2024-2025学年高中数学第二章圆锥曲线与方程3.2双曲线的简单性质课时作业含解析北师大版选修1-1

PAGE3.2双曲线的简洁性质[A组基础巩固]1．若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3)＝1(a>0)的离心率为2，则a等于()A．2 B.eq\r(3)C.eq\f(3,2) D．1解析：∵c2＝a2＋3，∴eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋3,a2)＝4，得a＝1.答案：D2．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为()A.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,13)＝1 B.eq\f(x2,13)－eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,3)－y2＝1 D．x2－eq\f(y2,3)＝1解析：利用渐近线与圆相切以及焦点坐标，列出方程组求解．由双曲线的渐近线y＝±eq\f(b,a)x与圆(x－2)2＋y2＝3相切可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(\f(|±\f(b,a)×2|,\r(1＋\f(b,a)2))＝\r(3)，,c＝2，,a2＋b2＝c2，)))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝\r(3).))故所求双曲线的方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.答案：D3．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线的一个交点为P，且∠F1PF2＝2∠PF1F2，则该双曲线的离心率为()A.eq\r(2)－1B.eq\r(2)＋1C.eq\r(2)D.eq\r(3)解析：由题设知∠F1PF2＋∠PF1F2＝90°.又∠F1PF2＝2∠PF1F2，所以∠PF1F2＝30°.不妨设P(c，d)(d>0)，则|PF2|＝d，|PF1|＝2d，|F1F2|＝eq\r(3)d.从而2a＝|PF1|－|PF2|＝2d－d＝d,2c＝|F1F2|＝eq\r(3)d，故e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(\r(3)d,d)＝eq\r(3).答案：D4．若双曲线经过点(6，eq\r(3))，且渐近线方程是y＝±eq\f(1,3)x，则这条双曲线的方程是()A.eq\f(x2,36)－eq\f(y2,9)＝1 B.eq\f(x2,81)－eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,9)－y2＝1 D.eq\f(x2,18)－eq\f(y2,3)＝1解析：设双曲线的方程为y2－eq\f(x2,9)＝λ(λ≠0)，将(6，eq\r(3))代入该方程可得λ的值．答案：C5．已知双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1，则其渐近线方程是________，离心率e＝________.解析：因为a2＝4，b2＝1，所以c2＝5.即a＝2，c＝eq\r(5).e＝eq\f(\r(5),2).将eq\f(x2,4)－y2＝1中右边的“1”换为“0”，可解出渐近线方程．答案：y＝±eq\f(1,2)xeq\f(\r(5),2)6．已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为__________．解析：由题意得双曲线的渐近线方程为y＝±x，设A(x1，x1)，B(x2，－x2)，则AB的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(x1－x2,2)))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1－x2,2)))2＝2，即x1x2＝2，∴S△AOB＝eq\f(1,2)|OA|·|OB|＝eq\f(1,2)|eq\r(2)x1|·|eq\r(2)x2|＝x1x2＝2.答案：27．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝eq\r(3)x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为________．解析：由双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝eq\r(3)x得eq\f(b,a)＝eq\r(3)，∴b＝eq\r(3)a.∵抛物线y2＝16x的焦点为F(4,0)，∴c＝4.又∵c2＝a2＋b2，∴16＝a2＋(eq\r(3)a)2，∴a2＝4，b2＝12.∴所求双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.答案：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝18．依据下列条件求双曲线的标准方程．(1)过点P(3，－eq\r(5))，离心率为eq\r(2)；(2)与椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的公共焦点，且离心率e＝eq\f(4,3).解析：(1)若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．∵e＝eq\r(2)，∴eq\f(c2,a2)＝2，即a2＝b2.①又双曲线过点P(3，－eq\r(5))，则eq\f(9,a2)－eq\f(5,b2)＝1，②由①②，得a2＝b2＝4，∴双曲线的标准方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1.若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．同理a2＝b2，③eq\f(5,a2)－eq\f(9,b2)＝1，④由③④，得a2＝b2＝－4(舍去)．综上，双曲线的标准方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1.(2)椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的焦点坐标为(－4,0)和(4,0)，设双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则c＝4，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,3)，∴a＝3，b2＝c2－a2＝7，∴所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,7)＝1.9．设双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，求△AFB的面积．解析：双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的右顶点为A(3,0)，右焦点F(5,0)，一条渐近线为y＝－eq\f(4,3)x，则BF所在直线为y＝－eq\f(4,3)(x－5)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(4,3)x－5,\f(x2,9)－\f(y2,16)＝1))，得B(eq\f(17,5)，eq\f(32,15))，∴S△AFB＝eq\f(1,2)·|AF|·|yB|＝eq\f(32,15).[B组实力提升]1．