坐标相等，∴BC∥OA．过点B，点P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D，E．要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB．即QE=AD=1．又QE=OE－OQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t，∴2-0.2t=1．解得t=5．即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形．6分②设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G．∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，∴BF=CF=OG=1．又∵BP=OQ，∴PF=QG．又∵∠PMF=∠QMG，∴△MFP≌△MGQ．∴MF=MG．∴点M为FG的中点8分∴S=，=．由=．．∴S=．10分又BC=2，OA=3，∴点P运动到点C时停止运动，需要20秒．∴0<t≤20．∴当t=20秒时，面积S有最小值3．11分xOA（第23题图）BxOA（第23题图）By如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点△AB点【解答】23．(本题满分10分)xOA（第23题图）ByxOA（第23题图）ByCPx=2解得……3分∴二次函数的表达式为．……4分（2）令y=0，得二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标C（5,0）.……………5分由于P是对称轴上一点，连结AB，由于，要使△AB……………6分AC对称，连结BC交对称轴于点P，则=BP+PC=BC根据两点之间，线段最短，可得BCBC的交点P就是所求的点.………………8分设直线BC的解析式为，根据题意，可得解得所以直线BC的解析式为.……9分因此直线BC与对称轴的交点坐标是方程组的解，解得所求的点P的坐标为（2，-3）.…10分117、（2010年山东省东营市）24．(本题满分10分)如图，在锐角三角形ABC中，，△ABC的面积为48，D，E分别是边AB，AC上的两个动点（D不与，重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点的异侧作正方形DEFG.（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长；（2）设DE=x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为，试求关于的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值.BB（第24题图）ADEFGCB（备用图（1））ACB（备用图（2））AC【解答】B（第24题图(1)）B（第24题图(1)）ADEFGCMN解：（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图（1），过点A作BC边上的高AM，交DE于N，垂足为M.∵S△ABC=48，BC=12，∴AM=8.∵DE∥BC，△ADE∽△ABC,………1分∴，而AN=AM－MN=AM－DE，∴.………2分解之得.B（第24题图（2））ADEFGC∴当正方形DEFG的边GF在BC上时B（第24题图（2））ADEFGC（2）分两种情况：①当正方形DEFG在△ABC的内部时，如图（2），△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积，∵DE=x，∴，此时x的范围是≤4.8…4分②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，如图（2），设DG与BC交于点Q，EF与BC交于点P，MB（第24题图(3)）ADEFGCNMB（第24题图(3)）ADEFGCNPQ∵DE=x，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC,…………5分即，而AN=AM－MN=AM－EP,∴，解得.………6分所以,即.………7分由题意，x>4.8，x<12,所以.因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为(0<x≤(0<x≤4.8)当≤4.8时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04当时，因为，所以当时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为.因为24>23.04，所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24.…10分118、（2010年山东省济南市）23．(本小题满分9分)已知：△ABC是任意三角形．⑴如图1所示，点M、P、N分别是边AB、BC、CA的中点．求证：∠MPN=∠A．⑵如图2所示，点M、N分别在边AB、AC上，且，，点P1、P2是边BC的三等分点，你认为∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正确？请说明你的理由．ABCNMPAMNP1CP2BACMNP1P2P2009…………B第23题图2第23题图1第23题图3⑶如图3所示，点M、N分别在边AB、AC上，且ABCNMPAMNP1CP2BACMNP1P2P2009…………B第23题图2第23题图1第23题图3（请直接将该小问的答案写在横线上．）【解答】23.⑴证明：∵点M、P、N分别是AB、BC、CA的中点，ABCMNP1第23题图P212ABCMNP1第23题图P212∴MP∥AN，PN∥AM， 1分∴四边形AMPN是平行四边形， 2分∴∠MPN=∠A. 3分⑵∠MP1N+∠MP2N=∠A正确. 4分如图所示，连接MN， 5分∵，∠A=∠A，∴△AMN∽△ABC，∴∠AMN=∠B，，∴MN∥BC，MN=BC， 6分∵点P1、P2是边BC的三等分点，∴MN与BP1平行且相等，MN与P1P2平行且相等，MN与P2C∴四边形MBP1N、MP1P2N、MP2CN都是平行四边形，∴MB∥NP1，MP1∥NP2，MP2∥AC， 7分∴∠MP1N=∠1，∠MP2N=∠2，∠BMP2=∠A，∴∠MP1N+∠MP2N=∠1+∠2=∠BMP2=∠A. 8分⑶∠A. 9分119、（2010年山东省济南市）24．