专题3-3 椭圆离心率及其范围11类题型（原卷版）2024-2025学年高二上学期数学常考题专练（人教A版2019）-A4

20/20第页专题3-3椭圆离心率及其范围11类题型汇总总览总览题型解读TOC\o"1-3"\n\h\z\u【题型1】结合正余弦定理求离心率【题型2】利用对称性补成平行四边形【题型3】双焦点三角形模型之导边【题型4】余弦定理用2次型【题型5】结合几何性质求值【题型6】与向量结合求离心率【题型7】由齐次式方程求离心率【题型8】点差法与离心率【题型9】椭圆的第三定义与离心率【题型10】设点运算求值问题【题型11】求离心率范围题型题型汇编知识梳理与常考题型【题型1】结合正余弦定理求离心率若已知焦点三角形中某个角可以考虑结合正余弦定理求其它量已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上一点，，△的内切圆与外接圆的半径分别为，，若，则的离心率为A． B． C． D．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且，若关于平分线的对称点在上，则的离心率为________.【巩固练习1】如图所示，已知椭圆的方程为，若点为椭圆上的点，且，则的面积是.【巩固练习2】已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为A． B． C． D．【巩固练习3】设椭圆的焦点为，直线l过且和椭圆C交于A，B两点，且，则椭圆C的离心率为【题型2】利用对称性补成平行四边形椭圆具有中心对称性，若遇到焦点三角形为直角三角形或者两条焦点弦平行时可以考虑通过对称性补成平行四边形来解题已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为A． B． C． D．已知椭圆的左，右焦点分别为，过原点的直线与相交于，两点，若且，则椭圆的离心率为．已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于，两点．在中，，且满足，则椭圆的离心率为．【巩固练习1】已知为椭圆的右焦点，过原点的直线与相交于两点，且轴，若，则的长轴长为（

）A． B． C． D．【巩固练习2】（高二下·广东深圳·期末）已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．【巩固练习3】（2024·辽宁·一模）已知为椭圆的右焦点，过原点的直线与相交于两点，且轴，若，则的长轴长为（

）A． B． C． D．【巩固练习4】设椭圆的左、右焦点分别为，点在上（位于第一象限），且点关于原点对称，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【题型3】双焦点三角形模型之导边若椭圆中出现了过焦点的弦这类条件，可以分成2个焦点三角形来分析，进而找出4条焦半径之间的关系，再结合其它条件求出离心率已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．已知椭圆，，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的下顶点，直线交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l与椭圆C交于P，Q两点．若，且，则C的离心率为．已知椭圆的上、下焦点分别为、，焦距为，与坐标轴不垂直的直线过且与椭圆交于、两点，点为线段的中点，若，则椭圆的离心率为．【巩固练习1】如图所示，点是椭圆的右焦点，是椭圆上关于原点对称的两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【巩固练习2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【巩固练习3】设，是椭圆（）的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【巩固练习4】设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（

）A． B． C． D．【巩固练习5】已知椭圆（）的左、右焦点为、，圆与的一个交点为，直线与的另一个交点为，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【题型4】余弦定理用2次型若椭圆中三点组成的三角形中有一条边过椭圆焦点，可以考虑用邻补角余弦值和为零来得到一个等式.椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．已知，分别为椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，则椭圆的离心率为.【巩固练习1】已知椭圆的两个焦点为，过作直线与椭圆相交于两点，若且，则椭圆上的离心率为 （）A．B．C．D．【巩固练习2】（2024·河北沧州·二模）已知为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率为.【巩固练习3】设分别为椭圆的左、右焦点，点均在上，若，，则椭圆的离心率为 （）A．B．C．D．【巩固练习4】已知椭圆的两个焦点为，过作直线与椭圆相交于两点，若且，则椭圆上的离心率为 （）A．B．C．D．【巩固练习5】已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则椭圆的方程为A． B． C． D．【题型5】结合几何性质求值利用几何图形的性质，如对称性、相似、角度和中位线等，可以简化复杂计算。通过构建或识别图形中的几何关系，直接得出答案，避免繁琐的代数运算，提高解题效率和准确性。已知椭圆的右焦点为F，过F点作圆的一条切线，切点为T，延长FT交椭圆C于点A，若T为线段AF的中点，则椭圆C的离心率为．如图，椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上任意一点（与，不共线），M在的延长线上，PN是的角平分线，过作垂直于PN，垂足为Q，则．（2024深高级高二期末）椭圆中，为上顶点，为左焦点，过原点作的平行线与椭圆在第一象限交于点，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．（重庆南开中学期末）已知，是椭圆C：的左、右焦点，P为C上异于顶点的一点，的平分线PQ交x轴于点Q.若，则椭圆C的离心率为.【巩固练习1】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过点F作圆的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【巩固练习2】已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则实数的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【巩固练习3】已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且在第一象限，过作的外角平分线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为______.【巩固练习4】（2024武汉部分重点中学期末）已知椭圆的左焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，点在第二象限，且（如图），则椭圆的离心率为．

