2024年湖北省武汉市中考数学试卷含答案

2024年湖北省武汉市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑。1．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（）A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．确定性事件3．（3分）如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（）A． B． C． D．4．（3分）国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近300000亿元，同比增长5.3%，国家高质量发展取得新成效．将数据300000用科学记数法表示是（）A．0.3×105 B．0.3×106 C．3×105 D．3×1065．（3分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．（a3）4＝a12 C．（3a）2＝6a2 D．（a+1）2＝a2+16．（3分）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（）A． B． C． D．7．（3分）小美同学按如下步骤作四边形ABCD；（1）画∠MAN；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接BC，CD，BD．若∠A＝44°，则∠CBD的大小是（）A．64° B．66° C．68° D．70°8．（3分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（）A． B． C． D．9．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝60°，∠BAC＝∠CAD＝45°，AB+AD＝2，则⊙O的半径是（）A． B． C． D．10．（3分）如图，小好同学用计算机软件绘制函数y＝x3﹣3x2+3x﹣1的图象，发现它关于点（1，0）中心对称．若点A1（0.1，y1），A2（0.2，y2），A3（0.3，y3），…，A19（1.9，y19），A20（2，y20）都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则y1+y2+y3+…+y19+y20的值是（）A．﹣1 B．﹣0.729 C．0 D．1二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置。11．（3分）中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上3℃记作+3℃，则零下2℃记作℃．12．（3分）某反比例函数y具有下列性质：当x＞0时，y随x的增大而减小．写出一个满足条件的k的值是．13．（3分）分式方程的解是．14．（3分）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是m．（参考数据：tan63°≈2）15．（3分）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．直线MP交正方形ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2.若BE＝kAE（k＞1），则用含k的式子表示的值是．16．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1．下列四个结论：①b＞0；②若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1；③若a＝﹣1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无实数解；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1+x2，x1＞x2，总有y1＜y2，则0＜m．其中正确的是（填写序号）．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形。17．（8分）求不等式组的整数解．18．（8分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF＝CE．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）连接EF．请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．（不需要说明理由）19．（8分）为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮4次，投中一次计1分．随机抽取m名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表．测试成绩频数分布表成绩/分频数4123a2151b06根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出m，n的值和样本的众数；（2）若该校九年级有900名学生参加测试，估计得分超过2分的学生人数．20．（8分）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点．（1）求证：AB与半圆O相切；（2）连接OA．若CD＝4，CF＝2，求sin∠OAC的值．21．（8分）如图是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．（1）在图（1）中，画射线AD交BC于点D，使AD平分△ABC的面积；（2）在（1）的基础上，在射线AD上画点E，使∠ECB＝∠ACB；（3）在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转90°到点C，再画射线AF交BC于点G；（4）在（3）的基础上，将线段AB绕点G旋转180°，画对应线段MN（点A与点M对应，点B与点N对应）．22．