2024年河北省中考数学试卷含答案

2024年河北省中考数学试卷一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1～6小题各3分，7～16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列运算正确的是（）A．a7﹣a3＝a4 B．3a2•2a2＝6a2 C．（﹣2a）3＝﹣8a3 D．a4÷a4＝a3．（3分）如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（）A．AD⊥BC B．AC⊥PQ C．△ABO≌△CDO D．AC∥BD4．（3分）下列数中，能使不等式5x﹣1＜6成立的x的值为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（3分）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的（）A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线6．（3分）如图是由11个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（）A． B． C． D．7．（2分）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（）A．若x＝5，则y＝100 B．若y＝125，则x＝4 C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍8．（2分）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（）A．a+3＝8b B．3a＝8b C．a+3＝b8 D．3a＝8+b9．（2分）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝（）A．1 B．1 C．1 D．1或110．（2分）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，点M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3．∵∠CAN＝∠ABC+∠3，∠CAN＝∠1+∠2，∠1＝∠2，∴①______．又∵∠4＝∠5，MA＝MC，∴△MAD≌△MCB（②______）．∴MD＝MB．∴四边形ABCD是平行四边形．若以上解答过程正确，①，②应分别为（）A．∠1＝∠3，AAS B．∠1＝∠3，ASA C．∠2＝∠3，AAS D．∠2＝∠3，ASA11．（2分）直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，如图所示，则α+β＝（）A．115° B．120° C．135° D．144°12．（2分）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D13．（2分）已知A为整式，若计算的结果为，则A＝（）A．x B．y C．x+y D．x﹣y14．（2分）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为120°时，扇面面积为S，该折扇张开的角度为n°时，扇面面积为Sn，若m，则m与n关系的图象大致是（）A． B． C． D．15．（2分）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（）A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“■”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为4100a+102516．（2分）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．例：“和点”P（2，1）按上述规则连续平移3次后，到达点P3（2，2），其平移过程如下：．若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16（﹣1，9），则点Q的坐标为（）A．（6，1）或（7，1） B．（15，﹣7）或（8，0） C．（6，0）或（8，0） D．（5，1）或（7，1）二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）17．（2分）某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为．18．（4分）已知a，b，n均为正整数．（1）若nn+1，则n＝；（2）若n﹣1n，nn+1，则满足条件的a的个数总比b的个数少个．19．（4分）如图，△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线，点A，C1，C2，C3是线段CC4的五等分点，点A，D1，D2是线段DD3的四等分点，点A是线段BB1的中点．（1）△AC1D1的面积为；（2）△B1C4D3的面积为．三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（9分）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为﹣4，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12．（1）计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值；（2）当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值．21．（9分）甲、乙、丙三张卡片正面分别写有a+b，2a+b，a﹣b，除正面的代数式不同外，其余均相同．（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当a＝1，b＝﹣2时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率；（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率．第一次和第二次a+b2a+ba﹣ba+b2a+2b2a2a+ba﹣b2a22．（9分）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ＝4m，仰角为α；淇淇向前走了3m后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB＝CD＝1.6m，点P到BQ的距离PQ＝2.6m，AC的延长线交PQ于点E．