已知双曲线C：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1的两条渐近线分别是l1，l2，点M是双曲线C上一点，若点M到渐近线l1的距离是3，则点M到渐近线l2的距离是()A.eq\f(12,13) B．1C.eq\f(36,13) D．3解析：双曲线C：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1的渐近线方程为2x±3y＝0，设M(x1，y1)为双曲线C上一点，则eq\f(x\o\al(2,1),9)－eq\f(y\o\al(2,1),4)＝1，即4xeq\o\al(2,1)－9yeq\o\al(2,1)＝36，点M到两条渐近线的距离之积为eq\f(|2x1－3y1|,\r(22＋32))·eq\f(|2x1＋3y1|,\r(22＋32))＝eq\f(|4x\o\al(2,1)－9y\o\al(2,1)|,13)＝eq\f(36,13)为常数，所以当点M到渐近线l1的距离是3时，点M到渐近线l2的距离是eq\f(36,13)÷3＝eq\f(12,13)，选A.答案：A2．已知等边三角形ABC中，D，E分别是CA，CB的中点，以A，B为焦点且过D，E的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则下列关于e1，e2的关系式不正确的是()A．e2＋e1＝2 B．e2－e1＝2C．e2e1＝2 D.eq\f(e2,e1)>2解析：设三角形的边长为2.由题意，可求得椭圆的离心率e1＝eq\f(2,\r(3)＋1)，双曲线的离心率e2＝eq\f(2,\r(3)－1)，所以e1＋e2＝2eq\r(3)，e1e2＝2，e2－e1＝2，eq\f(e2,e1)＝2＋eq\r(3)>2.故选A.答案：A3．设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为________．解析：依据两条直线垂直的条件，求出a，b之间的关系，进一步求出渐近线的斜率．由题设易知A1(－a,0)，A2(a,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a))).∵A1B⊥A2C，∴eq\f(\f(b2,a),c＋a)·eq\f(－\f(b2,a),c－a)＝－1，整理得a＝b.∵渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，即y＝±x，∴渐近线的斜率为±1.答案：±14．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点，若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．解析：先求双曲线的渐近线方程，再结合图形求c的最大值．所求的c的最大值就是双曲线的一条渐近线x－y＝0与直线x－y＋1＝0的距离，此距离d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)5．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为eq\r(2)，且过点(4，－eq\r(10))．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1⊥MF2；(3)求△F1MF2的面积．解析：(1)∵e＝eq\r(2)，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．∵过点(4，－eq\r(10))，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：易知F1(－2eq\r(3)，0)，F2(2eq\r(3)，0)．∴kMF1＝eq\f(m,3＋2\r(3))，kMF2＝eq\f(m,3－2\r(3)).∴kMF1·kMF2＝eq\f(m2,9－12)＝－eq\f(m2,3).∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3.故kMF1·kMF2＝－1.即MF1⊥MF2.(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4eq\r(3)，F1F2上的高h＝|m|＝eq\r(3)，∴S△F1MF2＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)×eq\r(3)＝6.6．如图，已知椭圆的离心率为eq\f(\r(2),2)，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4(eq\r(2)＋1)，一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且它的实轴长等于虚轴长，设P为该双曲线上异于顶点的随意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A，B和C，D，其中A，C在x轴的同一侧．(1)求椭圆和双曲线的标准方程．(2)是否存在题设中的点P，使得|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，半焦距为c.由题意，知椭圆的离心率为eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，得a＝eq\r(2)c.∵2a＋2c＝4(eq\r(2)＋1)，∴a＝2eq\r(2)，c＝2，∴b2＝a2－c2＝4，∴椭圆的标准方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1，∴椭圆的焦点坐标为(±2,0)．∵双曲线为等轴双曲线，且顶点是椭圆eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1的焦点，∴该双曲线的标准方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1.(2)假设存在满意题意的点P.设P(x0，y0)，则kPF1＝eq\f(y0,x0＋2)，kPF2＝eq\f(y0,x0－2)，∵点P在双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1上，∴kPF1·kPF2＝1.设PF1的方程为y＝k(x＋2)，则PF2的方程为y＝eq\f(1,k)(x－2)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1,y＝kx＋2))，得(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－8＝0，故x1＋x2＝－eq\f(8k2,2k2＋1)，x1x2＝eq\f(8k2－8,2k2＋1).∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋k2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8k2,2k2＋1)))2－4×\f(8k2－8,2k2＋1))＝eq\f(4\r(2)1＋k2,2k2＋1)，同理|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\f(4\r(2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)))2)),2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)))2＋1)＝eq\f(4\r(2)k2＋1,2＋k2)，由题知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\f(3,