（10分）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线yx+b．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级．（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km，①直接写出a，b的值；②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离．（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．23．（10分）问题背景如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE．问题探究如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG．问题拓展如图（3），在“问题探究”的条件下，连接AG，AD＝CD，AG＝FG，直接写出的值．24．（12分）抛物线yx2+2x交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点C．（1）直接写出点A，B，C的坐标；（2）如图（1），连接AC，BC，过第三象限的抛物线上的点P作直线PQ∥AC，交y轴于点Q．若BC平分线段PQ，求点P的坐标；（3）如图（2），点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E，F两点（点E在x轴下方），线段DE交抛物线于另一点G，连接FG．若∠EGF＝90°，求直线DE的解析式．

2024年湖北省武汉市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑。1．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A、B、D选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．C选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：C．2．（3分）小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（）A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．确定性事件【答案】A【解答】解：小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是随机事件．故选：A．3．（3分）如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：该几何体的主视图为：．故选：B．4．（3分）国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近300000亿元，同比增长5.3%，国家高质量发展取得新成效．将数据300000用科学记数法表示是（）A．0.3×105 B．0.3×106 C．3×105 D．3×106【答案】C【解答】解：300000＝3×105，故选：C．5．（3分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．（a3）4＝a12 C．（3a）2＝6a2 D．（a+1）2＝a2+1【答案】B【解答】解：a2•a3＝a5，则A不符合题意；（a3）4＝a12，则B符合题意；（3a）2＝9a2，则C不符合题意；（a+1）2＝a2+2a+1，则D不符合题意；故选：B．6．（3分）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢，所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓．故选：D．7．（3分）小美同学按如下步骤作四边形ABCD；（1）画∠MAN；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接BC，CD，BD．若∠A＝44°，则∠CBD的大小是（）A．64° B．66° C．68° D．70°【答案】C【解答】解：由（1）（2）（3）可知四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，BC∥AD，∴∠ABD＝∠ADB＝∠CBD，∵∠A＝44°，∴∠ABD+∠ADB＝180°﹣∠A＝180°﹣44°＝136°，∴∠ABD＝∠ADB＝∠CBD＝68°，故选：C．8．（3分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：列表如下：直行左转右转直行（直行，直行）（直行，左转）（直行，右转）左转（左转，直行）（左转，左转）（左转，右转）右转（右转，直行）（右转，左转）（右转，右转）由表格可知，共有9种等可能的结果，由表格可知，至少有一辆车向右转的结果有共5种，∴至少有一辆车向右转的概率为．故选：D．9．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝60°，∠BAC＝∠CAD＝45°，AB+AD＝2，则⊙O的半径是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：过C作CM⊥AB于M，CN⊥AD交AD延长线于N，过O作OH⊥AC于H，连接OA，OC，∵∠BAC＝∠CAD＝45°，∴AC平分∠BAN，∴MC＝CN，∵∠MAN＝∠BAC+∠CAD＝90°，∠AMC＝∠ANC＝90°，∴四边形AMCN是正方形，∴AM＝AN，∵∠BAC＝∠CAD，∴，∴CD＝BC，∵CN＝CM，∴Rt△CDN≌Rt△CBM（HL），∴ND＝MB，∵AB+AD＝AM+MB+AD＝AM+DN+AD＝AM+AN＝2AM＝2，∴AM＝1，∵∠BAC＝45°，∠AMC＝90°，∴△ACM是等腰直角三角形，∴ACAM，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，∵OA＝OC，OH⊥AC，∴AHAC，∠AOH∠AOC＝60°，∵sin∠AOH＝sin60°，∴OA，∴⊙O的半径是．