2024-2025学年山东省济南市山东师大附中高一（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东师大附中高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−3,−2,0,2}，B={x||x−1|<2}，则A∩B=(

)A.{−2,0} B.{0,2} C.{−2,2} D.{−2,0,2}2.若命题“∃x∈R，使得ax+2=0”是假命题，则实数a的范围为(

)A.{a|a>0} B.{a|a>2}

C.{0} D.{a|a>2，或a=0}3.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(|x|)+1的大致图象是(

)A.B.

C.D.4.已知幂函数f(x)=(m2+m−1)xmA.12 B.2 C.145.已知函数f(x)的定义域为(−3,4)，则函数g(x)=f(x+1)3x−1的定义域为A.(13,3) B.(13,4)6.函数f(x)=(−a−5)x−2,x≥2x2+2(a−1)x−3a,x<2，若对任意x1，x2∈R(xA.[−4,−1] B.[−4,−2] C.(−5,−1] D.[−5,−4]7.已知正数x，y满足1x+1+2y=1，则A.8 B.7 C.6 D.58.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在(−∞,0)上单调递增，若f(−2)=0，则(x+1)(f(x)−2f(−x))<0的解集是(

)A.(−2,0)∪(0,2) B.(−2,0)∪(1,2) C.(−2,−1)∪(0,2) D.(−2,−1)∪(1,2)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若集合A，B，U满足A∩(∁UB)=⌀，则A.A∩B=A B.A∪B=U C.A∪(∁UB)=U10.若a>b>0，则下列不等式中不成立的是(

)A.a+1a>b+1b B.a−111.取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，…，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.某数学小组类比拓扑学中的康托尔三等分集，定义了区间[0,1]上的函数f(x)，规定其具有以下性质：①任意0≤x1<x2≤1，f(x1A.f(x)在[0,1]上单调递增 B.f(x)的图象关于点(12,12)对称

C.当x=116三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知f(x)是定义在R上的奇函数，x>0时，f(x)=x2−2x−3，则x<0时，f(x)=13.已知两个正实数x，y满足4x+y−xy=0，若不等式xy≥m恒成立，则实数m的取值范围是______．14.高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的数学概念、定理、公式有很多，比如我们教材中所学习的“高斯函数y=[x]”其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[2]=2，[3.7]=3，[−2.1]=−3.现有函数f(x)=|2x−[2x+t]|，如果该函数既有最大值也有最小值，则实数t的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

计算化简下列各式：

(1)化简：13×823+(27125)−13+(2−5)216.(本小题15分)

已知函数f(x)=mx2−(m−1)x+m−2(m∈R)．

(1)若不等式f(x)≥0恒成立，求m的取值范围；

(2)解不等式f(x)≥m−117.(本小题15分)

如图，在周长为8的矩形ABCD中(其中AB>AD)，现将△ABC沿AC折叠到△AB′C，设AB′与CD交于点E，设AB=x．

(1)求证：△B′EC的周长为定值；

(2)试用x表示B′E的长，并求x的取值范围；

(3)当x为何值时，△B′EC的面积S取得最大值，并求出该最大值．18.(本小题17分)

已知函数f(x)=x+a+bx2−1是定义域为(−1,a)的奇函数．

(1)求出f(x)的解析式；

(2)判断f(x)在区间(−1,1)上的单调性，并用函数单调性定义证明该结论；

(3)19.(本小题17分)

设a，b∈R，若函数f(x)定义域内的任意一个x都满足f(x)+f(2a−x)=2b，则函数f(x)的图象关于点(a,b)对称；反之，若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称，则函数f(x)定义域内的任意一个x都满足f(x)+f(2a−x)=2b.已知函数g(x)=5x+3x+1．

(Ⅰ)证明：函数g(x)的图象关于点(−1,5)对称；

(Ⅱ)已知函数ℎ(x)的图象关于点(1,2)对称，当x∈[0,1]时，ℎ(x)=x2−mx+m+1.若对任意的x1∈[0,2]，总存在x参考答案1.B

2.C

3.D

4.C

5.A

6.A

7.C

8.C

9.AD

10.ACD

11.BCD

12.−x13.(−∞,4]

14.[115.解：(1)原式=13×23×23+(35)3×(−13)+(5−2)

