专题08 解题技巧专题：平面直角坐标系求面积、新定义与规律探究问题压轴题五种模型全攻略（解析版）

专题08解题技巧专题：平面直角坐标系求面积、新定义与规律探究问题压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一利用补形法或分割法求图形的面积】 1【考点二与图形面积相关的点的存在性问题】 6【考点三平面直角坐标系中点运动规律探究问题】 14【考点四平面直角坐标系中图形变换规律探究问题】 20【考点五平面直角坐标系中新定义规律探究问题】 22【典型例题】【考点一利用补形法或分割法求图形的面积】例题：（2023上·河北保定·八年级统考阶段练习）已知，，．(1)请在平面直角坐标系中画出．(2)请判断的形状（需说明理由），并求的面积．【答案】(1)见解析(2)为直角三角形，的面积为2【分析】本题主要考查了坐标与图形、勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．（1）在平面直角坐标系中找出点的位置，然后顺次连接即可；（2）分别计算的值，然后利用勾股定理的逆定理判断的形状即可；利用割补法求三角形面积即可．【详解】（1）解：依次连接，，，即为所求；（2）解：∵，，，∴，，，∴，∴为直角三角形，且为直角边，为斜边；∴．【变式训练】1．（2023上·安徽滁州·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，过点作轴，过点作轴，轴，过点作轴，分别与和交于点和点，分别与和交于点和点．

(1)直接写出下列点的坐标：点____，点____，点____；(2)利用图形求的面积．【答案】(1)，，(2)的面积为9．【分析】本题考查网格中求三角形的面积，坐标与图形．（1）根据点，点，点在坐标系中的位置，直接写出其坐标即可；（2）利用正方形的面积减去周围三个三角形的面积即可求解．【详解】（1）解：点，点，点；故答案为：，，；（2）解：的面积．2．（2022下·福建厦门·七年级校考期中）(1)在平面直角坐标系中，描出下列个点：，，；

(2)顺次连接，，，组成，求的面积．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）在坐标系中描出点，，；（2）根据题意，顺次连接，，，根据割补法求三角形的面积，即可求解．【详解】解：（1）如图所示，

（2）如图所示，取点，连接，

∴．【点睛】本题考查了在坐标系时中描点，坐标与图象，数形结合是解题的关键．3．（2022上·广东深圳·八年级校考期中）的三个顶点的坐标分别是，，．

(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出；(2)求的面积．【答案】(1)见解析(2)7【分析】本题考查了作图—基本作图，坐标与图形，根据点的坐标描点连线即可；利用割补法求三角形的面积，设于，则，代入数据进行计算即可，采用数形结合的思想是解此题的关键．【详解】（1）解：如图，即为所求，；

（2）解：如图，设于，

，，，，，，，，，．【考点二与图形面积相关的点的存在性问题】例题：（2023上·广东茂名·八年级信宜市第二中学校考期中）如图，已知，，，．

(1)求的面积；(2)设P为x轴上的一点，若，求点P的坐标．【答案】(1)12(2)点P的坐标为或【分析】（1）先计算出，然后根据三角形面积公式计算的面积；（2）当在轴上时，设点坐标为，则，再根据列方程计算即可；【详解】（1）解：，，，，．（2）设点P的坐标为，，解得或，点P的坐标为或．【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半．【变式训练】1．（2023上·河南郑州·八年级郑州市第八中学校考期中）如图，已知在平面直角坐标系中，点在轴上，点、在轴上，，，，点的坐标是．

(1)求的顶点的坐标；(2)连接、，并用含字母的式子表示的面积；(3)在（2）问的条件下，是否存在点，使的面积等于的面积？如果存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)的面积为(3)或【分析】本题考查了坐标与图形性质；（1）根据三角形面积公式得到，解得，则，，然后根据坐标轴上点的坐标特征写出三个顶点的坐标；（2）分类讨论：当点在直线上方即；当点在直线下方，即；利用面积的和与差求解；（3）先计算出，利用（）中的结果得到方程，然后分别求出的值，从而确定点坐标．【详解】（1）解：，，，解得，，，，，；（2）当点在第二象限，直线的上方，即，作轴于，如图，

；当点在直线下方，即，作轴于，如图，

；∴的面积为（3）解：∵，当，解得．此时点坐标为；当，解得．此时点坐标为．综上所述，点的坐标为，或，．2．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点在第一象限，轴，且到轴的距离为6．