故选：A．10．（3分）如图，小好同学用计算机软件绘制函数y＝x3﹣3x2+3x﹣1的图象，发现它关于点（1，0）中心对称．若点A1（0.1，y1），A2（0.2，y2），A3（0.3，y3），…，A19（1.9，y19），A20（2，y20）都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则y1+y2+y3+…+y19+y20的值是（）A．﹣1 B．﹣0.729 C．0 D．1【答案】D【解答】解：由题知，点A10的坐标为（1，0），则y10＝0．因为函数图象关于点（1，0）中心对称，所以y9+y11＝y8+y12＝…＝y1+y19＝0，将x＝2代入函数解析式得，y＝23﹣3×22+3×2﹣1＝1，即y20＝1，所以y1+y2+y3+…+y19+y20的值为1．故选：D．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置。11．（3分）中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上3℃记作+3℃，则零下2℃记作﹣2℃．【答案】﹣2【解答】解：“正”和“负”相对，所以，若零上3℃记作+3℃，则零下2℃记作﹣2℃．故答案为：﹣212．（3分）某反比例函数y具有下列性质：当x＞0时，y随x的增大而减小．写出一个满足条件的k的值是1（答案不唯一）．【答案】1（答案不唯一）．【解答】解：由题可知，当反比例函数y具有下列性质：当x＞0时，y随x的增大而减小，即k＞0时满足条件，则k的值取1．故答案为：1（答案不唯一）．13．（3分）分式方程的解是x＝﹣3．【答案】x＝﹣3．【解答】解：原方程去分母得：x2﹣x＝x2﹣2x﹣3，解得：x＝﹣3，检验：当x＝﹣3时，（x﹣1）（x﹣3）≠0，故原方程的解为x＝﹣3，故答案为：x＝﹣3．14．（3分）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是51m．（参考数据：tan63°≈2）【答案】51．【解答】解：过点C作CH∥BD，延长BA交CH于H，由题意得∠ABD＝∠CDB＝90°，∴∠AHC＝180°﹣90°＝90°，∴四边形BDCH是矩形，∴BH＝CD＝102m，在Rt△BCH中，∠BCH＝63°，tan∠BCH，∴CH51（m），在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，∴∠CAH＝45°＝∠ACH，∴AH＝CH＝51m，∴AB＝BH﹣AH＝51m．答：黄鹤楼的高度约为51m．故答案为：51．15．（3分）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．直线MP交正方形ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2.若BE＝kAE（k＞1），则用含k的式子表示的值是．【答案】．【解答】解：方法一：如图，过A作AG∥BP交FE延长线于点G，∵AG∥BP，∴∠GAE＝∠PBE，∠AGE＝∠BPE，∴△AGE∽△PBE，∴，设AG＝1，则BP＝k，∵∠NMP＝45°，∴∠AMG＝45°，AM＝AG＝1，∵AN＝BP＝k，∴MN＝k﹣1，∵S1＝AD2＝AM2+MD2＝k2+1，S2＝MN2＝（k﹣1）2，∴；方法二：如图，过B作BG⊥BP交FE延长线于点G，则△GBP是等腰直角三角形，易证△GBA≌△PBC，∴∠BGP＝∠AGP＝45°，根据角平分线比例定理得：，设AG＝1，则BG＝k，∴AM＝1，MD＝k＝AN，∴MN＝k﹣1，∵S1＝AD2＝AM2+MD2＝k2+1，S2＝MN2＝（k﹣1）2，∴；故答案为：．16．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1．下列四个结论：①b＞0；②若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1；③若a＝﹣1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无实数解；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1+x2，x1＞x2，总有y1＜y2，则0＜m．其中正确的是②③④（填写序号）．【答案】②③④．【解答】解：∵y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1，∴对称轴为直线，∴，∴，∵a＜0，∴b＜0，故①错误；∵0＜m＜1，∴m﹣（﹣1）＞1，即（﹣1，1），（m，1）两点之间的距离大于1，又∵a＜0，∴x＝m﹣1时，y＞1，∴若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1，故②正确；由①可得，∴，即﹣1＜b＜0，当a＝﹣1时，抛物线解析式为y＝﹣x2+bx+c，设顶点线坐标为，∵抛物线y＝﹣x2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），∴﹣1﹣b+c＝1，∴c＝b+2，∴，∵﹣1＜b＜0，，对称轴为直线b＝﹣2，∴当b＝0时，t取得最大值为2，而b＜0，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无解，故③正确；∵a＜0，抛物线开口向下，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，，x1＞x2，总有y1＜y2，又，∴点A（x1，y1）离较远，∴对称轴，解得：，故④正确；故答案为：②③④．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形。17．（8分）求不等式组的整数解．【答案】﹣1、0、1．【解答】解：，由①得，x＞﹣2；由②得，x≤1，故此不等式组的解集为：﹣2＜x≤1，故不等式组的整数解为﹣1、0、1．18．（8分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF＝CE．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）连接EF．