(本小题满分9分)如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，直线BD的函数表达式为，抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E．⑴求A、B、C三个点的坐标．⑵点P为线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M，以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N，分别连接AN、BM、MN．①求证：AN=BM．②在点P运动的过程中，四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值.【解答】xDCMNxDCMNOABP第24题图lxyFE解得：，∴A(－1，0)，B(3，0) 2分∵=，∴抛物线的对称轴为直线x=1，将x=1代入，得y=2，∴C（1，2）. 3分⑵①在Rt△ACE中，tan∠CAE=，∴∠CAE=60º，∴AC=BC，∴△ABC为等边三角形， 4分∴AB=BC=AC=4，∠ABC=∠ACB=60º，又∵AM=AP，BN=BP，∴BN=CM，∴△ABN≌△BCM，∴AN=BM. 5分②四边形AMNB的面积有最小值． 6分设AP=m，四边形AMNB的面积为S，由①可知AB=BC=4，BN=CM=BP，S△ABC=×42=，∴CM=BN=BP=4－m，CN=m，过M作MF⊥BC,垂足为F,则MF=MC•sin60º=，∴S△CMN==•=， 7分∴S=S△ABC－S△CMN=－（）= 8分∴m=2时，S取得最小值3. 9分120、（2010年山东省济宁市）22．（8分）(第22题)数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形的边长为，为边延长线上的一点，为的中点，的垂直平分线交边于，交边的延长线于.当时，与的比值是多少？(第22题)经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过作直线平行于交，分别于，，如图，则可得：，因为，所以.可求出和的值，进而可求得与的比值.(1)请按照小明的思路写出求解过程.(2)小东又对此题作了进一步探究，得出了的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.【解答】22．（1）解：过作直线平行于交，分别于点，，则，，.∵，∴. 2分∴，.∴. 4分(第22题)（2）证明：作∥交于点，………5分(第22题)则，.∵，∴.∵，，∴.∴.………7分∴.………8分121、（2010年山东省济宁市）23．（10分）(第23题)如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）.已知点坐标为（，）.(第23题)（1）求此抛物线的解析式；（2）过点作线段的垂线交抛物线于点，如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.【解答】23．（1）解：设抛物线为.∵抛物线经过点（0，3），∴.∴.∴抛物线为. ……………3分(2)答：与⊙相交.…………………4分证明：当时，，.∴为（2，0），为（6，0）.∴.设⊙与相切于点，连接，则.∵，∴.(第23题)又∵，∴.(第23题)∴∽.∴.∴.∴.……6分∵抛物线的对称轴为，∴点到的距离为2.∴抛物线的对称轴与⊙相交.………………7分(3)解：如图，过点作平行于轴的直线交于点.可求出的解析式为.………8分设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）.∴.∵,∴当时，的面积最大为.此时，点的坐标为（3，）.…………10分122、（2010年山东省莱芜市）23.（本题满分10分）在ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE.（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是；（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是；（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.HHGFEODCBA图①HGFEODCBA图②ABCDOEFGH图③ABCDOEFGH图④（第23题图）【解答】23.（本小题满分10分）解：（1）四边形EGFH是平行四边形．…………1分证明：∵ABCD的对角线AC、BD交于点O．∴点O是ABCD的对称中心．∴EO=FO，GO=HO．∴四边形EGFH是平行四边形．…………4分（2）菱形．…………5分（3）菱形．…………6分（4）四边形EGFH是正方形．…………7分证明：∵AC=BD，∴ABCD是矩形．又∵AC⊥BD，∴ABCD是菱形．∴ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°．OB=OC．∵EF⊥GH，∴∠GOF=90°．∴∠BOG=∠COF．∴△BOG≌△COF．∴OG=OF，∴GH=EF．…………9分由（1）知四边形EGFH是平行四边形，又∵EF⊥GH，EF=GH.∴四边形EGFH是正方形．…………10分（第24题图）xyOACBD（第24题图）xyOACBDEF如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点.（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.【解答】24.（本小题满分12分）解：（1）∵抛物线经过点，，．∴，解得.∴抛物线的解析式为：.…………3分（2）易知抛物线的对称轴是.把x=4代入y=2x得y=8，∴点D的坐标为（4,8）．∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8．