（注：图中所有点均在同一平面）（1）求β的大小及tanα的值；（2）求CP的长及sin∠APC的值．23．（10分）情境图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）操作嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．如图3，嘉嘉沿虚线EF，GH裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：（1）直接写出线段EF的长；（2）直接写出图3中所有与线段BE相等的线段，并计算BE的长．探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的BC边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段PQ）的位置，并直接写出BP的长．24．（10分）某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试．考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下：当0≤x＜p时，y；当p≤x≤150时，y80．（其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线）公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格．（1）甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若p＝100，求甲、乙的报告成绩；（2）丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值；（3）下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表：原始成绩（分）95100105110115120125130135140145150人数1225810716201595①直接写出这100名员工原始成绩的中位数；②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率．25．（12分）已知⊙O的半径为3，弦MN＝2．△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝3．在平面上，先将△ABC和⊙O按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在⊙O上，点C在⊙O内），随后移动△ABC，使点B在弦MN上移动，点A始终在⊙O上随之移动．设BN＝x．（1）当点B与点N重合时，求劣弧的长；（2）当OA∥MN时，如图2，求点B到OA的距离，并求此时x的值；（3）设点O到BC的距离为d．①当点A在劣弧上，且过点A的切线与AC垂直时，求d的值；②直接写出d的最小值．26．（13分）如图，抛物线C1：y＝ax2﹣2x过点（4，0），顶点为Q．抛物线C2：y（x﹣t）2t2﹣2（其中t为常数，且t＞2），顶点为P．（1）直接写出a的值和点Q的坐标．（2）嘉嘉说：无论t为何值，将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C2上．淇淇说：无论t为何值，C2总经过一个定点．请选择其中一人的说法进行说理．（3）当t＝4时，①求直线PQ的解析式；②作直线l∥PQ，当l与C2的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标．（4）设C1与C2的交点A，B的横坐标分别为xA，xB，且xA＜xB，点M在C1上，横坐标为m（2≤m≤xB）．点N在C2上，横坐标为n（xA≤n≤t），若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n．

2024年河北省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1～6小题各3分，7～16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵﹣4＜﹣2＜﹣1＜0＜1，∴选项A的折线统计图符合题意．故选：A．2．（3分）下列运算正确的是（）A．a7﹣a3＝a4 B．3a2•2a2＝6a2 C．（﹣2a）3＝﹣8a3 D．a4÷a4＝a【答案】C【解答】解：A、a7与﹣a3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；B、3a2•2a2＝6a4，故B不符合题意；C、（﹣2a）3＝﹣8a3，故C符合题意；D、a4÷a4＝1，故D不符合题意；故选：C．3．（3分）如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（）A．AD⊥BC B．AC⊥PQ C．△ABO≌△CDO D．AC∥BD【答案】A【解答】解：如图，连接AC、BD，∵△ABO和△CDO关于直线PQ对称，∴△ABO≌△CDO，PQ⊥AC，PQ⊥BD，∴AC∥BD，故B、C、D选项正确，AD不一定垂直BC，故A选项不一定正确，故选：A．4．（3分）下列数中，能使不等式5x﹣1＜6成立的x的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解答】解：解不等式5x﹣1＜6，得x．故选：A．5．（3分）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的（）A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线【答案】B【解答】解：由作图可知BD⊥AC，故线段BD是△ABC的高．故选：B．6．（3分）如图是由11个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：从左边看，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别是3、1、1．故选：D．7．（2分）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（）A．若x＝5，则y＝100 B．若y＝125，则x＝4 C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍【答案】C【解答】解：由题意得，；A、若x＝5，则y100，正确，故此选项不符合题意；B、若y＝125，则，解得x＝4，正确，故此选项不符合题意；C、若x减小，则y增大，原说法错误，故此选项符合题意；D、若x减小一半，即y'，所以y增大一倍，正确，故此选项不符合题意；故选：C．