数学学案：课堂探究平面直角坐标系中的基本公式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一数轴上的坐标运算(1）向量的数量（或坐标）与向量的长度是不同的量，向量的数量(或坐标)是在向量的长度前面加上向量的方向符号,它可能为正也可能为负，还可以为零．向量的数量（或坐标）的绝对值等于向量的长度．(2）向量的坐标用AB表示，BA表示向量的坐标,AB＝－BA,向量的长度记为｜｜，线段AB的长度记为|AB｜,且||＝|AB|＝｜x2－x1｜，AB＝x2－x1．数轴上任意三点A，B,C，都有关系式AC＝AB＋BC，但却不一定有｜|＝｜|＋｜｜,它与A，B,C三个点的相对位置有关．【典型例题1】（1）已知A，B，C是数轴上任意三点．①若AB＝5，CB＝3,求AC．②证明：AC＋CB＝AB．①解：因为AC＝AB＋BC，所以AC＝AB－CB＝5－3＝2．②证明：设数轴上A，B，C三点的坐标分别为xA,xB，xC,则AC＋CB＝（xC－xA)＋(xB－xC)＝xB－xA＝AB，所以AC＋CB＝AB．(2）已知数轴上两点A（a),B(5),分别求出满足下列条件时a的取值．①两点间距离为5．②两点间距离大于5．③两点间距离小于3．解:数轴上两点A，B之间的距离为｜AB|＝|5－a|．①根据题意得｜5－a｜＝5,解得a＝0或a＝10．②根据题意得|5－a|>5，即5－a〉5或5－a〈－5，故a〈0或a〉10．③根据题意得｜5－a｜<3，即－3〈5－a<3，故2<a〈8．探究二平面内两点间距离公式的应用（1）距离公式还可以变形为|AB｜2＝（x1－x2）2＋(y1－y2)2．（2）在涉及求平方和的最小值的问题时，可通过两点间距离公式的形式进行构造变形，利用动点到定点的最小距离求解．【典型例题2】已知点A（a,3),B（3,3a＋3）的距离为5，求a的值．思路分析：由两点的距离公式可以表示出|AB｜，而｜AB|＝5，可得关于a的方程,解方程即可求出a的值．解：因为x1＝a,y1＝3，x2＝3,y2＝3a＋3，所以|AB|＝＝＝5,即(a－3）2＋(3a）2＝25，展开得a2－6a＋9＋9a2＝25,所以10a2－6a－16＝0,即5a2－3a－8＝0，解之得a＝－1或a＝，因此a的值为－1或．探究三平面内中点坐标公式的应用对于平面内中点坐标公式需要从以下两方面来认识：①从公式上看，根据方程思想,可以知二求一，即只要知道公式两边的任意两个量，就可以求出第三个量．②从图象上看，只要知道任意两个点，就可以求出第三个点．【典型例题3】已知△ABC的两个顶点A(3,7）,B（－2,5）,若AC,BC的中点都在坐标轴上,求点C的坐标．思路分析：由于AC，BC的中点的连线为△ABC中位线，应与底边AB平行．又因为边AB与x轴、y轴均不平行,所以两中点不会在同一条坐标轴上．再根据坐标轴上点的坐标的特点即可求解．解：设点C的坐标为（x,y),边AC的中点为D，BC的中点为E,则DEeq\f（1，2）AB．因为AB与坐标轴不平行,所以D，E两点不可能都在x轴或y轴上．线段AC的中点D的坐标为，线段BC的中点E的坐标为．若点D在y轴上，则＝0，即x＝－3，此时点E的横坐标不为零，点E要在坐标轴上只能在x轴上,所以＝0，即y＝－5，所以C（－3,－5)．若点D在x轴上,则＝0,即y＝－7,此时点E只能在y轴上，所以＝0，即x＝2，此时C（2,－7）．综上可知，适合题意的点C的坐标为（－3，－5)或（2，－7）．点评对本题而言，讨论三角形两边的中点在不同的坐标轴上是关键．探究四易错辨析易错点1:因扩大取值范围而致误【典型例题4】求函数y＝＋的最小值．错解：因为x2＋1≥1，所以≥1．又因为x2－4x＋8＝(x－2)2＋4≥4，所以≥2．所以y＝＋≥3．所以函数y＝＋的最小值为3．错因分析：没有验证等号是否成立，而导致扩大了y的取值范围，实际上x是同步的，不能轻易分开．若分别讨论，必须验证等号成立的条件是否满足题意．正解：因为y＝＋＝＋,令A(0，1)，B(2,2),P（x，0)，则y＝|PA|＋|PB｜．这样求函数的最小值问题,就转化为在x轴上求一点P,使得｜PA|＋|PB｜取得最小值问题．借助于光学的知识和对称的知识，如图所示,作出点A关于x轴的对称点A′(0,－1)，连接BA′交x轴于点P，可知｜BA′｜即为｜PA|＋｜PB｜的最小值．即｜BA′｜＝＝．所以函数的最小值ymin＝．易错点2：因考虑问题不全面而致误【典型例题5】已知一平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，－2），（3,1),(0，2),求这个平行四边形第四个顶点的坐标．错解：设A(－1，－2），B(3，1)，C（0,2），第四个顶点D的坐标为(x,y)，由于四边形ABCD为平行四边形，则由中点坐标公式得解得所以点D的坐标为(－4，－1),即平行四边形的第四个顶点的坐标为（－4，－1)．错因分析：误认为平行四边形为四边形ABCD，其实还有四边形ABDC，四边形ACBD，由于考虑不全面而导致丢解．正解：设A（－1，－2)，B（3，1)，C（0，2)，第四个顶点D的坐标为(x，y),（1)若四边形ABCD是平行四边形，则由中点坐标公式得解得所以点D的坐标为（－4，－1）．（2)若四边形ABDC是平行四边