…………4分连结DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M．在Rt△MFD中，FD=8，MD=4．∴cos∠MDF=．∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°．…………6分∴劣弧EF的长为：．…………7分（3）设直线AC的解析式为y=kx+b.∵直线AC经过点.∴，解得.∴直线AC的解析式为：.………8分设点，PG交直线AC于N，则点N坐标为.∵.xyOACBDEFPGNM∴①若PNxyOACBDEFPGNM即=.解得：m1=－3，m2=2（舍去）.当m=－3时，=.∴此时点P的坐标为.…………10分②若PN︰GN=2︰1，则PG︰GN=3︰1，PG=3GN.即=.解得：，（舍去）.当时，=.∴此时点P的坐标为.综上所述，当点P坐标为或时，△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分．…12分124、（2010年山东省临沂市）25．（本小题满分11分）如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB=2AD．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）保持图1中ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明；（3）保持图2中△ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）．试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明．图1图1图2图3第25题图【解答】25.[解](1)△ABC为等腰直角三角形。如图1，在矩形ABED中，∵点C是边DE的中点，且AB=2AD，∴AD=DC=CE=EB，D=E=90，∴Rt△ADCRt△BEC。∴AC=BC，1=2=45，∴ACB=90，∴△ABC为等腰直角三角形。(2)DE=ADBE；如图2，在Rt△ADC和Rt△CEB中，∵1CAD=90，12=90，∴CAD=2。又∵AC=CB，ADC=CEB=90，∴Rt△ADCRt△CEB。∴DC=BE，CE=AD，∴DCCE=BEAD，即DE=ADBE。(3)DE=BEAD。如图3，Rt△ADC和Rt△CEB中，∵1CAD=90，12=90，∴CAD=2，又∵ADC=CEB=90，AC=CB，∴Rt△ADCRt△CEB，∴DC=BE，CE=AD，∴DCCE=BEAD，1ABCDE图121ABCDE图12MNABCDE图212ABCDEMN图312AACB第26题图125、（2010年山东省临沂市）26．（本小题满分13分）如图：二次函数y=﹣x2+ax+b的图象与x轴交于A（-，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．【解答】26.[解](1)根据题意，将A(，0)，B(2，0)代入y=x2axb中，得，解这个方程，得a=，b=1，∴该拋物线的解析式为y=x2x1，当x=0时，y=1，∴点C的坐标为(0，1)。∴在△AOC中，AC===。在△BOC中，BC===。AB=OAOB=2=，∵AC2BC2=5==AB2，∴△ABC是直角三角形。yABCOxP(2)点DyABCOxP(3)存在。由(1)知，ACBC。若以BC为底边，则BC//AP，如图1所示，可求得直线BC的解析式为y=x1，直线AP可以看作是由直线BC平移得到的，所以设直线AP的解析式为y=xb，把点A(，0)代入直线AP的解析式，求得b=，∴直线AP的解析式为y=x。∵点P既在拋物线上，又在直线AP上，yABCOPx∴点P的纵坐标相等，即x2x1=x，解得x1yABCOPxx2=(舍去)。当x=时，y=，∴点P(，)。若以AC为底边，则BP//AC，如图2所示。可求得直线AC的解析式为y=2x1。直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线BP的解析式为y=2xb，把点B(2，0)代入直线BP的解析式，求得b=4，∴直线BP的解析式为y=2x4。∵点P既在拋物线上，又在直线BP上，∴点P的纵坐标相等，即x2x1=2x4，解得x1=，x2=2(舍去)。当x=时，y=9，∴点P的坐标为(，9)。综上所述，满足题目条件的点P为(，)或(，9)。126、（2010年山东省青岛市）23.（本题满分10分）问题再现O：现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见．在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题．今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究.O我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．如右图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角.试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着个正六边形的内角．问题提出：如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？问题解决：猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决．从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：，整理得：，我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为．结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．验证2：结论2：．上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案．问题拓广请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．