=43+53+5−2

=1+5；

(2)因为(x116.解：(1)函数f(x)=mx2−(m−1)x+m−2(m∈R)，

因为不等式f(x)≥0恒成立，

即不等式mx2−(m−1)x+m−2≥0恒成立，

当m=0时，不等式即为x−2≥0，显然不成立，舍去；

当m≠0时，要使得f(x)≥0恒成立，

则满足m>0Δ=(m−1)2−4m(m−2)≤0，

即m>03m2−6m−1≥0，

解得m≥3+233，

即m的取值范围为[3+233,+∞)；

(2)由不等式f(x)≥m−1，可得mx2−(m−1)x+m−2≥m−1，

即mx2−(m−1)x−1≥0，

若m=0时，不等式即为x−1≥0，解得x≥1，不等式的解集为[1,+∞)；

若m≠0时，不等式可化为m(x−1)(mx+1)=m(x−1)(x+1m)≥0(x+1m)≥0，

①当m>0时，不等式等价于(x−1)(x+1m)≥0，解得x≤−1m或x≥1，

不等式的解集为(−∞,−1m]∪[1,+∞)；

②当m<0时，不等式等价于(x−1)(x+1m)≤0，

当−1m>1时，即−1<m<0时，解得1≤x≤−1m，不等式的解集为[1,−117.解：(1)证明：由题意可知∠AED=∠CEB′，∠ADE=∠CB′E，AD=CB′，

所以△ADE≌△CB′E，

所以AE=CE，AD=CB′，DE=B′E，

所以CE+CB′+B′E=CE+AD+DE=AD+DC=82=4(定值)，

所以△B′EC的周长为定值4．

(2)由折叠可知AB′=AE+B′E=AB=x，

所以AE=x−B′E，即CE=x−B′E，

由(1)知CE++CB′+B′E=4，

即(x−B′E)+CB′+B′E=4，所以CB′=4−x，

在直角△B′EC中，由勾股定理可得B′E2+B′C2=CE2，

即B′E2+(4−x)2=(x−B′E)2，

化简得B′E=4−8x，

因为AB>AD，AB+AD=4，

所以x>4−x且x<4，即2<x<4，

所以B′E=4−8x，x∈(2,4)．

(3)在Rt△B′EC中，18.解：(1)由x2−1≠0，得x≠±1，

而函数f(x)=x+a+bx2−1是定义域为(−1,a)的奇函数，可得a=1，

则f(x)=x+1+bx2−1，

由f(x)+f(−x)=0，可得x+1+bx2−1+−x+1+bx2−1=2+2bx2−1=0，解得b=−1，

∴f(x)=xx2−1；

(2)f(x)在区间(−1,1)上单调递增，证明如下：

∀x1，x2∈(−1,1)，且x1<x2，

则f(x1)−f(x2)=x1x12+1−x219.解：(Ⅰ)∵g(x)=5x+3x+1，x∈(−∞,−1)∪(−1,+∞)，

∴g(−2−x)=5x+7x+1．

∴g(x)+g(−2−x)=5x+3x+1+5x+7x+1=10．

即对任意的x∈(−∞,−1)∪(−1,+∞)，都有g(x)+g(−2−x)=10成立．

∴函数g(x)的图象关于点(−1,5)对称．

(Ⅱ)∵g(x)=5x+3x+1=5−2x+1，易知g(x)在(−23,1)上单调递增．

∴g(x)在x∈[−23,1]时的值域为[−1,4]．

记函数y=ℎ(x)，x∈[0,2]的值域为A．

若对任意的x1∈[0,2]，总存在x2∈[−23,1]，使得ℎ(x1)=g(x2)成立，则A⊆[−1,4]．

∵x∈[0,1]时，ℎ(x)=x2−mx+m+1，

∴ℎ(1)=2，即函数ℎ(x)的图象过对称中心(1,2)．

(i)当m2≤0，即m≤0时，函数ℎ(x)在(0,1)上单调递增．由对称性知，ℎ(x)在(1,2)上单调递增．

∴函数ℎ(x)在(0,2)上单调递增．

易知ℎ(0)=m+1.又ℎ(0)+ℎ(2)=4，∴ℎ(2)=3−m，则A=[m+1,3−m]．

由A⊆[−1,4]，得−1≤m+14≥3−mm≤0，解得