2024-2025学年高中数学第1章导数及其应用1.3.2极大值与极小值课时素养评价含解析苏教版选修2-2

PAGE课时素养评价七极大值与微小值(25分钟·60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数f(x)的定义域为R,它的导函数y=f′(x)的部分图象如图所示,则下面结论错误的是 ()A.在(1,2)上函数f(x)为增函数B.在(3,4)上函数f(x)为减函数C.在(1,3)上函数f(x)有极大值D.x=3是函数f(x)在区间[1,5]上的微小值点【解析】选D.由题图可知,当1<x<2时,f′(x)>0,当2<x<4时,f′(x)<0,当4<x<5时,f′(x)>0,所以x=2是函数f(x)的极大值点,x=4是函数f(x)的微小值点,故A,B,C正确,D错误.【拓展延长】图象信息题的处理思路(1)给出函数图象探讨函数性质的题目,要分清给的是f(x)的图象还是f′(x)的图象.(2)若给的是f(x)的图象,应先找出f(x)的单调区间及极值点,若给的是f′(x)的图象,应先找出f′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正,然后结合题目特点分析求解.2.函数f(x)=2-x2-x3的极值状况是 ()A.有极大值,没有微小值B.有微小值,没有极大值C.既无极大值也无微小值D.既有极大值又有微小值【解析】选D.f′(x)=-2x-3x2,令f′(x)=0有x=0或x=-QUOTE.当x<-QUOTE时,f′(x)<0;当-QUOTE<x<0时,f′(x)>0;当x>0时,f′(x)<0,从而在x=0时,f(x)取得极大值,在x=-QUOTE时,f(x)取得微小值.3.下列结论中,正确的是 ()A.导数为零的点肯定是极值点B.假如f′(x0)=0且在x0旁边的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值C.假如f′(x0)=0且在x0旁边的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是微小值D.假如f′(x0)=0且在x0旁边的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极大值【解析】选B.依据极值的概念,在x0旁边的左侧f′(x)>0,单调递增;右侧f′(x)<0,单调递减,f(x0)为极大值.4.函数f(x)=ax3+bx在x=1处有极值-2,则a,b的值分别为 ()A.1,-3 B.1,3C.-1,3 D.-1,-3【解析】选A.f′(x)=3ax2+b,由题意可知QUOTE解得QUOTE5.对于函数f(x)=x3-3x2,给出命题:①f(x)是增函数,无极值;②f(x)是减函数,无极值;③f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(2,+∞),单调递减区间为(0,2);④f(0)=0是极大值,f(2)=-4是微小值.其中正确的命题有 ()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选B.f′(x)=3x2-6x.令f′(x)=3x2-6x>0,得x>2或x<0;令f′(x)=3x2-6x<0,得0<x<2,所以函数f(x)在区间(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增,在区间(0,2)上单调递减.当x=0和x=2时,函数分别取得极大值0和微小值-4.所以③④正确.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数f(x)=x2e-x的极大值为____________,微小值为____________.

【解析】函数f(x)的定义域为R.f′(x)=2xe-x+x2e-x(-x)′=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x.令f′(x)=0,得x=0或x=2.当x改变时,f′(x),f(x)的改变状况如表:x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f′(x)-0+0-f(x)↘0↗↘从表中可以看出,当x=0时,函数f(x)有微小值,且f(0)=0;当x=2时,函数f(x)有极大值,且f(2)=QUOTE.答案:QUOTE0【补偿训练】1.已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1时有极值为0,则m+n=____________.

【解析】因为f′(x)=3x2+6mx+n,依题意有QUOTE即QUOTE解得QUOTE或QUOTE检验知当QUOTE时,函数没有极值.所以m+n=11.答案:112.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m∈[-1,1],则f(m)的最小值为_______________.

【解析】因为f′(x)=-3x2+2ax,由f(x)在x=2处取得极值得f′(2)=0,即-3×4+2a×2=0,故a=3.所以f(x)=-x3+3x2-4,f′(x)=-3x2+6x.由此可得f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,所以对m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.答案:-47.已知三次函数f(x),当x=1时,有极大值4,当x=3时,有微小值0,且函数过原点,则f(x)的解析式为f(x)=____________.

【解析】设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),则f′(x)=3ax2+2bx+c,由题意知QUOTE解得QUOTE所以f(x)=x3-6x2+9x.答案:x3-6x2+9x8.若函数f(x)=x3-3x2+mx在区间(0,3)内有极值,则实数m的取值范围是____________.