请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．（不需要说明理由）【答案】（1）证明见解析；（2）添加BE＝CE（答案不唯一）．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D．∵AF＝CE，∴AD﹣AF＝BC﹣CE，∴DF＝BE，在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：如图，添加BE＝CE，理由如下：∵AF＝CE，BE＝CE，∴AF＝BE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴四边形ABEF是平行四边形．19．（8分）为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮4次，投中一次计1分．随机抽取m名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表．测试成绩频数分布表成绩/分频数4123a2151b06根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出m，n的值和样本的众数；（2）若该校九年级有900名学生参加测试，估计得分超过2分的学生人数．【答案】（1）m＝60，n＝15，众数为3；（2）675名．【解答】解：（1）由题意得，m＝15÷25%＝60，∴a＝60×30%＝18，∴b＝60﹣12﹣18﹣15﹣6＝9，∴n%100%＝15%，∴n＝15，样本的众数为3；（2）900675（名），答：估计得分超过2分的学生人数有675名．20．（8分）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点．（1）求证：AB与半圆O相切；（2）连接OA．若CD＝4，CF＝2，求sin∠OAC的值．【答案】（1）见解析；（2）．【解答】（1）证明：连接OD，OA，作OH⊥AB于H，如图，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，∵AC与⊙O相切于点D，∴OD⊥AC，而OH⊥AB，∴OH＝OD，∴AC是⊙O的切线；（2）由（1）知OD⊥AC，在Rt△OCD中，CD＝4，OC＝OF+CF＝OD+2，OD2+CD2＝OC2，∴OD2+42＝（OD+2）2，∴OD＝3，∴OC＝5，∴cosC，在Rt△OCA中，cosC，∴sin∠OAC．21．（8分）如图是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．（1）在图（1）中，画射线AD交BC于点D，使AD平分△ABC的面积；（2）在（1）的基础上，在射线AD上画点E，使∠ECB＝∠ACB；（3）在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转90°到点C，再画射线AF交BC于点G；（4）在（3）的基础上，将线段AB绕点G旋转180°，画对应线段MN（点A与点M对应，点B与点N对应）．【答案】见解析．【解答】解：（1）如图1中，线段AD即为所求；（2）如图1中，点E即为所求；（2）如图2中，点C，射线AF，点G即为所求；（3）如图2中，线段MN即为所求．22．（10分）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线yx+b．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级．（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km，①直接写出a，b的值；②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离．（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．【答案】（1）①a，b＝8.1；②这两个位置之间的距离为8.4km；（2）a＜0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．【解答】解：（1）①∵y＝ax2+x经过点（9，3.6），∴81a+9＝3.6．解得：a．∵yx+b经过点（9，3.6），∴3.69+b．解得：b＝8.1；②由①得：yx2+x（x2﹣15x）（x）2（0≤x≤9）．∴火箭运行的最高点是km．∴1.35＝2.4（km）．∴2.4x2+x．整理得：x2﹣15x+36＝0．解得：x1＝12＞9（不合题意，舍去），x2＝3．由①得：yx+8.1．∴2.4x+8.1．解得：x＝11.4．∴11.4﹣3＝8.4（km）．答：这两个位置之间的距离为8.4km；（2）当x＝9时，y＝81a+9．∴火箭第二级的引发点的坐标为（9，81a+9）．设火箭落地点与发射点的水平距离为15km．∴yx+b经过点（9，81a+9），（15，0）∴．解得：．∴a＜0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．23．（10分）问题背景如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE．问题探究如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG．问题拓展如图（3），在“问题探究”的条件下，连接AG，AD＝CD，AG＝FG，直接写出的值．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）．【解答】（1）证明：∵E、F分别是AB和BC中点，∴，，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∴，∵∠EBF＝∠C＝90°，∴△BCD∽△FBE；（2）方法一：如图延长FE交DA延长线于点M，作FH⊥AD于点H，则四边形CDHF是矩形．