数学学案：例题与探究空间直角坐标系空间两点的距离公式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精典题精讲例1点P(-3,2,—1）关于平面xOy的对称点是________________;关于平面yOz的对称点是________________；关于平面zOx的对称点是________________;关于x轴的对称点是________________;关于y轴的对称点是________________;关于z轴的对称点是________________；关于原点的对称点是________________.思路解析:注意到点的对称方式,看清楚三维坐标对称后的符号的变化。关于平面xOy的对称点横、纵坐标不变号,竖坐标变号；关于平面yOz的对称点纵、竖坐标不变号，横坐标变号;关于平面zOx的对称点横、竖坐标不变号，纵坐标变号;关于x轴的对称点横坐标不变号，纵、竖坐标变号;关于y轴的对称点纵坐标不变号，横、竖坐标变号；关于z轴的对称点竖坐标不变号，纵、横坐标变号；关于原点的对称点横、纵和竖坐标都变号。答案：(—3，2,1)（3,2，-1）（-3，—2，-1）(-3，—2,1）(3，2,1）(3,—2，—1)（3，—2，1)绿色通道：求对称点的坐标的规律是：关于谁对称，谁的坐标就不变号,其余的都要变号.变式训练1（2006东北三校一模，18)点P在x轴上，它到点P1（0，2，3）的距离是到点P2（0，1，-1)的距离的2倍，求点P的坐标。思路分析：本题给出了一个相等关系，即可以用方程的思想解决,即设出点P的坐标，然后将题意转化成方程进行解答。解：因为点P在x轴上，设P(x，0，0），|PP1｜=，|PP2｜=.∵｜PP1|=2｜PP2｜，∴。解得x=±1.故所求点的坐标为（1,0，0）或(-1，0，0）。例2建立球心为M0(x0，y0，z0），半径为R的球面方程.思路分析:根据到球心距离等于球半径列方程。在平面内到定点的距离等于定长的点的集合是圆,与之类似的是，在三维空间中,到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为球心、以定长为半径的球面.解：设M（x，y，z)是球面上的任意一点〔如图2-4-（1，2）—3〕，那么｜M0M即=R.两边同时平方，得所求的球面方程为（x-x0)2+（y-y0）2+（z-z0）2=R2.如果球心在原点，那么x0=y0=z0=0，这时球面的方程为x2+y2+z2=R2。图2-4—（1,2）-3绿色通道：空间两点间的距离公式是目前我们解决空间问题的唯一的工具。变式训练2证明以A（4，3，1）、B（7,1，2)、C(5，2,3)为顶点的△ABC是一等腰三角形。思路分析:根据两点间的距离公式分别求出线段AB、BC、AC的长，然后就可发现这三条线段中有两条长度相等，即可得证。解：由两点间距离公式得|AB|=，｜BC|=,｜CA｜=.由于|BC｜=|CA|=6，所以△ABC是一等腰三角形.问题探究问题根据“在直线坐标系中，研究点，在平面直角坐标系中,研究线（主要是直线和曲线）”，探究在空间直角坐标系中，到定点的距离等于定长的点的轨迹是什么，如何表示.导思：在直线坐标系中,研究点的方法是建立一元方程，即任意一个实数都对应数轴上的一点；在平面直角坐标系中，研究线的方法是建立二元方程，这个方程是不定方程，有无数组解，每一个解都对应平面上的一个点,这些点的集合构成线;因此,在空间直角坐标系中，研究的对象应该是面,研究面的方法应该是建立三元方程,当然三元方程也是不定方程,也有无数组解，每一个解对应空间中的一个点，这些点的集合构成面.探究：在平面直角坐标系中，到原点(0，0）的距离等于定长R的点的集合是以原点为圆心，以定长R为半径的圆.圆的方程可以这样得到：设到原点(0,0)的距离等于定长R的任意一点P的坐标为(x,y），则根据两点间距离公式有=R，即x2+y2=R2。那么在空间直角坐标系中，到原点O(0，0，0)的距离等于定长R的点的集合