电子技术基础项目化教程课件 项目六 逻辑代数与逻辑门电路6.2.4 逻辑函数的化简

6.2相关知识总目录下页6.2.4逻辑函数的化简下页上页首页6.2.4逻辑函数的化简

1.逻辑函数化简的意义及其最简形式逻辑函数的化简是分析和设计数字系统的重要步骤。化简的目的是利用上述公式、规则和图形通过等价逻辑变换，使逻辑函数式成为最简式，从而使用最少的元器件实现设计的数字电路的逻辑功能。不同的条件下，化简得到的结果有不同的形式。可以是最简与或式、或与式、与或非式、与非—与非式、或非－或非式等，但它们的逻辑功能是相同的。最常用的是最简与或式和或与式。

下页上页首页

最简式的标准是指表达式中项数最少，而且每项内变量的个数也是最少。有了与或式可以通过变换，得到其他所需形式的表达式。

下页上页首页例如：

与或式或与式

与非-与非式或非-或非式与或非式

由以上五种表达式可见，与或式最简单，实现起来所用元器件最少。

下页上页首页2.逻辑函数的公式化简法公式化简是利用逻辑函数的基本公式、定律、常用公式化简函数，消去函数式中多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子，使之成为最简“与或”式。公式化简过程中常用以下几种方法。

（1）吸收法利用公式：A+AB=A

（消去多余的乘积项AB）

例6-10Y=AB+ABCD

=AB(1+CD)

=AB下页上页首页（2）并项法利用公式：（将两项合并为一项，消去一个变量）

例6-11下页上页首页（3）消去冗余项法利用公式：（将冗余项BC消去）例6-12（消去冗余项BC）下页上页首页（4）配项法利用公式：（某项乘以等于1的项配上所缺的因子）利用公式：（为使某项能合并）利用公式：（添加等于0的项便于合并）例6-13下页上页首页例6-14化简函数时，应将上述公式综合灵活应用，以得到较好的结果。这不仅要熟悉公式、定理，还要有一定的运算技巧，而且难予判断所得结果是否为最简式。因而在化简复杂函数时，更多地采用图形法化简。下页上页首页例题：化简公式法化简应用：解：下页上页首页例题：化简公式法化简应用：解：下页上页首页例题：化简公式法化简应用：解：下页上页首页3.逻辑函数的卡诺图化简法卡诺图化简法是将逻辑函数用卡诺图表示。在图上进行函数化简，它既简便，又直观地得到最简函数式，是逻辑函数常用的化简方法。

下页上页首页（1）逻辑函数的最小项逻辑函数的最小项的定义：在n个变量组成的乘积项中，若每个变量都以原变量或反变量的形式作为一个因子出现一次，那么该乘积项称为n变量的一个最小项。根据最小项的定义，二变量A、B的最小项：、、

、。三变量的最小项：、、、、、

、、。n个变量的最小项有2n个下页上页首页

为了便于书写，通常用mi对最小项编号。如把某最小项中原变量记为1，反变量记0，该最小项按确定的顺序排列成一个二进制数，则与该二进制数对应的十进制数就是下标i的值。如三变量最小项的取值组合为011，对应的十进制数为3，则该项的编号为m3。按此原则，三变量的全部八个最小项的编号分别为m0、m1、m2、m3、m4、m5、m6、m7。表6-9所示为三变量A、B、C不同取值组合时的全部最小项真值表。

表6-9三变量A、B、C不同取值组合时的全部最小项真值表下页上页首页从表6-9中可得到最小项的三个重要性质：（1）任何一组变量取值下，只有一个最小项的对应值为1，其它最小项的值均为0。（2）任何两个不同的最小项的乘积为0。（3）任何一组变量取值下，全部最小项的和为1。

下页上页首页（2）逻辑函数最小项表达式

任何一个逻辑函数都可以表示为一组最小项的和的形式，称为最小项表达式或标准与或式。如果函数式中某些项不是最小项形式，可以化成最小项。方法是在不是最小项形式的乘积项中乘以（），补齐所缺因子，便可以得到最小项表达式，因而任何一个n变量的逻辑函数都有一个且仅有一个最小项表达式。下页上页首页例6-15将逻辑函数化成最小项表达式