8．（2分）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（）A．a+3＝8b B．3a＝8b C．a+3＝b8 D．3a＝8+b【答案】A【解答】解：根据已知得，8×2a＝28b，即2a+3＝28b，∴a+3＝8b．故选：A．9．（2分）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝（）A．1 B．1 C．1 D．1或1【答案】C【解答】解：根据题意得，a2﹣2a＝1，解得a＝1±，∵a＞0，∴a1．故选：C．10．（2分）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，点M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3．∵∠CAN＝∠ABC+∠3，∠CAN＝∠1+∠2，∠1＝∠2，∴①______．又∵∠4＝∠5，MA＝MC，∴△MAD≌△MCB（②______）．∴MD＝MB．∴四边形ABCD是平行四边形．若以上解答过程正确，①，②应分别为（）A．∠1＝∠3，AAS B．∠1＝∠3，ASA C．∠2＝∠3，AAS D．∠2＝∠3，ASA【答案】D【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3，∵∠CAN＝∠ABC+∠3，∠CAN＝∠1+∠2，∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∵点M是AC的中点，∴MA＝MC，在△MAD和△MCB中，，∴△MAD≌△MCB（ASA），∴MD＝MB，∴四边形ABCD是平行四边形．∴①，②分别为∠2＝∠3，ASA，故选：D．11．（2分）直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，如图所示，则α+β＝（）A．115° B．120° C．135° D．144°【答案】B【解答】解：正六边形每个内角为：，而六边形MBCDEN的内角和也为（6﹣2）×180°＝720°，∴∠B+∠C+∠D+∠E+∠ENM+∠NMB＝720°，∴∠ENM+∠NMB＝720°﹣4×120°＝240°，∵β+∠ENM+α+∠NMB＝180°×2＝360°，∴α+β＝360°﹣240°＝120°，故选：B．12．（2分）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】B【解答】解：设A（a，b），AB＝m，AD＝n，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝n，AB＝CD＝m，∴D（a，b+n），B（a+m，b），C（a+m，b+n），∵，而，∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B；故选：B．13．（2分）已知A为整式，若计算的结果为，则A＝（）A．x B．y C．x+y D．x﹣y【答案】A【解答】解：∵，∴，∴，∴Ax＝（x﹣y）（x+y）+y2，∴Ax＝x2，∴A＝x；故选：A．14．（2分）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为120°时，扇面面积为S，该折扇张开的角度为n°时，扇面面积为Sn，若m，则m与n关系的图象大致是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：设该扇面所在的圆的半径为R，S，∴πR2＝3S，∵该折扇张开的角度为n°时，扇形面积为Sn，∴Sn，∴m，∴m是n的正比例函数，∵n≥0，∴它的图象是过原点的一条射线，故选：C．15．（2分）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（）A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“■”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为4100a+1025【答案】D【解答】解：设一个三位数与一个两位数分别为100x+10y+z和10m+n，如图2：则由题意得：mz＝20，nz＝5，ny＝2，nx＝a，∴，即m＝4n，∴当n＝2，y＝1时，z＝2.5不是正整数，不符合题意，故舍去；当n＝1，y＝2时，则m＝4，z＝5，x＝a，如图3：∴A、“20”左边的数是2×4＝8，故本选项不符合题意；B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意；∴a上面的数应为4a，如图4：∴运算结果可以表示为：1000（4a+1）+100a+25＝4100a+1025，∴D选项符合题意，当a＝2时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意，故选：D．16．（2分）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．例：“和点”P（2，1）按上述规则连续平移3次后，到达点P3（2，2），其平移过程如下：．若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16（﹣1，9），则点Q的坐标为（）A．（6，1）或（7，1） B．（15，﹣7）或（8，0） C．（6，0）或（8，0） D．（5，1）或（7，1）【答案】D【解答】解：根据已知：点P3（2，2）横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到P4（2，3），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到P5（1，3），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又向上平移1个单位………，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移；若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16（﹣1.9），则按照“和点”Q16反向运动16次即可，可以分为两种情况：①Q16先向右1个单位得到Q15（0，9），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是Q15向右平移1个单位得到Q16，故矛盾，不成立；②Q16先向下1个单位得到Q15（﹣1，8），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到Q16，故符合题意，∴点Q16先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为（﹣1+7，9﹣8），即（6，1），∴最后一次若向右平移则为（7，1），若向左平移则为（5，1），故选：D．