【巩固练习5】已知是椭圆上一点，是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（

）A． B． C． D．【题型6】与向量结合求离心率结合向量求离心率，可通过向量的模和点积等性质，先求出椭圆或半圆的长轴、短轴及焦距，再利用这些几何量计算离心率。这种方法融合了向量代数与几何分析，为求解离心率提供了新颖且有效的途径设椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线l过点.若点关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则椭圆的离心率为．已知椭圆的两个焦点为和，直线过点，点关于直线对称点在上，且，则椭圆的离心率为____________．【巩固练习1】（重庆育才中学期末）已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则的离心率为.【巩固练习2】设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（

）.A． B． C． D．【巩固练习3】椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆交于，两点（在左侧），若，则的离心率为.【题型7】由齐次式方程求离心率由已知条件得出关于a、c的齐次方程或不等式，然后转化为关于e的方程或不等式求解；已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（）A． B． C． D．设椭圆的左、右焦点分别为，，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，，则C的离心率为（

）A． B． C． D．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，过原点的直线与椭圆交于两点，椭圆上异于的点满足，，，则椭圆的离心率为（

）

A． B． C． D．【巩固练习1】（2024·山东青岛·一模）已知O为坐标原点，点F为椭圆的右焦点，点A，B在C上，AB的中点为F，，则C的离心率为．【巩固练习2】（广东湛江·高二统考期末）是椭圆上的一点，为左顶点，为右焦点，轴，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【巩固练习3】已知椭圆：的两个焦点为，，过的直线与交于A，B两点.若，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【题型8】点差法与离心率椭圆垂径定理：已知A,B是椭圆上任意2点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有 证明（点差法）：设，，则，，，∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得① ②两式相减得：，整理得∴【思考】椭圆焦点在轴上时，结论是否仍然成立？证明：设，，则，仍有，，∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得 两式相减得：，整理得∴若椭圆的弦中点坐标为，则直线的斜率为．（2024深圳南山区高二期末）过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（

）A． B． C． D．（杭州学军中学高二上）焦距为，并且截直线所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为（

）A． B．C． D．或【巩固练习1】已知椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆与，两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（

）A． B． C． D．【巩固练习2】（华中师范大学第一附属中学高二期末）已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【巩固练习3】已知直线与椭圆相交于两点.若弦被直线平分，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【巩固练习4】（23-24高二上·河北邢台·期末）已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍.(1)求的方程；(2)若倾斜角为的直线与交于，两点，线段的中点坐标为，求.【巩固练习5】不与坐标轴垂直的直线过点，，椭圆上存在两点关于对称，线段的中点的坐标为．若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【题型9】椭圆的第三定义与离心率那么点差法是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢?其实不然．其实点差法的内核还是“设而不求、整体代换”的思想，建立的是曲线上两点横纵坐标和差之间的联系，这其实也是第三定义的体现. 第三定义：平面内与两个定点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时．【第三定义推广】：平面内与两个关于原点对称的点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时．【证明】是椭圆上的一组对称点，P为椭圆上任意点，则有 证明（点差法）：设，，，，，∵P，A在椭圆上，代入坐标得① ②两式相减得：，整理得∴法二：通过椭圆的垂径定理转换 中点弦和第三定义本质上是一样的（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知点，动点P满足直线与的斜率之积为，则点P的轨迹方程．已知椭圆的左、右焦点分别为，，A为椭圆C的左顶点，以为直径的圆与椭圆C在第一、二象限的交点分别为M，N，若直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆C的标准方程为（

）A． B． C． D．（学军中学期末）设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【巩固练习1】（2024·湖北鄂州高二期末）已知椭圆C：的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率为，，若，则椭圆的方程为.【巩固练习2】已知过坐标原点且异于坐标轴的直线交椭圆于两点，为中点，过作轴垂线，垂足为，直线交椭圆于另一点，直线的斜率分别为，若，则椭圆离心率为（

）A． B． C． D．【巩固练习3】（2024重庆南开中学高二期末）若椭圆C：的离心率为，左顶点为A，点P，Q为C上任意两点且关于y轴对称，则直线AP和直线AQ的斜率之积为（

）A． B． C． D．【巩固练习4】（2024·广东湛江·一模）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为．【题型10】设点运算求值问题个别选填压轴需要设点设线联立韦达化处理，这类题计算量比一般题目大一些，一般是通过坐标转化向量和几何性质（2024深圳罗湖区高二期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，点P为E的上顶点，点Q在E上且满足，则E的离心率为（

）A． B． C． D．【巩固