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文档简介
安徽省阜阳市成效中学2025届高三下第一次测试数学试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,平面,,若球的表面积为,则三棱锥的体积的最大值为()A. B. C. D.2.《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤;斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现在有一根金箠,长五尺在粗的一端截下一尺,重斤;在细的一端截下一尺,重斤,问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设,假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列,则从粗端开始的第二尺的重量是()A.斤 B.斤 C.斤 D.斤3.在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高.乙:丙的成绩比我和甲的都高.丙:我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙4.已知椭圆内有一条以点为中点的弦,则直线的方程为()A. B.C. D.5.已知函数,则的最小值为()A. B. C. D.6.已知双曲线:,,为其左、右焦点,直线过右焦点,与双曲线的右支交于,两点,且点在轴上方,若,则直线的斜率为()A. B. C. D.7.已知三棱锥的外接球半径为2,且球心为线段的中点,则三棱锥的体积的最大值为()A. B. C. D.8.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),其右焦点F的坐标为(c,0),点A是第一象限内双曲线渐近线上的一点,O为坐标原点,满足|OA|=A.2 B.2 C.2339.关于函数,下列说法正确的是()A.函数的定义域为B.函数一个递增区间为C.函数的图像关于直线对称D.将函数图像向左平移个单位可得函数的图像10.设,是空间两条不同的直线,,是空间两个不同的平面,给出下列四个命题:①若,,,则;②若,,,则;③若,,,则;④若,,,,则.其中正确的是()A.①② B.②③ C.②④ D.③④11.已知实数集,集合,集合,则()A. B. C. D.12.已知函数为奇函数,且,则()A.2 B.5 C.1 D.3二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知多项式满足,则_________,__________.14.若函数为偶函数,则________.15.用数字、、、、、组成无重复数字的位自然数,其中相邻两个数字奇偶性不同的有_____个.16.已知数列的各项均为正数,满足,.,若是等比数列,数列的通项公式_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设数列是公差不为零的等差数列,其前项和为,,若,,成等比数列.(1)求及;(2)设,设数列的前项和,证明:.18.(12分)已知函数.(1)求证:当时,;(2)若对任意存在和使成立,求实数的最小值.19.(12分)如图,在四棱锥中底面是菱形,,是边长为的正三角形,,为线段的中点.求证:平面平面;是否存在满足的点,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.20.(12分)为增强学生的法治观念,营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围,某学校开展了“宪法小卫士”活动,并组织全校学生进行法律知识竞赛.现从全校学生中随机抽取50名学生,统计他们的竞赛成绩,已知这50名学生的竞赛成绩均在[50,100]内,并得到如下的频数分布表:分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人数51515123(1)将竞赛成绩在内定义为“合格”,竞赛成绩在内定义为“不合格”.请将下面的列联表补充完整,并判断是否有的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关?合格不合格合计高一新生12非高一新生6合计(2)在(1)的前提下,按“竞赛成绩合格与否”进行分层抽样,从这50名学生中抽取5名学生,再从这5名学生中随机抽取2名学生,求这2名学生竞赛成绩都合格的概率.参考公式及数据:,其中.21.(12分)已知中,角所对边的长分别为,且(1)求角的大小;(2)求的值.22.(10分)如图中,为的中点,,,.(1)求边的长;(2)点在边上,若是的角平分线,求的面积.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
由题意画出图形,设球0得半径为R,AB=x,AC=y,由球0的表面积为20π,可得R2=5,再求出三角形ABC外接圆的半径,利用余弦定理及基本不等式求xy的最大值,代入棱锥体积公式得答案.【详解】设球的半径为,,,由,得.如图:设三角形的外心为,连接,,,可得,则.在中,由正弦定理可得:,即,由余弦定理可得,,.则三棱锥的体积的最大值为.故选:.【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、体积,基本不等式等基础知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力,考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法,是中档题.2、B【解析】
依题意,金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列,则,由此利用等差数列性质求出结果.【详解】设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为,设首项,则,公差,.故选B【点睛】本题考查了等差数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.3、A【解析】
利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确,则乙、丙预测错误,则甲比乙成绩高,丙比乙成绩低,故3人成绩由高到低依次为甲,乙,丙;若乙预测正确,则丙预测也正确,不符合题意;若丙预测正确,则甲必预测错误,丙比乙的成绩高,乙比甲成绩高,即丙比甲,乙成绩都高,即乙预测正确,不符合题意,故选A.【点睛】本题将数学知识与时政结合,主要考查推理判断能力.题目有一定难度,注重了基础知识、逻辑推理能力的考查.4、C【解析】
设,,则,,相减得到,解得答案.【详解】设,,设直线斜率为,则,,相减得到:,的中点为,即,故,直线的方程为:.故选:.【点睛】本题考查了椭圆内点差法求直线方程,意在考查学生的计算能力和应用能力.5、C【解析】