二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）17．（2分）某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为89．【答案】89．【解答】解：出现次数最多的是89，因此众数为89．故答案为：89．18．（4分）已知a，b，n均为正整数．（1）若nn+1，则n＝3；（2）若n﹣1n，nn+1，则满足条件的a的个数总比b的个数少2个．【答案】（1）3；（2）2．【解答】解：（1）∵，∴，∵nn+1，n为正整数，∴n＝3；故答案为：3；（2）∵n﹣1n，∴（n﹣1）2＜a＜n2，∴a的个数为n2﹣（n﹣1）2＝n2﹣n2+2n﹣1＝2n﹣1，∵nn+1，∴n2＜b＜（n+1）2，∴b的个数为（n+1）2﹣n2＝n2+2n+1﹣n2＝2n+1，∵（2n+1）﹣（2n﹣1）＝2，∴满足条件的a的个数总比b的个数少2个，故答案为：2．19．（4分）如图，△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线，点A，C1，C2，C3是线段CC4的五等分点，点A，D1，D2是线段DD3的四等分点，点A是线段BB1的中点．（1）△AC1D1的面积为1；（2）△B1C4D3的面积为7．【答案】（1）1；（2）7．【解答】解：（1）连接B1D1、B1D2、B1C2、B1C3、C3D3，∵△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线，∴，∵点A，C1，C2，C3是线段CC4的五等分点，∴，∵点A，D1，D2是线段DD3的四等分点，∴，∵点A是线段BB1的中点，∴，在△AC1D1和△ACD中，，∴△AC1D1≌△ACD（SAS），∴，∠C1D1A＝∠CDA，∴△AC1D1的面积为1，故答案为：1；（2）在△AB1D1和△ABD中，，∴△AB1D1≌△ABD（SAS），∴，∠B1D1A＝∠BDA，∵∠BDA+∠CDA＝180°，∴∠B1D1A+∠C1D1A＝180°，∴C1、D1、B1三点共线，∴，∵AC1＝C1C2＝C2C3＝C3C4，∴，∵AD1＝D1D2＝D2D3，，∴，在△AC3D3和△ACD中，，∠C3AD3＝∠CAD，∴△C3AD3∽△CAD，∴，∴，∵AC1＝C1C2＝C2C3＝C3C4，∴，∴，∴△B1C4D3的面积为7，故答案为：7．三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（9分）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为﹣4，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12．（1）计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值；（2）当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值．【答案】（1）30，；（2）2．【解答】解：（1）∵点A，B，C所对应的数依次为﹣4，2，32，∴A，B，C三点所对应的数的和为﹣4+2+32＝30，∵AB＝2﹣（﹣4）＝6，AC＝32﹣（﹣4）＝36，∴；（2）由数轴得，DE＝x﹣0＝x，DF＝12﹣0＝12，由题意得，，∴，∴x＝2．21．（9分）甲、乙、丙三张卡片正面分别写有a+b，2a+b，a﹣b，除正面的代数式不同外，其余均相同．（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当a＝1，b＝﹣2时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率；（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率．第一次和第二次a+b2a+ba﹣ba+b2a+2b2a2a+ba﹣b2a【答案】（1）．（2）补全表格见解答；和为单项式的概率为．【解答】解：（1）当a＝1，b＝﹣2时，a+b＝﹣1，2a+b＝0，a﹣b＝3．从三张卡片中随机抽取一张，共有3种等可能的结果，其中取出的卡片上代数式的值为负数的结果有1种，∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率为．（2）补全表格如下：第一次和第二次a+b2a+ba﹣ba+b2a+2b3a+2b2a2a+b3a+2b4a+2b3aa﹣b2a3a2a﹣2b共有9种等可能的结果，其中和为单项式的结果有：2a，3a，2a，3a，共4种，∴和为单项式的概率为．22．（9分）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ＝4m，仰角为α；淇淇向前走了3m后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB＝CD＝1.6m，点P到BQ的距离PQ＝2.6m，AC的延长线交PQ于点E．（注：图中所有点均在同一平面）（1）求β的大小及tanα的值；（2）求CP的长及sin∠APC的值．【答案】（1）β为45°；tanα的值为；（2）m，．【解答】解：（1）由题意可得：PQ⊥AE，PQ＝2.6m，AB＝CD＝EQ＝1.6m，AE＝BQ＝4（m），AC＝BD＝3（m），∴CE＝4﹣3＝1（m），PE＝2.6﹣1.6＝1（m），∠CEP＝90°．∴CE＝PE．∴β＝∠PCE＝45°；．（2）∵CE＝PE＝1m，∠CEP＝90°，∴．如图，过C作CH⊥AP于H，∵，设CH＝xm，则AH＝4xm，∴x2+（4x）2＝AC2＝9．∴，．∴．∴．23．（10分）情境图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）操作嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．如图3，嘉嘉沿虚线EF，GH裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：（1）直接写出线段EF的长；（2）直接写出图3中所有与线段BE相等的线段，并计算BE的长．探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的BC边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段PQ）的位置，并直接写出BP的长．