∵E是AB中点，∴AE＝BE，∵AM∥BC，∴∠AME＝∠BFE，∠MAE＝∠FBE，∴△AME≌△BFE（AAS），∴AM＝BF，∵AD＝2CF，CF＝DH，∴AH＝DH＝CF，∴AM+AH＝BF+CF，即MH＝BC，∵FH＝CD，∠MHF＝∠BCD＝90°，∴△MFH≌△BDC（SAS），∴∠AMF＝∠CBD，又∵∠AMF＝∠BFG，∴∠CBD＝∠BFG，∴BG＝FG；方法二：如图，取BD中点H，连接EH、CH，∵E是AB中点，H是BD中点，∴EHAD，EH∥AD，∵AD＝2CF，∴EH＝CF，∵AD∥BC，∴EH∥CF，∴四边形EHCF是平行四边形，∴EF∥CH，∴∠HCB＝∠GFB，∵∠BCD＝90°，H是BD中点，∴CHBD＝BH，∴∠HCB＝∠HBC，∴∠GFB＝∠HBC，∴BG＝FG；（3）如图，过F作FM⊥AD于点M，取BD中点H，连接AF，则四边形CDMF是矩形，∴CF＝DM，∵AD＝2CF，∴AM＝DM＝CF，设CF＝a，则AM＝DM＝CF＝a，AD＝CD＝2a＝MF，∴AFa，∵E是AB中点，且AG＝FG，∴FE垂直平分AB，∴BF＝AFa，∵H是BD中点，∴EH是△ABD中位线，∴EHAD＝a，EH∥AD∥BC，∴△EGH∽△FGB，∴．24．（12分）抛物线yx2+2x交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点C．（1）直接写出点A，B，C的坐标；（2）如图（1），连接AC，BC，过第三象限的抛物线上的点P作直线PQ∥AC，交y轴于点Q．若BC平分线段PQ，求点P的坐标；（3）如图（2），点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E，F两点（点E在x轴下方），线段DE交抛物线于另一点G，连接FG．若∠EGF＝90°，求直线DE的解析式．【答案】（1）A（1，0），B（﹣5，0），C（0，）；（2）P（﹣2，）；（3）直线DE解析式为yx﹣5．【解答】解：（1）在yx2+2x中，令x＝0得y，∴C（0，），令y＝0得0x2+2x，解得x＝﹣5或x＝1，∴A（1，0），B（﹣5，0）；（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），把A（，0），C（0，）代入得：，解得：，∴直线AC的解析式为yx，由PQ∥AC，设直线PQ的解析式为yx+b'，设P（t，t2+2t），∴t2+2tt+b'，∴b't2t，∴直线PQ的解析式为yxt2t，令x＝0得yt2t，∴Q（0，t2t）；∵BC平分线段PQ，∴PQ的中点（，t2t）在直线BC上，由B（﹣5，0），C（0，）得直线BC解析式为yx，∴t2t，解得t＝﹣2或t＝0（舍去），∴P（﹣2，）；（3）过点G作TS∥x轴，过点E，F分别作TS的垂线，垂足分别为T，S，如图：∴∠T＝∠S＝∠EGF＝90°，∴∠EGT＝90°﹣∠FGS＝∠GFS，∴△ETG∽△GSF，∴，∴ET•FS＝GS•TG，∵点D与原点O关于对称，∴D（0．﹣5），设直线EF的解析式为y1＝k1x，直线ED的解析式为y2＝k2x﹣5，联立得：k1xx2+2x，∴x2+（2﹣k1）x0，联立得：k2x﹣5x2+2x，∴x2+（2﹣k2）x0，设xE＝e，xF＝f，xG＝g，∴ef＝﹣5，eg＝5，e+g＝2k2﹣4，∴f＝﹣g，ETe2+2e（g2+2g）（e+g+4）（e﹣g），FSf2+2f（g2+2g）（f+g+4）（f﹣g），∵ET•FS＝GS•TG，∴（e+g+4）（e﹣g）•（f+g+4）（f﹣g）＝（g﹣e）（f﹣g），∴（e+g+4）（e﹣g）•（﹣g+g+4）（﹣g﹣g）＝（g﹣e）（﹣g﹣g），∴e+g＝﹣5，∴2k2﹣4＝﹣5，解得k2，∴直线DE解析式为yx﹣5．2024年湖北省中考数学试卷一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（3分）在实际生产生活中，经常用正数、负数表示具有相反意义的量，如果把收入20元记作+20元，那么支出10元记作（）A．+10元 B．﹣10元 C．+20元 D．﹣20元2．（3分）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A． B． C． D．3．（3分）计算2x•3x2的结果是（）A．5x2 B．6x2 C．5x3 D．6x34．（3分）如图，一条公路的两侧铺设了AB，CD两条平行管道，并有纵向管道AC连通，若∠1＝120°，则∠2的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．80°5．（3分）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．6．（3分）在下列事件中，必然事件是（）A．掷一次骰子，向上一面的点数是3 B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．任意画一个三角形，其内角和是180°7．（3分）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两，问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（）A． B． C． D．8．（3分）如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点D，画射线BD，连接AC．若∠CAB＝50°，则∠CBD的度数是（）A．30° B．25° C．20° D．15°9．（3分）如图，点A的坐标是（﹣4，6），将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点的坐标是（）A．（4，6） B．（6，4） C．（﹣6，﹣4） D．（﹣4，﹣6）10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的顶点坐标为（﹣1，﹣2），与y轴的交点在x轴上方，下列结论正确的是（）A．a＜0 B．c＜0 C．a﹣b+c＝﹣2 D．b2﹣4ac＝0二、填空题（共5题，每题3分，共15分）11．（3分）写出一个大于﹣1的数是．12．（3分）小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这5位著名数学家的生平简介，知晓他们取得的伟大成就对我国乃至世界数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选取其中一位的成就进行分享，选到数学家赵爽的概率是．