湘教版八年级数学上册压轴题攻略专题09解题技巧专题：利用等腰三角形的‘三线合一’作辅助线及构造等腰三角形压轴题六种模型全攻略(原卷版+解析)

专题09解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线及构造等腰三角形压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】 1【类型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】 5【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 9【类型四利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】 14【类型五过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】 21【类型六利用倍角关系构造新等腰三角形】 26【典型例题】【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】例题：已知，在中，，，点是的中点，作，使得射线与射线分别交射线，于点，．(1)如图1，当点在线段上时，线段与线段的数量关系是___________；(2)如图2，当点在线段的延长线上时，用等式表示线段，和之间的数量关系并加以证明．【变式训练】1．在中，，，点O为的中点．(1)若，两边分别交于E，F两点．①如图1，当点E，F分别在边和上时，求证：；②如图2，当点E，F分别在和的延长线上时，连接，若，则．(2)如图3，若，两边分别交边于E，交的延长线于F，连接，若，试求的长．【类型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】例题：如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．(1)求证：BD＝CE；(2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数．【变式训练】1．已知在中，，且=．作，使得．(1)如图1，若与互余，则=__________(用含的代数式表示)；(2)如图2，若与互补，过点作于点，求证：；(3)若由与的面积相等，则与满足什么关系？请直接写出你的结论数．【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】例题：如图所示，D为内一点，平分，，，若，，求：线段的长．

【变式训练】1．（2022春·河北石家庄·八年级校考期中）(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据证明，则，（即点C为的中点）．(2)【类比解答】如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得．(3)【拓展延伸】如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论．(4)【实际应用】如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案．【类型四利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】例题：（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，在中，，平分交于点，过点作交的延长线于点．

(1)若，求的度数；(2)若是上的一点，且，判断与的数量关系，并说明理由．【变式训练】1．（2022秋·广东潮州·八年级统考期末）已知，如图中，、的平分线相交于点，过点作交、于、．

(1)如图1若，图中有________个等腰三角形，且与、的数量关系是________．(2)如图2若，其他条件不变，（1）问中与、间的关系还成立吗？请说明理由．(3)如图3在中，若，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．请直接写出与、间的数量关系是．2．（2022春·黑龙江牡丹江·八年级统考期中）在中，点，点在直线上，，过点作，交射线于点，过点作，交直线于点．(1)当是的角平分线，点在边延长线上时，如图①，求证：；（提示：延长，相交于点．）(2)当是的角平分线，点在边上时，如图②；当是外角的角平分线，点在边延长线上时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明；(3)在（1）、（2）的条件下，若，则_____________．【类型五过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】例题：（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知：等边中．(1)如图1，点M是BC的中点，点N在AB边上，满足，求的值；(2)如图2，点M在AB边上（M为非中点，不与A，B重合），点N在CB的延长线上且，求证：．(3)如图3，点P为AC边的中点，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，满足，求的值．【变式训练】1．（2022春·辽宁大连·八年级期末）是等边三角形，点是上一点，点在的延长线上，且．(1)如图1，当点是的中点时，求证：；(2)如图2，当点是上任意一点时，取的中点，连接．求的度数【类型六利用倍角关系构造新等腰三角形】例题：（2022秋·黑龙江大庆·八年级大庆市第六十九中学校考期中）如图，在中，，的平分线交于点D．求证：．

【变式训练】1．（2022春·浙江·八年级专题练习）在中，，(1)如图①，当，为的角平分线时，在上截取，连接，易证．请证明；(2)①如图②，当，为的角平分线时，线段又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不要求证明；②如图③，当，为的外角平分线时，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．