【答案】（1）1；（2），BE＝GE＝AH＝GH；BP的长为或．【解答】解：（1）如图，过G′作G′K⊥FH′于K，结合题意可得：四边形FOG′K为矩形，∴FO＝KG'，由拼接可得：HF＝FO＝KG'，由正方形的性质可得：∠A＝45°，∴△AHG，ΔH′G'D，△AFE为等腰直角三角形，∴△GKH'为等腰直角三角形，设H′K＝KG'＝x，∴H′G′＝H′Dx，∴，HF＝FO＝x，∵正方形的边长为2，∴对角线的长，∴，∴，解得：，∴；（2）∵△AFE为等腰直角三角形，EF＝AF＝1；∴，∴，∵，，∴BE＝GE＝AH＝GH；如图，以B为圆心，BO为半径画弧交BC于P'，交AB于Q'，则直线P'Q'为分割线，此时，，符合要求，或以C圆心，CO为半径画弧，交BC于P，交CD于Q，则直线PQ为分割线，此时，，∴，综上：BP的长为或．24．（10分）某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试．考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下：当0≤x＜p时，y；当p≤x≤150时，y80．（其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线）公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格．（1）甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若p＝100，求甲、乙的报告成绩；（2）丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值；（3）下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表：原始成绩（分）95100105110115120125130135140145150人数1225810716201595①直接写出这100名员工原始成绩的中位数；②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率．【答案】（1）甲的报告成绩为：（分），乙的报告成绩为：（分）；（2）p＝125；（3）①中位数为130；②95%．【解答】解：（1）当p＝100时，甲的报告成绩为：（分），乙的探告成绩为：（分）；（2）设丙的原始成绩为x1分，则丁的原始成绩为（x1﹣40）分，①0≤x＜p时，y丙＝92①，，由①﹣②得：，∴，∴，故不成立，舍；②p≤x1﹣40≤150时，y丙＝9280…③，……④，由③﹣④得：，∴p．∴9280，∴，∴，故不成立，舍；③0≤x1﹣40＜p，p≤x1≤150时，y丙＝9280…⑤，……⑥，联立⑤⑥解得：p＝125，x1＝140，且符合题意，综上所述p＝125；（3）①共计100名员工，且成绩已经排列好，∴中位数是第50，51名员工成绩的平均数，由表格得第50，51名员工成绩都是130分，∴中位数为130；②当p＞130时，则，解得，故不成立，舍；当p≤130时，则，解得p＝110，符合题意，∴．由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为100﹣（1+2+2）＝95，∴合格率为：．25．（12分）已知⊙O的半径为3，弦MN＝2．△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝3．在平面上，先将△ABC和⊙O按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在⊙O上，点C在⊙O内），随后移动△ABC，使点B在弦MN上移动，点A始终在⊙O上随之移动．设BN＝x．（1）当点B与点N重合时，求劣弧的长；（2）当OA∥MN时，如图2，求点B到OA的距离，并求此时x的值；（3）设点O到BC的距离为d．①当点A在劣弧上，且过点A的切线与AC垂直时，求d的值；②直接写出d的最小值．【答案】（1）劣弧的长为π；（2）点B到OA的距离为2，x的值为3；（3）d的最小值为．【解答】解：如图，连接OA，OB，∵⊙O的半径为3，AB＝3，∴OA＝OB＝AB＝3，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴的长为π，∴劣弧的长为π；（2）过B作BI⊥OA于I，过O作OH⊥MN于H，连接MO，如图：∵OA∥MN，∴∠IBH＝∠BHO＝∠HOI＝∠BIO＝90°，∴四边形BIOH是矩形，∴BH＝OI，BI＝OH，∵，OH⊥MN，∴，而OM＝3，∴，∴点B到OA的距离为2；∵AB＝3，BI⊥OA，∴，∴，∴；（3）①过O作OJ⊥BC于J，过O作OK⊥AB于K，如图：∵∠ABC＝90°，过点A的切线与AC垂直，∴AC过圆心，∴四边形KOJB为矩形，∴OJ＝KB，∵AB＝3，，∴，∴，∴，∴，即；②如图，当B为MN中点时，过O作OL⊥B′C′于L，过O作OJ⊥BC于J，∵∠OJL＞90°，∴OL＞OJ，故当B为MN中点时，d最短小，过A作AQ⊥OB于Q，∵B为MN中点，∴OB⊥MN，同（2）可得OB＝2，∴BQ＝OQ＝1，∴，∵∠ABC＝90°＝∠AQB，∴∠OBJ+∠ABO＝90°＝∠ABO+∠BAQ，∴∠OBJ＝∠BAQ，∴tan∠OBJ＝tan∠BAQ，∴，设OJ＝m，则，∵OJ2+BJ2＝OB2，∴，解得：（m的负值已舍去），∴OJ的最小值为，即d的最小值为．26．（13分）如图，抛物线C1：y＝ax2﹣2x过点（4，0），顶点为Q．抛物线C2：y（x﹣t）2t2﹣2（其中t为常数，且t＞2），顶点为P．（1）直接写出a的值和点Q的坐标．（2）嘉嘉说：无论t为何值，将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C2上．淇淇说：无论t为何值，C2总经过一个定点．请选择其中一人的说法进行说理．（3）当t＝4时，①求直线PQ的解析式；②作直线l∥PQ，当l与C2的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标．（4）设C1与C2的交点A，B的横坐标分别为xA，xB，且xA＜xB，点M在C1上，横坐标为m（2≤m≤xB）．点N在C2上，横坐标为n（xA≤n≤t），若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n．【答案】（1），Q（2，﹣2）；（2）两人说法都正确，理由见解答；（3）①y＝4x﹣10；②或；（4）n＝2+t﹣m．