(1)______，______；(2)______，______；(3)如果在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的两倍，求满足条件的点的坐标．【答案】(1)8，6(2)16，24(3)【分析】（1）根据轴，可知点C与点B的横坐标相同，结合点C到x轴的距离为6，得点C的纵坐标为6，即可得到a、b的值；（2）根据三角形的面积公式得，即可求出的面积；（3）由图象可知，再由三角形的面积公式求出，结合四边形的面积是的面积的两倍且P在第二象限，即可求出P点的坐标．【详解】（1）解：，点C在第一象限，轴，且到x轴的距离为6，，故答案为：8，6；（2）解：，，，，，，，；故答案为：16，24；（3）解：，，，，，，∵且P在第二象限，，．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，根据坐标得出坐标系内线段的长度，熟练掌握坐标与图形性质，由题意得出方程是解决问题（2）的关键．3．（2023上·江苏·九年级专题练习）如图所示，在直角梯形中，，，，．

(1)求点B的坐标，并且求出直角梯形的面积；(2)当P点沿方向以每秒2个单位的速度从O点出发，经过多少时间后的面积等于的面积的一半？(3)在（2）的条件下，若现在P、Q点同时出发，当Q点从A点出发，沿方向每秒3个单位的速度移动，问经过多少时间后的面积等于直角梯形的面积的？【答案】(1)，96；(2)4秒；(3)2秒或秒．【分析】（1）根据已知中线段的长度即可直接求得A、B、C的坐标，利用梯形的面积公式求得梯形面积公式；（2）设x秒后的面积等于的面积的一半，利用三角形面积公式，即可列方程求得x的值；（3）设t后的面积等于直角梯形的面积的，再利用P，Q相遇前以及相遇后分别得出等式求出答案．【详解】（1）解：∵在直角梯形中，，，，，∴A的坐标是，B的坐标是，C的坐标是，直角梯形的面积是：；（2）如图（1）所示：设经过t秒后的面积等于的面积的一半，

，，解得：，∵P点沿方向以每秒2个单位的速度从O点出发，∴经过秒后的面积等于的面积的一半；（3）解：由（1）得直角梯形的面积为96，则的面积为：24，当P，Q相遇前如图（2），则，

则，解得：，当P，Q相遇后如图（3），则，

则，解得：，综上所述：经过2秒或秒后的面积等于直角梯形的面积的．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用以及三角形的面积以及直角梯形的面积的综合应用，正确分类讨论是解题关键．4．（2023上·广东深圳·八年级校考期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足．

(1)填空：________，________；(2)若在第三象限内有一点，用含的式子表示的面积；(3)在（2）的条件下，线段与轴相交于点，当时，点是轴上的动点，当满足的面积是的面积的5倍时，求点的坐标．【答案】(1)；3(2)(3)或【分析】（1）根据非负数的性质即可求出a、b的值；（2）过点M作轴于点N，可得，再根据三角形的面积，即可求解；（3）先根据（2）的结论，设点P的坐标为，然后根据，列出方程求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，解得：；故答案为：；3（2）解：由（1）得：，，∴，如图，过点M作轴于点N，

∵在第三象限内有一点，∴，∴；（3）解：当时，，∵的面积是的面积的5倍∴，设点P的坐标为，∵点，∴，∴，∴，解得：或，即点的坐标或．【点睛】本题考查了非负数的性质、坐标与图形，正确得出相应点的坐标、灵活应用数形结合思想是解题的关键．【考点三平面直角坐标系中点运动规律探究问题】例题：（2023上·广东揭阳·八年级统考期末）如图；一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点按这样的运动规律，经过第2023次运动后，小蚂蚁的坐标是．【答案】【分析】本题主要考查点的运动规律，找到规律是解题的关键．根据每次对应的对标找到规律即可．【详解】解：由题意知，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，由此可见，小蚂蚁运动次，所在的位置的坐标是，下一次运动对应的坐标是，经过第次运动后，小蚂蚁的坐标是，故经过第2023次运动后，小蚂蚁的坐标是．故答案为：．【变式训练】1.（2024下·全国·七年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，．一只蚂蚁从点处出发，并按的规律在四边形的边上以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为．若，则这只蚂蚁所在位置的点的坐标为．【答案】【解析】略2．（2023上·安徽六安·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动1个单位长度.其行走路线如图所示．

