直线与椭圆位置关系导学案 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

直线与椭圆的位置关系一知识梳理1.椭圆与直线的位置关系有________、__________、_______.设直线l：AX+By+C=0（A2+B2≠0），AX+By+C=0联立消去y得到关于x的_______________方程：m（1）Δ>0⇔________________（2）Δ=0⇔________________（3）Δ<0⇔注：（1）对已知过定点Px0,y0的直线，写直线方程时要注意__________是否存在(2)若斜率为k，方程设为_______________.(3)若过y轴上一点且_________可设方程为：______________2.直线与椭圆相交弦长公式：AB或AB=3中点弦问题一般使用点差法。具体步骤如下：第一步：设两个交点的坐标为Ax1第二步：将A,B的坐标分别代入椭圆的方程第三步：将两式作差第四步：化简得直线AB的斜率第五步：利用直线的点斜式方程写出中点弦所在直线的方程具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，②))由①－②，得eq\f(1,a2)(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＋eq\f(1,b2)(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，变形得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)，即kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0).结论在椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0），弦AB的中点为P，直线AB斜率为k二例题讲解题型一：直线与椭圆的位置关系的判断例1学习指导78例1练习当m满足什么条件时，直线l：y=x+m与椭圆9例2在平面直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）设直线与C交于A，B两点．k为何值时？练习1.直线l：x=ky+1与椭圆x242.若直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4无交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的交点个数为_________________题型二椭圆上的点到直线距离的最大最小值例1.设P为椭圆9x2+16y2练习求椭圆上的动点到直线的距离的最大值与最小值题型三弦长问题例1已知直线l：2x+3y−6=0，椭圆C（1）判断l与椭圆C位置关系（2）求弦长AB练习：已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点F，与椭圆相交于A,B两点，则弦AB的长为。例2学习指导79页左边对点练清练习过椭圆3x2+4y2=48的左焦点作直线l与椭圆交于A,B两点例3学习指导78页例2练习斜率为1的直线l与椭圆x24+y2=1相交于A,B两点,求题型四中点弦的问题例1学习指导79页典例3练习1：已知椭圆x236+y29=1的弦的中点为P(4,2)，椭圆x212+y24=1内一点(2，练习2已知椭圆x22+y2=1,设直线y=2x+b与椭圆交于A,B两点题型五面积问题例1已知椭圆的左右焦点分别为，，若过点及的直线交椭圆于，两点，求的面积．练习过椭圆的右焦点做一条斜率为2的直线，交椭圆于A、B两点，求(为左焦点)的面积例2已知椭圆的离心率为，且经过点（1）求椭圆的标准方程；（2）过点P（0,2）的直线交椭圆于A，B两点，求面积的最大值。题型六：定点、定值问题例1、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的最大值为3，最小值为1。（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于A,B两点，（A,B不是左，右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆的右顶