利用三角恒等变换化简三角函数为标准正弦型三角函数,即可容易求得最小值.【详解】由于,故其最小值为:.故选:C.【点睛】本题考查利用降幂扩角公式、辅助角公式化简三角函数,以及求三角函数的最值,属综合基础题.6、D【解析】
由|AF2|=3|BF2|,可得.设直线l的方程x=my+,m>0,设,,即y1=﹣3y2①,联立直线l与曲线C,得y1+y2=-②,y1y2=③,求出m的值即可求出直线的斜率.【详解】双曲线C:,F1,F2为左、右焦点,则F2(,0),设直线l的方程x=my+,m>0,∵双曲线的渐近线方程为x=±2y,∴m≠±2,设A(x1,y1),B(x2,y2),且y1>0,由|AF2|=3|BF2|,∴,∴y1=﹣3y2①由,得∴△=(2m)2﹣4(m2﹣4)>0,即m2+4>0恒成立,∴y1+y2=②,y1y2=③,联立①②得,联立①③得,,即:,,解得:,直线的斜率为,故选D.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系,考查韦达定理的运用,考查向量知识,属于中档题.7、C【解析】
由题可推断出和都是直角三角形,设球心为,要使三棱锥的体积最大,则需满足,结合几何关系和图形即可求解【详解】先画出图形,由球心到各点距离相等可得,,故是直角三角形,设,则有,又,所以,当且仅当时,取最大值4,要使三棱锥体积最大,则需使高,此时,故选:C【点睛】本题考查由三棱锥外接球半径,半径与球心位置求解锥体体积最值问题,属于基础题8、C【解析】
计算得到Ac,bca【详解】双曲线的一条渐近线方程为y=bax,A故Ac,bca,Fc,0,故Mc,故选:C.【点睛】本题考查了双曲线离心率,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.9、B【解析】
化简到,根据定义域排除,计算单调性知正确,得到答案.【详解】,故函数的定义域为,故错误;当时,,函数单调递增,故正确;当,关于的对称的直线为不在定义域内,故错误.平移得到的函数定义域为,故不可能为,错误.故选:.【点睛】本题考查了三角恒等变换,三角函数单调性,定义域,对称,三角函数平移,意在考查学生的综合应用能力.10、C【解析】
根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可.【详解】解:①:、也可能相交或异面,故①错②:因为,,所以或,因为,所以,故②对③:或,故③错④:如图因为,,在内过点作直线的垂线,则直线,又因为,设经过和相交的平面与交于直线,则又,所以因为,,所以,所以,故④对.故选:C【点睛】考查线面平行或垂直的判断,基础题.11、A【解析】
可得集合,求出补集,再求出即可.【详解】由,得,即,所以,所以.故选:A【点睛】本题考查了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题.12、B【解析】
由函数为奇函数,则有,代入已知即可求得.【详解】.故选:.【点睛】本题考查奇偶性在抽象函数中的应用,考查学生分析问题的能力,难度较易.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】∵多项式满足∴令,得,则∴∴该多项式的一次项系数为∴∴∴令,得故答案为5,7214、【解析】
二次函数为偶函数说明一次项系数为0,求得参数,将代入表达式即可求解【详解】由为偶函数,知其一次项的系数为0,所以,,所以,故答案为:-5【点睛】本题考查由奇偶性求解参数,求函数值,属于基础题15、【解析】
对首位数的奇偶进行分类讨论,利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得出结果.【详解】①若首位为奇数,则第一、三、五个数位上的数都是奇数,其余三个数位上的数为偶数,此时,符号条件的位自然数个数为个;②若首位数为偶数,则首位数不能为,可排在第三或第五个数位上,第二、四、六个数位上的数为奇数,此时,符合条件的位自然数个数为个.综上所述,符合条件的位自然数个数为个.故答案为:.【点睛】本题考查数的排列问题,要注意首位数字的分类讨论,考查分步乘法计数和分类加法计数原理的应用,考查计算能力,属于中等题.16、【解析】
利用递推关系,等比数列的通项公式即可求得结果.【详解】因为,所以,因为是等比数列,所以数列的公比为1.又,所以当时,有.这说明在已知条件下,可以得到唯一的等比数列,所以,故答案为:.【点睛】该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有根据递推公式求数列的通项公式,属于简单题目.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),;(2)证明见解析.【解析】
(1)根据题中条件求出等差数列的首项和公差,然后根据首项和公差即可求出数列的通项和前项和;(2)根据裂项求和求出,根据的表达式即可证明.【详解】(1)设的公差为,由题意有,且,所以,;(2)因为,所以,.【点睛】本题主要考查了等差数列基本量的求解,裂项求和法,属于基础题.18、(1)见解析;(2)【解析】
(1)不等式等价于,设,利用导数可证恒成立,从而原不等式成立.(2)由题设条件可得在上有两个不同零点,且,利用导数讨论的单调性后可得其最小值,结合前述的集合的包含关系可得的取值范围.【详解】(1)设,则,当时,由,所以在上是减函数,所以,故.因为,所以,所以当时,.(2)由(1)当时,;任意,存在和使成立,所以在上有两个不同零点,且,(1)当时,在上为减函数,不合题意;(2)当时,,由题意知在上不单调,所以,即,当时,,时,,所以在上递减,在上递增,所以,解得,因为,所以成立,下面证明存在,使得,取,先证明,即证,令,则在时恒成立,所以成立,因为,所以时命题成立.因为,所以.故实数的最小值为.【点睛】本题考查导数在不等式恒成立、等式能成立中的应用,前者注意将欲证不等式合理变形,转化为容易证明的新不等式,后者需根据等式能成立的特点确定出函数应该具有的性质,再利用导数研究该性质,本题属于难题.19、证明见解析;2.【解析】
利用面面垂直的判定定理证明即可;由,知,所以可得出,因此,的充要条件是,继而得出的值.【详解】解:证明:因为是正三角形,为线段的中点,所以.因为是菱形,所以.因为,所以是正三角形,所以,而,所以平面.又,所以平面.因为平面,所以平面平面.由,知.所以,,.因此,的充要条件是,所以,.即存在满足的点,使得,此时.【点睛】本题主要考查平面与平面垂直的判定、三棱锥的体积等基础知识;考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识;考查化归与转化、函数与方程等数学思想,属于难题.20、(1)见解析;(2)【解析】
(1)补充完整的列联表如下:合格不合格合计高一新生121426非高一新生18624合计302050则的观测值,所以有的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关.(2)抽取的5名学生中竞赛成绩合
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