高中数学湘教版（2019）选择性必修第一册 3.2.1　双曲线的标准方程

3.2.1双曲线的标准方程新课程标准解读核心素养1.了解双曲线的实际背景,感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用数学抽象2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程数学抽象、直观想象知识梳理·读教材01题型突破·析典例02思维进阶·拓视野03目录CONTENTS知能演练·扣课标0401知识梳理·读教材⁠

如图,取一条拉链,打开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点F1,F2上,把笔尖放在拉链的拉手M处,随着拉链逐渐拉开或者闭拢,笔尖所经过的点就画出一条曲线,这条曲线就是双曲线的其中一支.问题

类比椭圆,你认为该情境中的曲线上的点应满足怎样的几何条件?

⁠知识点一

双曲线的定义平面上到两个定点F1,F2的距离之差的

绝对值⁠为正常数(小于｜F1F2｜)的点的轨迹叫作双曲线.

这两个定点F1,F2叫作双曲线的

焦点⁠,两个焦点之间的距离｜F1F2｜叫作双曲线的

焦距⁠.提醒

对双曲线定义中限制条件的理解:①当｜｜MF1｜-｜MF2｜｜＝2a＞｜F1F2｜时,M的轨迹不存在;②当｜｜MF1｜-｜MF2｜｜＝2a＝｜F1F2｜时,M的轨迹是分别以F1,F2为端点的两条射线;③当｜｜MF1｜-｜MF2｜｜＝0,即｜MF1｜＝｜MF2｜时,M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线;④若将定义中的绝对值去掉,其余条件不变,则动点的轨迹为双曲线的一支.绝对值焦点焦距知识点二

双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程图形⁠⁠焦点坐标

F1(-c,0),F2(c,0)

F1(0,-c),F2(0,c)

⁠a,b,c的关系c2＝

a2＋b2

⁠

F1(-c,0),F2(c,0)

F1(0,-c),F2(0,c)

a2＋b2

提醒

焦点跟着正项走,即若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,则焦点在y轴上.⁠

解析:由双曲线方程,得a＝3,b＝4,c＝5.当点P在双曲线的左支上时,由双曲线定义,得｜PF2｜-｜PF1｜＝6,所以｜PF2｜＝｜PF1｜＋6＝10＋6＝16;当点P在双曲线的右支上时,由双曲线定义,得｜PF1｜-｜PF2｜＝6,所以｜PF2｜＝｜PF1｜-6＝10-6＝4.故｜PF2｜＝4或｜PF2｜＝16.答案:4或16

答案:(-5,0),(5,0)3.双曲线的两焦点坐标是F1(0,3),F2(0,-3),b＝2,则双曲线的标准方程是

⁠.

02题型突破·析典例⁠题型一双曲线标准方程的认识

A.k＞5B.k＞5或-2＜k＜2C.k＞2或k＜-2D.-2＜k＜2

答案

B

⁠

B.5C.7

2.在方程mx2-my2＝n中,若mn＜0,则方程所表示的曲线是(

)A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的双曲线D.焦点在y轴上的椭圆

题型二求双曲线的标准方程【例2】

求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)a＝3,c＝4;

(2)焦点为(0,-6),(0,6),经过点A(-5,6).

⁠

根据下列条件,求双曲线的标准方程:

题型三双曲线定义的应用

(1)若双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16,求点P到另一个焦点的距离;

(2)若P是双曲线左支上的点,且｜PF1｜·｜PF2｜＝32,试求△F1PF2的面积.

⁠1.(变条件)若本例条件“｜PF1｜·｜PF2｜＝32”改成“｜PF1｜∶｜PF2｜＝2∶5”其他条件不变,求△F1PF2的面积.

2.(变条件)若本例中双曲线的标准方程不变,若双曲线上存在一点P使得∠F1PF2＝60°,求△F1PF2的面积.

通性通法

在解决双曲线中与焦点有关的问题时,要注意定义中的条件｜｜PF1｜-｜PF2｜｜＝2a的应用;与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等.另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用.⁠

答案:1或903思维进阶·拓视野⁠椭圆、双曲线特性归纳及应用

⁠

结论:已知点A(a,0),B(-a,0),过A点的直线l1与过B点的直线l2相交于一点M,设直线l1的斜率为k1,直线l2的斜率为k2.

⁠

(1)求椭圆和双曲线的标准方程;

(2)证明k1·k2＝1.

⁠

A.椭圆B.双曲线C.两条射线D.双曲线的一支

A.-2＜m＜2B.m＞0C.m≥0D.｜m｜≥2解析:A

∵已知方程表示双曲线,∴(2＋m)(2-m)＞0.∴-2＜m＜2.

A.1B.1或-2

4.已知双曲线的焦点分别为F1(0,-3),F2(0,3),P是双曲线上一点且｜｜PF1｜-｜PF2｜｜＝4,则双曲线的标准方程为

⁠.

04知能演练·扣课标⁠1.已知平面上定点F1,F2及动点M,命题甲:｜｜MF1｜-｜MF2｜｜＝2a(a为常数),命题乙:点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线,则甲是乙的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:B

根据双曲线的定义,乙⇒甲,但甲⇒/

乙,只有当2a＜｜F1F2｜且a≠0时,动点M的轨迹是双曲线.

A.22或2B.7C.22D.2解析:A

∵a2＝25,∴a＝5.设点为P,双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,由双曲线定义可得｜｜PF1｜-｜PF2｜｜＝10.由题意设｜PF1｜＝12,则｜PF1｜-｜PF2｜＝±10,解得｜PF2｜＝22或2.

A.2a＋2mB.4a＋2mC.a＋mD.2a＋4m解析:B

由双曲线的定义,知｜AF1｜-｜AF2｜＝2a,｜BF1｜-｜BF2｜＝2a.又｜AF2｜＋｜BF2｜＝｜AB｜,所以△ABF1的周长为｜AF1｜＋｜BF1｜＋｜AB｜＝4a＋2｜AB｜＝4a＋2m.

A.当1＜t＜4时,曲线C表示椭圆B.当t＞4或t＜1时,

曲线C表示双曲线D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线,则t＞4

答案:10

8.如图所示,已知双曲线以长方形ABCD的顶点A,B为左、右焦点,且双曲线过C,D两顶点.若｜AB｜＝4,｜BC｜＝3,则此双曲线的标准方程为

⁠.

9.求适合下列条件的双曲线的标准方程:

10.已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点.(1)求双曲线的标准方程;

⁠

A.2B.3C.4D.6

答案:10

注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.

⁠

A.相交B.相切C.相离D.以上情况都有可能解析:B

设以线段PF1,A1A2为直径的两圆的半径分别为r1,r2,双曲线的右焦点为F2.若P在双曲线左支,如图所示,

证明:在△PF1F2中,∠F1PF