(1)填写下列各点的坐标：（_____，_____），（_____，_____），（_____，_____）；(2)写出点的坐标；(3)指出蚂蚁从点到点的移动方向．【答案】(1)2，0；5，1；7，0(2)(3)蚂蚁从点到点的移动方向是向下【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律问题，熟练掌握平面直角坐标系中坐标的特征是解题的关键．（1）观察图形可知，，，都在轴上，求出，，的长度，然后写出坐标即可；（2）根据题意可得规律观察可知，每四次运动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为1，1，0，0，依次出现，再由，可得的纵坐标为0，横坐标为。据此可得答案；（3）由可知从点到点的移动方向与从点到点的移动方向一致，据此可得答案．【详解】（1）解：根据题意可得，，都在轴上∵小蚂蚁每次移动1个单位，∴，，，，∴，，，故答案为：2，0；5，1；7，0（2）解：观察可知，每四次运动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为1，1，0，0，依次出现，∵，∴的纵坐标为0，横坐标为，∴（3）解：∵，∴从点到点的移动方向与从点到点的移动方向一致，为向下．3．（2023上·安徽亳州·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，，，都是等边三角形，都是等腰直角三角形．(1)直接写出下列点的坐标：①：______；②：______；③：______；④：______．(2)是正整数，用含的代数式表示下列坐标：①的横坐标为：______；②的坐标为______．(3)若，点从点出发，沿着点运动，到点时运动停止，则点运动的路程为______．【答案】(1)①；②；③；④(2)①；②(3)【分析】本题考查图形与坐标，涉及点的坐标规律、等腰三角形性质、等边三角形性质及勾股定理，数形结合，准确找到点的坐标特征是解决问题的关键．（1）由平面直角坐标系及所给的图形可找到规律，是正整数；，是自然数；，是自然数；代值求解即可得到答案；（2）由（1）中所得规律，结合题中要求即可得到答案；（3）由图形及题意，数形结合即可得到答案．【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，，，是正整数，，；，都是等边三角形，中，以轴上的边为底的高长为，，是自然数；都是等腰直角三角形，如图所示，，是自然数；，；故答案为：①；②；③；④；（2）解：由（1）中，是自然数；，是自然数；当是正整数时，；；故答案为：①；②；（3）解：由题意及前问解析可知，点在轴上，点从点出发，沿着点运动，到点时运动停止，点运动的路程为100段与100段的和，，点运动的路程为，故答案为：．4．（2023上·安徽合肥·八年级合肥市第四十八中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，即按这样的运动规律，完成下列任务：(1)点的坐标为，点的坐标为；点的坐标为；(2)在动点的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出之间满足的数量关系为，之间满足的数量关系为．【答案】(1)；(2)；【分析】(1)观察点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环，再运算求解；(2)根据(1)中的规律求解．【详解】（1）解：∵∴点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环，∵，，点的坐标为，，的坐标为，；∵，∴的纵坐标与的纵坐标一样，点的坐标为，，故答案为：，，，，，；（2）解：∵∴点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环，；，故答案为：．【考点四平面直角坐标系中图形变换规律探究问题】例题：（2024上·广东珠海·九年级统考期末）如图，矩形起始位置紧贴在坐标轴上，且坐标为，，将矩形绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转至图②位置，以此类推，这样连续旋转2022次．则顶点在旋转2023次后的坐标为．【答案】【分析】本题考查规律型：点的坐标、旋转，解题的关键是每旋转次为一个循环，点回到轴上，横坐标增加，根据可知，顶点在旋转次后的横坐标为，纵坐标为．【详解】由题意得，旋转第次至图①位置，点的坐标为，旋转第次至图②位置，点的坐标为，旋转第次至图③位置，点的坐标为，旋转第次,点的坐标为,即每旋转次为一个循环，点回到轴上，横坐标增加，，∴顶点在旋转次后的横坐标为纵坐标为，∴顶点在旋转次后的坐标为．故答案为:．【变式训练】1．（2023上·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，将沿轴向右滚动到的位置，再到的位置……依次进行下去，若已知点，，则点的坐标为．