13．（3分）铁的密度为7.9g/cm3，铁块的质量m（单位：g）与它的体积V（单位：cm3）之间的函数关系式为m＝7.9V，当V＝10cm3时，m＝g．14．（3分）计算的结果是．15．（3分）如图，由三个全等的三角形（△ABE，△BCF，△CAD）与中间的小等边三角形DEF拼成一个大等边三角形ABC．连接BD并延长交AC于点G．若AE＝ED＝2．则（1）∠FDB的度数是；（2）DG的长是．三、解答题（共9题，共75分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（6分）计算：（﹣1）×322﹣20240．17．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，求证：BE＝DF．18．（6分）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下：活动项目测量校园中树AB的高度活动方案“测角仪”方案“平面镜”方案方案示意图实施过程①选取与树底B位于同一水平地面的D处；②测量D，B两点间的距离；③站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角∠ACF；④测量C到地面的高度CD．①选取与树底B位于同一水平地面的E处；②测量E，B两点间的距离；③在E处水平放置一个平面镜，沿射线BE方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A；④测量E，D两点间的距离；⑤测量C到地面的高度CD．测量数据①DB＝10m；②∠ACF＝32.5°；③CD＝1.6m．①EB＝10m；②ED＝2m；③CD＝1.6m．备注①图上所有点均在同一平面内；②AB，CD均与地面垂直；③参考数据：tan32.5≈0.64．①图上所有点均在同一平面内；②AB，CD均与地面垂直；③把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得∠CED＝∠AEB．请你从以上两种方案中任选一种，计算树AB的高度．19．（8分）某校为增强学生身体素质，以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练，并对学生进行专项体能测试．以下是某次八年级男生引体向上测试成绩的抽样与数据分析过程．【收集数据】随机抽取若干名男生的测试成绩．【整理数据】将抽取的成绩进行整理，用x（引体向上个数）表示成绩，分成四组：A组（0≤x＜5），B组（5≤x＜10），C组（10≤x＜14），D组（x≥14）．【描述数据】根据抽取的男生成绩，绘制出如下不完整的统计图．【分析数据】抽取的八年级男生测试成绩的平均数为8，中位数为8，众数为11．根据以上信息，解答下列问题：（1）求A组人数，并补全条形统计图；（2）估计该校八年级参加测试的400名男生中成绩不低于10个的人数；（3）从平均数、中位数和众数这三个统计量中任选一个，解释其在本题中的意义．20．（8分）如图，一次函数y＝x+m的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与反比例函数y（k为常数，k≠0）的图象在第一象限的部分交于点B（n，4）．（1）求m，n，k的值；（2）若C是反比例函数y的图象在第一象限部分上的点，且△AOC的面积小于△AOB的面积，直接写出点C的横坐标a的取值范围．21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC上，以CE为直径的⊙O经过AB上的点D，与OB交于点F，且BD＝BC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若AD，AE＝1，求的长．22．（10分）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：m2）．（1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（不要求写x的取值范围）；（2）矩形实验田的面积S能达到750m2吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由；（3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？23．（11分）在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H．（1）如图1，求证：△DEP∽△CPH；（2）如图2，当P为CD的中点，AB＝2，AD＝3时，求GH的长；（3）如图3，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由．24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C．（1）求b的值；（2）如图，M是第一象限抛物线上的点，∠MAB＝∠ACO，求点M的横坐标；（3）将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点N，设L的顶点横坐标为n，NC的长为d．①求d关于n的函数解析式；②L与x轴围成的区域记为U，U与△ABC内部重合的区域（不含边界）记为W，当d随n的增大而增大，且W内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出n的取值范围．