解:下页上页首页

（3）逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法也称为图形化简法，它是将逻辑函数用卡诺图表示，并在图上进行化简的方法。1）卡诺图的构成卡诺图是由美国工程师卡诺（Karnaugh）设计的，故称为卡诺图。它是最小项的方格图，每个小方格中填入一个最小项。n个变量的卡诺图有2n个小方格组成矩形或正方形，图中横方向和纵方向的变量取值按照逻辑相邻性排列，具有几何对称的最小项也具有相邻性，这是构成卡诺图的关键。

下页上页首页

所谓逻辑相邻性是指：由n个变量组成的2n个最小项中，如果两个最小项仅有一个因子不同，其余因子均相同，则称这两个最小项为逻辑相邻项。如

和

、

和

等。图6-10（a）、（b）、（c）、（d）分别为二变量、三变量、四变量、五变量卡诺图。

二变量卡诺图三变量卡诺图五变量卡诺图四变量卡诺图五变量另一种卡诺图2）逻辑函数的卡诺图用卡诺图表示逻辑函数，通常有三种情况：①直接给出逻辑函数真值表：在卡诺图中对应于变量取值组合的每个小方格内，根据真值表中的函数值直接填入，是1的填1，是0的填0或不填。②给出逻辑函数的最小项表达式：在对应于函数最小项的每个小方格中直接填1，其它给定函数中不包含的最小项方格中填0或不填。③给出的不是最小项表达式：首先将函数变换成最小项表达式(或者变换成与或式)，在卡诺图中对应的最小项方格中填入1（或把每个乘积项包含的最小项处都填入1），剩下的填0或不填。下页上页首页例6-16用卡诺图表示下列逻辑函数

解：下页上页首页3）逻辑函数的卡诺图化简法利用卡诺图能够直观地将逻辑相邻项中不同的因子，利用公式+=1，，将其合并，消去不同因子，保留公因子，从而化简函数。①将卡诺图中两个填入1的相邻最小项合并为一项，消去一个变量，见图6-12所示。图6-12②将卡诺图中四个填入1的相邻最小项合并为一项，消去两个变量，见图6-13所示。

图6-13③将卡诺图中八个填入1的相邻最小项合并为一项，消去三个变量，见图6-14所示。

图6-14下页上页首页可见2i个相邻最小项合并可以消去i个变量。综合以上方法，用卡诺图化简逻辑函数步骤如下：①画卡诺图：根据函数中变量的个数，画出对应的函数卡诺图。②填最小项值：将函数中包含的变量取值组合填入相应的最小项方格中。③画圈合并最小项：按照逻辑相邻性将可以合并的最小项圈起来消去不同因子。④写逻辑函数式：由画圈合并后的结果写出逻辑函数表达式，每个圈是一个乘积项。

下页上页首页利用逻辑函数卡诺图合并最小项应注意几个问题：①圈越大越好，圈中包含的最小项越多消去的变量越多。②必须按2i个最小项画圈。③每个圈中至少包含一个新的最小项。④必须把组成函数的所有最小项圈完。

下页上页首页4.具有约束项的逻辑函数的化简（1）约束项与约束条件

1)约束项以上所讨论的逻辑函数，对于自变量的各种取值，都有一个确定的函数值0或1与之对应，而在实际的数字系统中，往往出现输入变量的某些取值组合，与输出函数无关，电路正常工作时它们不可能出现。这些不会出现的变量取值组合所对应的最小项称为约束项。而在另一些逻辑函数中，某些变量取值可以是任意的，既可以是1，也可以是0。具体取何值，应根据使函数尽量便于化简来确定，这样的最小项称为任意项。下页上页首页约束项和任意项统称为无关项，在函数中的取值可以取0，也可以取1。这个特殊的函数值在卡诺图上通常用或×来表示，填入相应的方格中。2)约束条件把所有约束项加起来构成的最小项表达式，成为约束条件。通常用等于0的条件等式表示，即。相当于约束项的加入不改变原最小项表达式所描述的逻辑功能。下页上页首页（2）利用约束项化简逻辑函数