【解答】解：（1）∵抛物线过点（4，0），顶点为Q，∴16a﹣8＝0，解得，∴抛物线为，∴Q（2，﹣2）；（2）把Q（2，﹣2）向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为（0，﹣2），当x＝0时，，∴（0，﹣2）在C2上，∴嘉嘉说法正确；，当x＝0时，y＝﹣2，∴，过定点（0，﹣2），∴淇淇说法正确；（3）①当t＝4时，，∴顶点P（4，6），而Q（2，﹣2），设PQ为y＝cx+f，∴，解得，∴PQ为y＝4x﹣10；②如图，当（等于6两直线重合不符合题意），∴，∴交点，交点，由直线l∥PQ，设直线l为y＝4x+b，∴，解得，∴直线l为，当时，，此时直线l与x轴交点的横坐标为，同理当直线l过点，直线l为，当时，，此时直线l与x轴交点的横坐标为．（4）∵，，∴C2是由C1通过旋转180°，再平移得到的，两个函数图象的形状相同，如图，连接AB交PQ于L，连接AQ，BQ，AP，BP，∴四边形APBQ是平行四边形，当点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，此时M与B重合，N与A重合，∵P（2，﹣2），，∴L的横坐标为，，，∴L的横坐标为，∴，解得n＝2+t﹣m．2024年河南省中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）如图，数轴上点P表示的数是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．22．（3分）据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达5784亿元．数据“5784亿”用科学记数法表示为（）A．5784×108 B．5.784×1010 C．5.784×1011 D．0.5784×10123．（3分）如图，乙地在甲地的北偏东50°方向上，则∠1的度数为（）A．60° B．50° C．40° D．30°4．（3分）信阳毛尖是中国十大名茶之一．如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的主视图为（）A． B． C． D．5．（3分）下列不等式中，与﹣x＞1组成的不等式组无解的是（）A．x＞2 B．x＜0 C．x＜﹣2 D．x＞﹣36．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB＝4，则EF的长为（）A． B．1 C． D．27．（3分）计算（）3的结果是（）A．a5 B．a6 C．aa+3 D．a3a8．（3分）豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（）A． B． C． D．9．（3分）如图，⊙O是边长为的等边三角形ABC的外接圆，点D是的中点，连接BD，CD．以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为（）A． B．4π C． D．16π10．（3分）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（）A．当P＝440W时，I＝2A B．Q随I的增大而增大 C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）请写出2m的一个同类项：．12．（3分）2024年3月是第8个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．某校组织各班围绕这个主题开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报进行评分，得分情况如图，则得分的众数为分．13．（3分）若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值为．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（﹣2，0），点E在边CD上．将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为（0，6），则点E的坐标为．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E．若CD＝1，则AE的最大值为，最小值为．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（10分）（1）计算：；（2）化简：．17．（9分）为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下．技术统计表队员平均每场得分平均每场篮板平均每场失误甲26.582乙26103根据以上信息，回答下列问题．（1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为分．（2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好．（3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误×（﹣1），且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好．18．（9分）如图，矩形ABCD的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC，BD相交于点E，反比例函数的图象经过点A．（1）求这个反比例函数的表达式．（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象．（3）将矩形ABCD向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为．19．（9分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，BE∥DC交AC的延长线于点E．（1）请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM，使∠ECM＝∠A，且射线CM交BE于点F（保留作图痕迹，不写作法）．（2）证明（1）中得到的四边形CDBF是菱形．20．（9分）如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线DE相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时∠APB为最大视角．（1）请仅就图2的情形证明∠APB＞∠ADB．（2）经测量，最大视角∠APB为30°，在点P处看塑像顶部点A的仰角∠APE为60°，点P到塑像的水平距离PH为6m．求塑像AB的高（结果精确到0.1m．参考数据：1.73）．21．（9分）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为50g，营养成分表如下．