2024年湖北省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（3分）在实际生产生活中，经常用正数、负数表示具有相反意义的量，如果把收入20元记作+20元，那么支出10元记作（）A．+10元 B．﹣10元 C．+20元 D．﹣20元【答案】B【解答】解：“正”和“负”相对，所以，在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收20元记作+20元，则支出10元记作﹣10元．故选：B．2．（3分）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：从正面看有两层，底层4个正方形，上层左边个正方形．故选：A．3．（3分）计算2x•3x2的结果是（）A．5x2 B．6x2 C．5x3 D．6x3【答案】D【解答】解：2x•3x2＝6x3．故选：D．4．（3分）如图，一条公路的两侧铺设了AB，CD两条平行管道，并有纵向管道AC连通，若∠1＝120°，则∠2的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】B【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°，∵∠1＝120°，∴∠2＝180°﹣∠1＝60°，故选：B．5．（3分）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵x+1≥2，∴x≥1，在数轴上表示为：．故选：A．6．（3分）在下列事件中，必然事件是（）A．掷一次骰子，向上一面的点数是3 B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．任意画一个三角形，其内角和是180°【答案】D【解答】解：A．掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，不符合题意；B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，不符合题意；C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；D．任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意．故选：D．7．（3分）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两，问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：根据题意得：．故选：A．8．（3分）如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点D，画射线BD，连接AC．若∠CAB＝50°，则∠CBD的度数是（）A．30° B．25° C．20° D．15°【答案】C【解答】解：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝50°，∴∠ABC＝90°﹣50°＝40°，由题意得，BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠ABD∠ABC＝20°．故选：C．9．（3分）如图，点A的坐标是（﹣4，6），将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点的坐标是（）A．（4，6） B．（6，4） C．（﹣6，﹣4） D．（﹣4，﹣6）【答案】B【解答】解：如图所示，分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为M和N，由旋转可知，OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠AOM+∠BON＝∠A+∠AOM＝90°，∴∠A＝∠BON．在△AOM和△OBN中，，∴△AOM≌△OBN（AAS），∴BN＝MO，ON＝AM．∵点A的坐标为（﹣4，6），∴BN＝MO＝4，ON＝AM＝6，∴点B的坐标为（6，4）．故选：B．10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的顶点坐标为（﹣1，﹣2），与y轴的交点在x轴上方，下列结论正确的是（）A．a＜0 B．c＜0 C．a﹣b+c＝﹣2 D．b2﹣4ac＝0【答案】C【解答】解：由题意，∵抛物线顶点为（﹣1，﹣2），∴可设抛物线为y＝a（x+1）2﹣2．∴y＝a（x2+2x+1）﹣2＝ax2+2ax+a﹣2．又抛物线为y＝ax2+bx+c，∴b＝2a，c＝a﹣2．∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＝a﹣2＞0．∴a＞2＞0，故A、B均不正确．又抛物线的顶点为（﹣1，﹣2），∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝﹣2，故C正确．由b＝2a，c＝a﹣2，∴b2﹣4ac＝4a2﹣4a（a﹣2）＝8a＞0，故D错误．故选：C．二、填空题（共5题，每题3分，共15分）11．（3分）写出一个大于﹣1的数是0．【答案】见试题解答内容【解答】解：比﹣1大的数如：0，故答案为：0（答案不唯一）．12．（3分）小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这5位著名数学家的生平简介，知晓他们取得的伟大成就对我国乃至世界数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选取其中一位的成就进行分享，选到数学家赵爽的概率是．【答案】．【解答】解：因为总共有5人，所以从中任选一个，恰好是赵爽是概率是．故答案为：．13．（3分）铁的密度为7.9g/cm3，铁块的质量m（单位：g）与它的体积V（单位：cm3）之间的函数关系式为m＝7.9V，当V＝10cm3时，m＝79g．【答案】79．【解答】解：当V＝10时，m＝7.9×10＝79．故答案为：79．14．（3分）计算的结果是1．【答案】1．【解答】解：原式1，故答案为：1．15．（3分）如图，由三个全等的三角形（△ABE，△BCF，△CAD）与中间的小等边三角形DEF拼成一个大等边三角形ABC．连接BD并延长交AC于点G．若AE＝ED＝2．则（1）∠FDB的度数是30°；（2）DG的长是．【答案】（1）30°，（2）．【解答】解：∵△ABE≌△BCF≌△CAD（已知），∴AD＝BE＝CF，AE＝BF＝DC，∵AE＝ED＝2，∴AD＝BE＝4，∵△DEF为等边三角形，∴EF＝DF＝DE＝2，∠EFD＝∠EDF＝60°，∴BF＝DF＝DC＝2，∴∠FDB＝∠FBD∠EFD＝30°，∠ADB＝∠EDF+∠FDB＝90°，如图，过点C作CH⊥BG的延长线于点H，∵∠CDH＝30°，∴CH＝CD×sin30°＝21，DH＝CD×cos30°＝2，∵∠ADG＝∠CHG，∠AGD＝∠CGH，∴△ADG∽△CHG，∴，∴DG．