【解析】f′(x)=3x2-6x+m,有对称轴为x=1.若函数f(x)=x3-3x2+mx在(0,3)内有极值,则QUOTE解得-9<m<3.答案:(-9,3)三、解答题(每小题10分,共20分)9.求下列函数的极值.(1)f(x)=x3-12x.(2)f(x)=xe-x.【解析】(1)函数f(x)的定义域为R.f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2).令f′(x)=0,得x=-2或x=2.当x改变时,f′(x),f(x)的改变状况如表:x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗极大值↘微小值↗从表中可以看出,当x=-2时,函数f(x)有极大值,且f(-2)=(-2)3-12×(-2)=16;当x=2时,函数f(x)有微小值,且f(2)=23-12×2=-16.(2)f′(x)=(1-x)e-x.令f′(x)=0,解得x=1.当x改变时,f′(x),f(x)的改变状况如表:x(-∞,1)1(1,+∞)f′(x)+0-f(x)↗极大值↘从表中可以看出,函数f(x)在x=1处取得极大值,且f(1)=QUOTE.【拓展延长】求函数y=f(x)的极值的方法前提条件结论解方程f′(x0)=0,当f′(x0)=0时在x0旁边的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0f(x0)是极大值在x0旁边的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0f(x0)是微小值10.已知函数f(x)=(x-2)ex-QUOTEx2+x+2.(1)求函数f(x)的单调区间和极值.(2)证明:当x≥1时,f(x)>QUOTEx3-QUOTEx.【解析】(1)f′(x)=(x-1)(ex-1),当x<0或x>1时,f′(x)>0,当0<x<1时,f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,当x=0时,f(x)有极大值f(0)=0,当x=1时,f(x)有微小值f(1)=QUOTE-e.(2)设g(x)=f(x)-QUOTEx3+QUOTEx,则g′(x)=(x-1)ex-QUOTE-QUOTE,令u(x)=ex-QUOTE-QUOTE,则u′(x)=ex-QUOTE,当x≥1时,u′(x)=ex-QUOTE>0,u(x)在[1,+∞)上单调递增,u(x)≥u(1)=e-2>0,所以g′(x)=(x-1)QUOTE≥0,g(x)=f(x)-QUOTEx3+QUOTEx在[1,+∞)上单调递增.g(x)=f(x)-QUOTEx3+QUOTEx≥g(1)=QUOTE-e>0,所以f(x)>QUOTEx3-QUOTEx.(20分钟·40分)1.(5分)设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若x=-1为函数y=f(x)·ex的一个极值点,则下列图象不行能为y=f(x)的图象是 ()【解析】选D.因为y′=[f(x)ex]′=f′(x)ex+f(x)(ex)′=[f(x)+f′(x)]ex,且x=-1为函数y=f(x)ex的一个极值点,所以f(-1)+f′(-1)=0;图象D中,f(-1)>0,f′(-1)>0,不满意f′(-1)+f(-1)=0.2.(5分)(多选题)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx,其导函数y=f′(x)的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,则下列结论正确的是 ()A.当x=QUOTE时函数取得微小值;B.f(x)有两个极值点;C.当x=2时函数取得微小值;D.当x=1时函数取得极大值.【解析】选BCD.由题图可以看到:当x∈(-∞,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,2)时,f′(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)有两个极值点1和2,且当x=2时函数取得微小值,当x=1时函数取得极大值.只有A不正确.3.(5分)函数f(x)=x2ex在区间(a,a+1)上存在极值点,则实数a的取值范围为____________.

【解析】函数f(x)=x2ex的导数f′(x)=2xex+x2ex=xex(2+x).令f′(x)=0,得x=0或x=-2.f(x)在(-2,0)上单调递减,在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增.所以0和-2是函数的极值点.因为f(x)=x2ex在区间(a,a+1)上存在极值点,所以a<-2<a+1或a<0<a+1,解得-3<a<-2或-1<a<0.答案:(-3,-2)∪(-1,0)4.(5分)已知函数f(x)=x2+ax+1,g(x)=lnx-a(a∈R).则当a=1时,函数h(x)=f(x)-g(x)的微小值为____________.

【解析】函数h(x)的定义域为(0,+∞),当a=1时,h(x)=f(x)-g(x)=x2+x-lnx+2,所以h′(x)=2x+1-QUOTE=QUOTE,所以当0<x<QUOTE时,h′(x)<0,当x>QUOTE时,h′(x)>0,所以函数h(x)在区间QUOTE上单调递减,在区间QUOTE上单调递增,所以当x=QUOTE时,函数h(x)取得微小值为QUOTE+ln2.答案:QUOTE+ln25.(10分)设f(x)=a(x-5)2+6lnx,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).(1)确定a的值.(2)求函数f(x)的单调区间与极值.【解析】(1)因为f(x)=a(x-5)2+6lnx(x>0),故f′(x)=2a(x-5)+QUOTE.令x=1,得f(1)=16a,f′(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1).由点(0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,故a=QUOTE.(2)由(1)知,f(x)=QUOTE(x-5)2+6lnx(x>0),f′(x)=x-5+QUOTE=QUOTE.令f′(x)=0,解得x1=2,x2=3.当0<x<2或x>3时,f′(x)>0,故f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数;当2<x<3时,f′(x)<0,故f(x)在(2,3)上为减函数.由此可知f(x)在x=2处取得极大值f(2)=QUOTE+6ln2,在x=3处取得微小值f(3)=2+6ln3.6.(10分)已知函数f(x)=QUOTE图象上斜率为3的两条切线间的距离为QUOTE,f(x)的导数为f′(x),函数g(x)=f(x)-QUOTE+3.(1)若函数g(x)在x=1处有极值,求g(x)的解析式.(2)若函数g(x)在[-1,1]上是增函数,且b2-mb+4≥g(x)在[-1,1]上恒成立,求实数m的取值范围.【解析】因为f′(x)=QUOTE·x2,所以由QUOTE·x2=3得x=±a,即切点坐标为(a,a),(-a,-a),所以切线方程为y-a=3(x-a)或y+a=3(x+a),整理得3x-y-2a=0或3x-y+2a=0.所以QUOTE=QUOTE解得:a=±1,所以f(x)=x3,f′(x)=