专题09解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线及构造等腰三角形压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】 1【类型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】 5【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 9【类型四利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】 14【类型五过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】 21【类型六利用倍角关系构造新等腰三角形】 26【典型例题】【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】例题：已知，在中，，，点是的中点，作，使得射线与射线分别交射线，于点，．(1)如图1，当点在线段上时，线段与线段的数量关系是___________；(2)如图2，当点在线段的延长线上时，用等式表示线段，和之间的数量关系并加以证明．【答案】(1)；(2)，理由见解析．【分析】（1）连接，由等腰直角三角形的性质可得，，根据可推导，进而证明，即可得到线段与线段的数量关系；（2）连接，利用（1）中的证明思路，再次证明，证得，即可利用等量代换得到．【详解】（1）解：连接，∵，，点是的中点∴，且，平分，∴，，又∵∴∴∴（ASA）∴．（2），理由如下：连接，由（1）可知：，，∴在和中，∴（ASA）∴∵∴．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解决问题的关键．【变式训练】1．在中，，，点O为的中点．(1)若，两边分别交于E，F两点．①如图1，当点E，F分别在边和上时，求证：；②如图2，当点E，F分别在和的延长线上时，连接，若，则．(2)如图3，若，两边分别交边于E，交的延长线于F，连接，若，试求的长．【答案】(1)①见解析；②18(2)2【分析】（1）①由“”可证，可得；②由“”可证，可得，即可求解；（2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解．【详解】（1）①证明：如图1，连接，∵，，∴.∵点O为的中点，∴，∴和是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴；②解：如图2，连接，同理可证：，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：18；（2）解：如图3，连接，过点O作，交的延长线于点H，∵，，点O为的中点，∴，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．【类型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】例题：如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．(1)求证：BD＝CE；(2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数．【答案】(1)见解析；(2)90°．【分析】（1）作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF=CF，DF=EF，相减后即可得到正确的结论．（2）根据等边三角形的判定得到△ADE是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．【详解】（1）证明：如图，过点A作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AD＝AE．∴BF＝CF，DF＝EF，∴BD＝CE．（2）解：∵AD＝DE＝AE，∴△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝∠ADE＝60°．∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA．∴∠DAB∠ADE＝30°．∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质是本题的关键．【变式训练】1．已知在中，，且=．作，使得．(1)如图1，若与互余，则=__________(用含的代数式表示)；(2)如图2，若与互补，过点作于点，求证：；(3)若由与的面积相等，则与满足什么关系？请直接写出你的结论数．【答案】(1)；(2)见解析；(3)与相等或互补【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等得，根据与互余得，由即可求出的度数；（2）作根据AAS证明≌,则，由等腰三角形三线合一可得，因此，问题得证；（3）由与的面积相等得高相等.情况①：作于,于,根据可得≌，则可得=；情况②:是钝角三角形，作于，作垂直于的延长线于，根据可得≌，则可得，由于与互补，因此与互补．【详解】（1）解：中，，且=,

．（2）如图，过点作于E点，中，，，，中，，，,=，

．在和中，,,，∴≌，

∴，

∴．（3）①如图，作于，于，∵与的面积相等，∴，又∵,∴≌(HL)∴即=

②如图，作于，作垂直于的延长线于．则．∵，，∴，∵与的面积相等，∴．∴≌．∴．，∴，综上，与相等或互补．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同底等高的两个三角形面积相等，综合能力较强，有一定难度.熟练掌握以上知识是解题的关键．【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】例题：如图所示，D为内一点，平分，，，若，，求：线段的长．

【答案】5【分析】延长交于点E，由题意可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形，可推出，，根据，，即可求出的长度．【详解】解∶延长交于点E，

，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．【变式训练】1．（2022春·河北石家庄·八年级校考期中）(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据证明，则，（即点C为的中点）．(2)【类比解答】如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得．(3)【拓展延伸】如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论．(4)【实际应用】如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案．【答案】(1)(2)(3)，证明见解析(4)的面积是【分析】（1）证（），得，即可；（2）延长交于点F，由问题情境可知，，再由等腰三角形的性质得，然后由三角形的外角性质即可得出结论；（3）拓展延伸延长、交于点F，证（），得，再由问题情境可知，，即可得出结论；（4）实际应用延长交于E，由问题情境可知，，，则，再由三角形面积关系得，即可得出结论．【详解】（1）解：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴（），∴，，故答案为：；（2）解：如图2，延长交于点F，由可知，，∴，∵，∴，故答案为：；（3）解：，证明如下：如图3，延长、交于点F，则，∵，∴，∵，∴，又∵，∴（），∴，由问题情境可知，，∴；（4）解：如图4，延长交于E，由问题情境可知，，，∴，∵，∴，∴，答：的面积是．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．【类型四利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】例题：（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，在中，，平分交于点，过点作交的延长线于点．

(1)若，求的度数；(2)若是上的一点，且，判断与的数量关系，并说明理由．【答案】(1)(2)，见解析【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等，已知顶角，可以求出底角，再根据角平分线的定义求出，最后根据两直线平行，内错角相等求出；（2）先证明，再得出，，根据证明，根据全等三角形的对应边相等得出结论．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵∴；（2）解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形全等，考核学生的推理能力，证明三角形全等是解题的关键．【变式训练】1．（2022秋·广东潮州·八年级统考期末）已知，如图中，、的平分线相交于点，过点作交、于、．