三、解答题（共9题，共75分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（6分）计算：（﹣1）×322﹣20240．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝﹣3+3+4﹣1＝3．17．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，求证：BE＝DF．【答案】见解析．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE＝DF．18．（6分）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下：活动项目测量校园中树AB的高度活动方案“测角仪”方案“平面镜”方案方案示意图实施过程①选取与树底B位于同一水平地面的D处；②测量D，B两点间的距离；③站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角∠ACF；④测量C到地面的高度CD．①选取与树底B位于同一水平地面的E处；②测量E，B两点间的距离；③在E处水平放置一个平面镜，沿射线BE方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A；④测量E，D两点间的距离；⑤测量C到地面的高度CD．测量数据①DB＝10m；②∠ACF＝32.5°；③CD＝1.6m．①EB＝10m；②ED＝2m；③CD＝1.6m．备注①图上所有点均在同一平面内；②AB，CD均与地面垂直；③参考数据：tan32.5≈0.64．①图上所有点均在同一平面内；②AB，CD均与地面垂直；③把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得∠CED＝∠AEB．请你从以上两种方案中任选一种，计算树AB的高度．【答案】树AB的高度为8m．【解答】解：“测角仪”方案：过C作CF⊥AB于F，∵CD⊥BD，AB⊥BD，∴四边形CDBF是矩形，∴CF＝BD＝10m，BF＝CD＝1.6m，∵∠ACF＝32.5°，∴AF＝CF•tan32.5°＝10×0.64≈6.4（m），∴AB＝AF+BF＝6.4+1.6＝8（m），答：树AB的高度为8m；“平面镜”方案：∵CD⊥BD，AB⊥BD，∴∠CDE＝∠ABE＝90°，∵∠CED＝∠AEB，∴△CDE∽△ABE，∴，∴，∴AB＝8，答：树AB的高度为8m．19．（8分）某校为增强学生身体素质，以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练，并对学生进行专项体能测试．以下是某次八年级男生引体向上测试成绩的抽样与数据分析过程．【收集数据】随机抽取若干名男生的测试成绩．【整理数据】将抽取的成绩进行整理，用x（引体向上个数）表示成绩，分成四组：A组（0≤x＜5），B组（5≤x＜10），C组（10≤x＜14），D组（x≥14）．【描述数据】根据抽取的男生成绩，绘制出如下不完整的统计图．【分析数据】抽取的八年级男生测试成绩的平均数为8，中位数为8，众数为11．根据以上信息，解答下列问题：（1）求A组人数，并补全条形统计图；（2）估计该校八年级参加测试的400名男生中成绩不低于10个的人数；（3）从平均数、中位数和众数这三个统计量中任选一个，解释其在本题中的意义．【答案】（1）A组人数为12人，补全条形统计图见解答；（2）180人；（3）答案不唯一，任选其中一个说明即可．【解答】解：（1）样本容量为：14÷35%＝40，故A组人数为：40﹣10﹣14﹣4＝12（人），补全条形统计图如下：（2）400180（人），答：估计该校八年级参加测试的400名男生中成绩不低于10个的人数大约有180人；（3）平均数表示抽取的40名学生的平均成绩；众数表示抽取的40名学生中得分在某个分数的人数最多；中位数表示取的40名学生中，将成绩从小到大排列后，位于中间位置的成绩（答案不唯一，任选其中一个说明即可）．20．（8分）如图，一次函数y＝x+m的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与反比例函数y（k为常数，k≠0）的图象在第一象限的部分交于点B（n，4）．（1）求m，n，k的值；（2）若C是反比例函数y的图象在第一象限部分上的点，且△AOC的面积小于△AOB的面积，直接写出点C的横坐标a的取值范围．【答案】（1）m＝3，n＝1，k＝4；（2）a＞1．【解答】解：（1）把点A（﹣3，0）坐标代入y＝x+m得：0＝﹣3+m，解得m＝3，∴直线解析式为y＝x+3，把点B（n，4）坐标代入直线解析式得4＝n+3，解得n＝1，把点B（1，4）坐标代入反比例函数解析式得：4，解得k＝4，∴反比例函数解析式为y，（2）∵△AOC的面积小于△AOB的面积，∴yC＜yB，即yC＜4，∵点C在反比例函数图象上，且在第一象限，∴4，∴a＞1．21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC上，以CE为直径的⊙O经过AB上的点D，与OB交于点F，且BD＝BC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若AD，AE＝1，求的长．【答案】（1）见解析；（2）．【解答】（1）证明：连接OD，在△OBD和△OBC中，，∴△OBD≌△OBC（SSS），∴∠ODB＝∠OCD＝90°，∴OD⊥AB，∵OD是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为R，在Rt△OAD中，AD，AE＝1，AO＝AE+OE＝1+R，OD＝R，AD2+OD2＝AO2，∴（）2+R2＝（1+R）2，解得R＝1，∴OD＝1，∴tan∠AOD，∴∠AOD＝60°，∴∠COD＝120°，由（1）知△OBD≌△OBC，∴∠BOD＝∠BOC∠COD＝60°，∴的长．22．（10分）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：m2）．（1）直接写出