猜想3：.验证3：结论3：.【解答】23．（本小题满分10分）解：3个； 1分验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：．整理得：，可以找到两组适合方程的正整数解为和． 3分结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌． 5分猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？ 6分验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有m个正三角形、n个正方形和c个正六边形的内角可以拼成一个周角.根据题意，可得方程：，整理得：，可以找到惟一一组适合方程的正整数解为. 8分结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌.（说明：本题答案不惟一，符合要求即可.） 10分127、（2010年山东省青岛市）24.（本题满分12分）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．ADBCF（E）图（1）ADBCADBCF（E）图（1）ADBCFE图（2）PQABABC图（3）（2） （3）（（用圆珠笔或钢笔画图）【解答】24．（本小题满分12分）解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，∴AP=AQ.∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC=180°，∴∠EQC=45°.∴∠DEF=∠EQC.∴CE=CQ.由题意知：CE=t，BP=2t， ∴CQ=t.∴AQ=8－t.在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm.则AP=10－2t.∴10－2t=8－t.解得：t=2.答：当t=2s时，点A在线段PQ的垂直平分线上. 4分图（2）QADBCFEP图（2）QADBCFEPM∴.在Rt△ABC和Rt△BPM中，，∴.∴PM=.∵BC=6cm，CE=t，∴BE=6－t.∴y=S△ABC－S△BPE=－=－==.∵，∴抛物线开口向上.∴当t=3时，y最小=.答：当t=3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm2. 8分（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上.过P作，交AC于N，CEADCEADBF图（3）PQN∵，∴△PAN∽△BAC.∴.∴.∴，.∵NQ=AQ－AN，∴NQ=8－t－()=．∵∠ACB=90°，B、C（E）、F在同一条直线上，∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ.∵∠FQC=∠PQN，∴△QCF∽△QNP.∴.∴.∵∴解得：t=1.答：当t=1s，点P、Q、F三点在同一条直线上. 12分128、（2010年山东省日照市）23．(本题满分10分)如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30o，O、A两点相距8米（1）求出点A的坐标及直线OA的解析式；（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．【解答】23．（本题满分10分）解：（1）在Rt△AOC中，∵∠AOC=30o，OA=8，∴AC=OA·sin30o=8×=，OC=OA·cos30o=8×=12．∴点A的坐标为（12，）．…………………2分设OA的解析式为y=kx，把点A（12，）的坐标代入得：=12k，∴k=，∴OA的解析式为y=x；…………4分(2)∵顶点B的坐标是（9，12）,点O的坐标是（0，0）∴设抛物线的解析式为y=a(x-9)+12，…………………6分把点O的坐标代入得：0=a（0-9）+12，解得a=，∴抛物线的解析式为y=(x-9)+12及y=x+x；…………………8分(3)∵当x=12时，y=，∴小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．…………10分129、（2010年山东省日照市）24．(本题满分10分)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．求证：（1）D是BC的中点； （2）△BEC∽△ADC；（3）BC2=2AB·CE．【解答】24．（本题满分10分）（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD是底边BC上的高．………1分又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∴D是BC的中点；………3分(2)证明：∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角，∴∠CBE=∠CAD．…………………5分又∵∠BCE=∠ACD，∴△BEC∽△ADC；…………………6分（3）证明：由△BEC∽△ADC，知，即CD·BC=AC·CE．…………………8分∵D是BC的中点，∴CD=BC．又∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE=BC·BC=AB·CE即BC=2AB·CE．……………………10分130、（2010年山东省泰安市）25．（本小题满分10分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P、Q分别是AB、AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点.（1）求证：△PDQ是等腰直角三角形；（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由。【解答】25．