(1)如图1若，图中有________个等腰三角形，且与、的数量关系是________．(2)如图2若，其他条件不变，（1）问中与、间的关系还成立吗？请说明理由．(3)如图3在中，若，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．请直接写出与、间的数量关系是．【答案】(1)；(2)成立；理由见解析(3)【分析】（1）根据，、的平分线相交于点，可得，，，，再加上题目中给出的，可得出等腰三角形的个数；根据等腰三角形的性质，即可得出与、之间的关系；（2）证明和是等腰三角形，利用等腰三角形的性质即可得出与、的关系；（3）证明和是等腰三角形，利用等腰三角形的性质即可得出与、的关系．【详解】（1）解：∵，∴，，∵、的平分线相交于点，∴，，∴，，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，，∴等腰三角形有：，，，，，共个，与、的数量关系是：，故答案为：；．（2）与、的数量关系是：．理由如下：∵平分，平分，∴，，∵，∴，，∴，，∴，，∴．（3）与、间的数量关系是：．理由如下：∵，∴，，又∵，分别是与的角平分线，∴，，∴，，∴，，∴．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质．线段间的等量代换是解题的关键．2．（2022春·黑龙江牡丹江·八年级统考期中）在中，点，点在直线上，，过点作，交射线于点，过点作，交直线于点．(1)当是的角平分线，点在边延长线上时，如图①，求证：；（提示：延长，相交于点．）(2)当是的角平分线，点在边上时，如图②；当是外角的角平分线，点在边延长线上时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明；(3)在（1）、（2）的条件下，若，则_____________．【答案】(1)见解析(2)图②，；图③，；(3)2或14【分析】（1）延长、相交与点G，先证明，再证明，得到，即可得到结论；（2）如图②，设与相交于于点P，先证，再证，得到，即可得到结论；如图③，延长交于点H，先证明，再证，，即可得到结论；（3）根据（1）（2）中的结论，结合图形，分三种情况讨论求解即可．【详解】（1）证明：如图①，延长、相交与点G，∵是的角平分线，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，即；（2）如图②，设与相交于于点P，∵是的角平分线，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，即；如图③，延长交于点H，∵是外角的角平分线，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，即；（3）如图①，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴,∴，∴；如图2，∵不成立，此种情况不存在；如图③，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：2或14【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．【类型五过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】例题：（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知：等边中．(1)如图1，点M是BC的中点，点N在AB边上，满足，求的值；(2)如图2，点M在AB边上（M为非中点，不与A，B重合），点N在CB的延长线上且，求证：．(3)如图3，点P为AC边的中点，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，满足，求的值．【答案】(1)3(2)见解析(3)【分析】（1）由等边三角形的性质及直角三角形的性质可得出，设,则,可求出答案；（2）如图2，过点M作交AC于点G，根据可证明，得出，则结论得证；（3）如图3，过点P作交于点M，根据可证明，得出，得出，则答案可求出．【详解】（1）∵为等边三角形，∴，，∵点M是BC的中点，∴，，∵，∴，∴，，设，则，，∴，∴．（2）如图2，过点M作交AC于点G，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵为等边三角形，∴，∴．（3）如图3，过点P作交AB于点M，∴为等边三角形，∴，，∵P为AC的中点，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，又∵P为AC的中点，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质与判定、含30度角直角三角形的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形．【变式训练】1．（2022春·辽宁大连·八年级期末）是等边三角形，点是上一点，点在的延长线上，且．(1)如图1，当点是的中点时，求证：；(2)如图2，当点是上任意一点时，取的中点，连接．求的度数【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，再由“三线合一”的性质及角平分线得出，再由等角对等边即可证明；（2）延长至，使，连，根据全等三角形的判定得出，，再由其性质结合图形找出各角之间的关系即可得出结果．【详解】（1）证明：在等边中，，∴，∵是的中点，∴，平分，∵，∴，∴，，∴，∴．（2）如图所示，延长至，使，连，∵为的中点，∴，在和中，，∴，∴，，∴．∴，，，∴又∵，∴在和中，，∴，∴，∴．【点睛】题目主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定和性质，理解题意，结合图形，找准各角之间的关系是解题关键．【类型六利用倍角关系构造新等腰三角形】例题：（2022秋·黑龙江大庆·八年级大庆市第六十九中学校考期中）如图，在中，，的平分线交于点D．求