（1）若要从这两种食品中摄入4600kJ热量和70g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90g，且热量最低，应如何选用这两种食品？22．（10分）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h（m）满足关系式h＝﹣5t2+v0t，其中t（s）是物体运动的时间，v0（m/s）是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．（1）小球被发射后s时离地面的高度最大（用含v0的式子表示）．（2）若小球离地面的最大高度为20m，求小球被发射时的速度．（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为3s．”已知实验楼高15m，请判断他的说法是否正确，并说明理由．23．（10分）综合与实践在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．（1）操作判断用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有（填序号）．（2）性质探究根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB＝AD，AC是它的一条对角线．①写出图中相等的角，并说明理由；②若BC＝m，DC＝n，∠BCD＝2θ，求AC的长（用含m，n，θ的式子表示）．（3）拓展应用如图3，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，分别在边BC，AC上取点M，N，使四边形ABMN是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN的长．

2024年河南省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）如图，数轴上点P表示的数是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【答案】A【解答】解：根据数轴可知，点P表示的数为：﹣1，故选：A．2．（3分）据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达5784亿元．数据“5784亿”用科学记数法表示为（）A．5784×108 B．5.784×1010 C．5.784×1011 D．0.5784×1012【答案】C【解答】解：5784亿＝578400000000＝5.784×1011．故选：C．3．（3分）如图，乙地在甲地的北偏东50°方向上，则∠1的度数为（）A．60° B．50° C．40° D．30°【答案】B【解答】解：根据“两直线平行线，内错角相等”可得，∠1＝50°，故选：B．4．（3分）信阳毛尖是中国十大名茶之一．如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的主视图为（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：这个茶叶盒的主视图为：故选：A．5．（3分）下列不等式中，与﹣x＞1组成的不等式组无解的是（）A．x＞2 B．x＜0 C．x＜﹣2 D．x＞﹣3【答案】A【解答】解：∵﹣x＞1，∴x＜﹣1；A、，无解，故此选项符合题意；B、的解集是x＜﹣1，故此选项不符合题意；C、的解集是x＜﹣2，故此选项不符合题意；D、的解集是﹣3＜x＜﹣1，故此选项不符合题意；故选：A．6．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB＝4，则EF的长为（）A． B．1 C． D．2【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OCAC，∵点E为OC的中点，∴CEOCAC，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴，即，∴EF＝1，故选：B．7．（3分）计算（）3的结果是（）A．a5 B．a6 C．aa+3 D．a3a【答案】D【解答】解：原式＝（aa）3＝a3a，故选：D．8．（3分）豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：将三张卡片分别记为A，B，C，列表如下：ABCA（A，A）（A，B）（A，C）B（B，A）（B，B）（B，C）C（C，A）（C，B）（C，C）共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种，∴两次抽取的卡片正面相同的概率为．故选：D．9．（3分）如图，⊙O是边长为的等边三角形ABC的外接圆，点D是的中点，连接BD，CD．以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为（）A． B．4π C． D．16π【答案】C【解答】解：如图，连接OD、OB、OC，OD交BC于点H．∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∠BDC＝120°，∵D是弧BC中点，∴OD⊥BC，BH＝CHBC＝2，∠BOD＝60°，∴OB4，∵OB＝OD，∠BOD＝60°，∴△BOD为等边三角形，∴BD＝OB＝4，∴S，故选：C．10．（3分）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（）A．当P＝440W时，I＝2A B．Q随I的增大而增大 C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多【答案】C【解答】解：由图1可知，当P＝440W时，I＝2A，故选项A说法正确，不符合题意；由图2可知，Q随I的增大而增大，故选项B说法正确，不符合题意；由图2可知，I每增加1A，Q的增加量不相同，故选项C说法错误，符合题意；由图1可知I随P的增大而增大，由图2可知Q随I的增大而增大，所以P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D说法正确，不符合题意．故选：C．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）请写出2m的一个同类项：m（答案不唯一）．【答案】m（答案不唯一）．【解答】解：与2m是同类项的是：m（答案不唯一），故答案为：m（答案不唯一）．12．（3分）2024年3月是第8个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．