（本小题满分10分）解：（1）证明：连结AD∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B （2分）又∵BP=AQ∴△BPD≌△AQD （4分）∴PD=QD，∠ADQ=∠BDP∵∠BDP+∠ADP=90°∴∠ADQ+∠ADP=∠PDQ=90°∴△PDQ为等腰直角三角形 （6分）（2）当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形由（1）知△ABD为等腰直角三角形当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90° （8分）又∵∠A=90°，∠PDQ=90°∴四边形APDQ为矩形又∵DP=AP=AB∴四边形APDQ为正方形 （10分）131、（2010年山东省泰安市）26．（本小题满分10分）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F。（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，BE=1，求cosA的值.【解答】26．（本小题满分10分）解：（1）证明：连结AD、OD∵AC是直径∴AD⊥BC （2分）[来源:Z,xx,k.Com]∵AB=AC，[∴D是BC的中点，又∵O是AC的中点∴OD//AB （4分）∵DE⊥AB，∴OD⊥DE∴DE是⊙O的切线 （6分）（2）由（1）知OD//AE∴ （8分）∴，∴，解得FC=2，∴AF=6∴cosA= （10分）132、（2010年山东省威海市）24．（11分）A1B1C1ABC（图①）如图①A1B1C1ABC（图①）AB(A1)CB1C1图②E﹙1﹚将△ABC，△A1B1C1如图②摆放，使点A1与B重合，点B1在AC边的延长线上，连接CC1交AB(A1)CB1C1图②EA1C1CAB(B1)图③F﹙2﹚若将△ABC，△A1B1C1如图③摆放，使点B1与B重合，点A1在AC边的延长线上，连接CC1交AA1C1CAB(B1)图③F﹙3﹚写出问题﹙2﹚中与△A1FC相似的三角形．【解答】AB(A1)CBAB(A1)CB1C1图②E1432567（1）证明：由题意，知△ABC≌△A1B1C1，∴AB=A1B1，BC1=AC，∠2=∠7，∠A=∠1．∴∠3=∠A=∠1．……………1分∴BC1∥AC．∴四边形ABC1C是平行四边形．………………2∴AB∥CC1．∴∠4=∠7=∠2．…………………3分A1C1CAB(BA1C1CAB(B1)图③F36451278∴∠B1C1C＝∠B1BC．﹙2﹚∠A1C1C=∠A1BC．……………理由如下：由题意，知△ABC≌△A1B1C1∴AB=A1B1，BC1=BC，∠1=∠8，∠A=∠2．∴∠3=∠A，∠4=∠7．………6分∵∠1＋∠FBC=∠8＋∠FBC，∴∠C1BC＝∠A1BA．…………7分∵∠4=(180°－∠C1BC)，∠A=(180°－∠A1BA)．∴∠4=∠A．…………………8分∴∠4=∠2．∵∠5=∠6，∴∠A1C1C=∠A1BC．……………﹙3﹚△C1FB，…………10分；△A1C1B，△ACB．…………11分﹙133、（2010年山东省威海市）25.（12分）（1）探究新知：①如图，已知AD∥BC，AD＝BC，点M，N是直线CD上任意两点．ABDCMN图①ABDCMN图①②如图，已知AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点．试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由．CC图②ABDMFEG（2）结论应用：如图③，抛物线的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D．试探究在抛物线上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？若存在，请求出此时点E的坐标，若不存在，请说明理由．﹙友情提示：解答本问题过程中，可以直接使用“探究新知”中的结论．﹚A备用图A备用图CDBOxyA图③CDBOxy【解答】25．（本小题满分12分）﹙1﹚①证明：分别过点M，N作ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为点E，F．ABDCMN图①EF∵ABDCMN图①EF∴四边形ABCD为平行四边形．∴AB∥CD．∴ME=NF．∵S△ABM＝，S△ABN＝，∴S△ABM＝S△ABN．……………………1分②相等．理由如下：分别过点D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分别为H，K．HC图②ABDMFHC图②ABDMFEGK∵AD∥BE，∴∠DAH=∠EBK．∵AD＝BE，∴△DAH≌△EBK．∴DH=EK．……………2分∵CD∥AB∥EF，∴S△ABM＝，S△ABG＝，∴S△ABM＝S△ABG.…………………3分﹙2﹚答：存在．…………4分解：因为抛物线的顶点坐标是C(1，4)，所以，可设抛物线的表达式为.又因为抛物线经过点A(3，0)，将其坐标代入上式，得，解得.∴该抛物线的表达式为，即．………5分∴D点坐标为（0，3）．设直线AD的表达式为，代入点A的坐标，得，解得.∴直线AD的表达式为．过C点作CG⊥x轴，垂足为G，交AD于点H．则H点的纵坐标为．∴CH＝CG－HG＝4－2＝2．…………6分设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为．过E点作EF⊥x轴，垂足为F，交AD于点P，则点P的纵坐标为，EF∥CG．A图③-1CDBOxyH PGFPA图③-1CDBOxyH PGFPE①若E点在直线AD的上方﹙如图③-1﹚，则PF=，EF＝．∴EP＝EF－PF＝=．∴．解得，．……………7分当时，PF=3－2＝1，EF=1+2＝3．∴E点坐标为（2，3）．同理当m=1时，E点坐标为（1，4），与C点重合．………………8分②若E点在直线AD的下方﹙如图③－2,③－3﹚，则．……………9分∴．解得，．………………10分当时，E点的纵坐标为；当时，E点的纵坐标为．∴在抛物线上存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等，E点的坐标为E1（2，3）；；．………………12分﹙其他解法可酌情处理﹚AA图③－3CDBOxyH PGFPEA图③－2CDBOxyH PGFPE