【答案】【分析】本题考查了点的坐标的规律，找到点的坐标的变化规律是解题的关键．根据三角形的滚动，可得出：每滚动3次为一个周期，点在第一象限，点在x轴上，然后寻找规律，即可完成解答．【详解】解：，，，由图像可知点在第一象限，点横坐标为，纵坐标为3，点在x轴上，∴点在第一象限，的坐标为，的坐标为，即，的坐标为，即，的坐标为即的坐标为．故答案为：．2．（2024上·河北张家口·八年级统考期末）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2023次，点P依次落在点，，，，…，的位置，则：（1）的横坐标；（2）的横坐标．【答案】52022【分析】本题主要考查点的坐标规律，观察图形和各点坐标可知：翻转过程中4次为一个循环，P到横坐标刚好加4，P到，，处横坐标加3，P到，处横坐标加2，按照此规律，求解即可．【详解】（1）观察图形和各点坐标可知：翻转过程中4次为一个循环，P到横坐标刚好加4，P到，，处横坐标加3，P到，处横坐标加2，∴的横坐标是横坐标加2，∴的横坐标，故答案为：；（2），∴是过个循环得到的∴的横坐标，故答案为：．【考点五平面直角坐标系中新定义规律探究问题】例题：（2023下·湖北·七年级统考期末）定义：在平面直角坐标系中，将点变换为（k、b为常数），我们把这种变换称为“T变换”．已知点，，经过“T变换”的对应点分别是、F、G．若轴，且点G落在x轴上，则三角形的面积为．【答案】/0.5【分析】先根据经过“T变换”的对应点是，求出的值，进而表示出的坐标，根据，得到的纵坐标相同，点落在轴上，得到点的纵坐标为0，求出的值，再进行求解即可．【详解】解：∵点经过“T变换”的对应点是，∴，解得：，∴，经过“T变换”的对应点为，即：，∵，点落在轴上，∴，解得：，∴，，，

∴，∴三角形的面积为；故答案为：．【点睛】本题考查坐标与图形．解题的关键是理解并掌握“T变换”，以及平行于坐标轴的直线上的点的特点和坐标轴上点的特点．【变式训练】1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第一一三中学校校考阶段练习）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中k为常数，且），则称点P为点的“k属派生点”．例如：的“2属派生点”为，即．(1)直接写出点的“2属派生点”的坐标_________．(2)若点P的“3属派生点”的坐标为，请求出点P的坐标．【答案】(1)(2)【分析】本题考查坐标规律，二元一次方程组的应用；（1）根据“2属派生点”定义计算即可；（2）设点，根据“3属派生点”定义列方程求解即可．【详解】（1）点的“2属派生点”为，即，故答案为：；（2）设点，则点P的“3属派生点”的坐标为，∴，解得，∴．2．（2023上·江西抚州·八年级江西省抚州市第一中学校考期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为（其中为常数且），则称点是点的“级关联点”．例如：点的“级关联点”的坐标为，即．(1)点的“级关联点”的坐标为______；(2)若点的“级关联点”坐标为，求的值；(3)若点的“级关联点”位于坐标轴上，求点的坐标．【答案】(1)(2)(3)点的坐标为或【分析】本题主要考查坐标变换，理解“级关联点”的含义和计算方法，掌握点的坐标规律，解一元一次方程的方法是解题的关键．（1）根据“级关联点”的计算方法列式即可求解；（2）根据“级关联点”的计算方法列式即可求解；（3）根据“级关联点”的计算，求出点的坐标表示，再根据点在坐标轴上的特点即可求解．【详解】（1）解：根据题意可得，，，∴点的“级关联点”的坐标为，故答案为：．（2）解：根据题意可得，，∴．（3）解：根据点的“级关联点”得，横坐标为：，纵坐标为：，∴点的坐标为，∵位于坐标轴上，∴当点在轴上时，，解得，，∴；当点在轴上时，，解得，，∴；综上所述，点的坐标为或．3．（2022下·福建厦门·七年级校考期中）当点的坐标满足时，称点为“倒立点”．(1)判断点______“倒立点”；点______“倒立点”；(填“是”或者“不是”)(2)如果点是倒立点，那么点是倒立点吗？请说明理由．(3)已知点是倒立点，，轴，且，求点的坐标．【答案】(1)不是，是(2)点是倒立点，理由见解析(3)【分析】（1）根据新定义，进行判断，即可求解；（2）根据新定义可得，即可求解；（3）先求得的值，进而根据新定义，进行取舍，即可求解．【详解】（1）解：∵，∴点不是“倒立点”；∵点，，∴点是“倒立点”；故答案为：不是，是．（2）解：点是倒立点，理由如下，∵点是倒立点，∴即∴点是倒立