某校组织各班围绕这个主题开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报进行评分，得分情况如图，则得分的众数为9分．【答案】9．【解答】解：根据条形统计图可知9分的人数最多为13人，即众数为9，故答案为：9．13．（3分）若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值为．【答案】．【解答】解：因为关于x的方程有两个相等的实数根，所以Δ＝（﹣1）2﹣40，解得c．故答案为：．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（﹣2，0），点E在边CD上．将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为（0，6），则点E的坐标为（3，10）．【答案】（3，10）．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，边AB在x轴上，∴AD＝AB＝CD＝CB，AD⊥x轴，CD⊥y轴，由折叠得FB＝CB，FE＝CE，设CD交y轴于点G，AD＝AB＝CB＝CD＝m，则BF＝OG＝m，∵A（﹣2，0），F（0，6），∴OA＝GD＝2，OF＝6，∴OB＝m﹣2，∵∠BOF＝∠EGF＝90°，∴OB2+OF2＝BF2，∴（m﹣2）2+62＝m2，解得m＝10，∴AD＝OG＝CD＝10，∴FG＝10﹣6＝4，FE＝CE＝10﹣2﹣GE＝8﹣GE，∵GE2+FG2＝FE2，∴GE2+42＝（8﹣GE）2，解得GE＝3，∴E（3，10），故答案为：（3，10）．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E．若CD＝1，则AE的最大值为2，最小值为2．【答案】21；21．【解答】解：∵BE⊥AE，∴∠BEA＝90°，∴点E是在以AB为直径的圆上运动，∵CD＝1，且CD是绕点C旋转，∴点D是在以C为圆心，以1为半径的圆上运动，∵ABAC＝3，∴当cos∠BAE最大时，AE最大，当cos∠BAE最小时，AE最小．①如图，当AE与圆C相切于点D，且D在△ABC内部时，∠BAE最小，AE最大，∵∠ADE＝∠CDE＝90°，∴AD2，∵，∴∠CEA＝∠CBA＝45°，∴DE＝CD＝1，此时AE＝21，即AE的最大值为21，②如图，当AE与圆C相切于点D，且D在△ABC外部时，∠BAE最大，AE最小，同理可得AD＝2，DE＝1，此时AE＝21，即AE的最小值为21，故答案为：21；21．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（10分）（1）计算：；（2）化简：．【答案】（1）9；（2）a+2．【解答】解：（1）原式1＝10﹣1＝9；（2）原式＝a+2．17．（9分）为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下．技术统计表队员平均每场得分平均每场篮板平均每场失误甲26.582乙26103根据以上信息，回答下列问题．（1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是甲（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为29分．（2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好．（3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误×（﹣1），且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好．【答案】（1）甲，29；（2）因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定，所以甲队员表现更好．（注：答案不唯一，合理即可）；（3）乙队员表现更好．【解答】解：（1）由折线图可得甲得分更稳定，把乙的六次成绩按从小到大的顺序排序，第三次、第四次的成绩分别为28和30，故中位数为29，故答案为：甲，29；（2）因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定，所以甲队员表现更好．（注：答案不唯一，合理即可）；（3）甲的综合得分为：26.5×1+8×1.5+2×（﹣1）＝36.5．乙的综合得分为：26×1+10×1.5+3×（﹣1）＝38．因为38＞36.5，所以乙队员表现更好．18．（9分）如图，矩形ABCD的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC，BD相交于点E，反比例函数的图象经过点A．（1）求这个反比例函数的表达式．（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象．（3）将矩形ABCD向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为．【答案】（1）；（2）如图所示；（3）．【解答】（1）∵反比例函数的图象经过点A（3，2），代入得∴k＝6，∴这个反比例函数的表达式为．（2）如图，（3）由图知E（6，4），令得，x，∵6，∴矩形ABCD向左平移个单位时，点E落在反比例函数图象上．19．（9分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，BE∥DC交AC的延长线于点E．（1）请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM，使∠ECM＝∠A，且射线CM交BE于点F（保留作图痕迹，不写作法）．（2）证明（1）中得到的四边形CDBF是菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解答】（1）解：如图，∠ECM即为所求；（2）证明：由（1），得∠ECF＝∠A，∴CF∥AB．∵BE∥DC，∴四边形CDBF是平行四边形，∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴CD＝BD，∴▱CDBF是菱形．20．（9分）如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线DE相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时∠APB为最大视角．（1）请仅就图2的情形证明∠APB＞∠ADB．（2）经测量，最大视角∠APB为30°，在点P处看塑像顶部点A的仰角∠APE为60°，点P到塑像的水平距离PH为6m．求塑像AB的高（结果精确到0.1m．参考数据：1.73）