专题4-3 等差数列的前n项和（原卷版）-【重难点突破】2024-2025学年高二上学期数学常考题专练（新高考）-A4

1/26第页专题4-3等差数列的前n项和总览总览题型解读TOC\o"1-3"\n\h\z\u【题型1】等差数列前n项和的基本量计算【题型2】前n项和与等差中项【题型3】片段和性质【题型4】Snn的性质【题型5】由Sn求通项公式（6种类型全归纳）【题型6】两个等差数列前n项和之比【题型7】偶数项或奇数项的和【题型8】等差数列的前n项和与二次函数的关系【题型9】等差数列前n项和的最值【题型10】含绝对值的等差数列前n项和【题型11】等差数列的简单应用【题型12】等差数列前n项和性质综合（累加，前n项积，隔项等差，奇偶数列）题型题型汇编知识梳理与常考题型【题型1】等差数列前n项和的基本量计算等差数列的前n项和公式公式一：=；公式二：=【例题1】（2024·全国·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则.【例题2】已知等差数列的前n项和为.若，且，则【例题3】已知等差数列的前n项和为，若则.【例题4】设为等差数列的前n项和，若，，若时，，则等于（

）A．11 B．12 C．20 D．22【巩固练习1】（23-24高二下·福建泉州·期末）已知等差数列an的前n项和为Sn，若a4=7，S4A．3 B．4 C．5 D．6【巩固练习2】（2023·全国·高考1卷真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．，若，求的通项公式；【巩固练习3】（24-25·湖北宜昌·期中）记为等差数列的前项和，若，，则（

）A． B． C． D．【巩固练习4】（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知为等差数列的前n项和，若，，则．【巩固练习5】（2023·全国·高考II卷真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，，求的通项公式；【巩固练习6】（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知数列和均为等差数列，它们的前项和分别为和，且，，，则（

）A． B． C． D．【题型2】前n项和与等差中项若项数为，则(an是数列的中间项)，例如，，【例题1】（2024·全国·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（

）A． B． C．1 D．【例题2】已知等差数列，其前项和为，则（

）A．24 B．36 C．48 D．64【例题3】（24-25高二上·江苏苏州·期中）等差数列的前项和为，若为定值时也是定值，则的值为（

）A．9 B．11 C．13 D．不能确定【例题4】（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）设为等差数列的前项和，若，则（

）A．5 B．10 C． D．15【巩固练习1】（24-25高三上·安徽马鞍山·期中）设等差数列的前n项和为，已知，则（

）A． B． C．1 D．2【巩固练习2】为等差数列的前n项和，，，则该等差数列的公差（

）A．1 B．2 C．3 D．4【巩固练习3】（23-24高二下·吉林·开学考试）等差数列的前项和为.若，则（

）A．8096 B．4048 C．4046 D．2024【巩固练习4】等差数列的前n项和为，若，，则公差．【巩固练习5】（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（

）A．25 B．22 C．20 D．15【巩固练习6】（24-25高二上·江苏苏州·期中）等差数列的前n项和为Sn，当为定值时，也是定值，则k的值为（

）A．11 B．13 C．15 D．不能确定【巩固练习7】已知数列的前项和为，且数列满足．若，则（

）A．9 B．10 C．17 D．19【巩固练习8】（22-23高二上·浙江台州·期末）已知等差数列的前项和为，若公差，且，则（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【题型3】片段和性质等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成等差数列.【例题1】（23-24高二下·福建福州·期中）已知等差数列的前项和为，则________【例题2】（2024·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（

）A． B． C． D．【例题3】已知等差数列的前项和为40，前项和为420，则前项和为（

）A．140 B．180 C．220 D．380所以等差数列的前项和为.【巩固练习1】（23-24高二下·河北唐山·期末）已知等差数列，前项和为，则（

）A．20 B．25 C．30 D．35【巩固练习2】（23-24高二下·广东广州·期末）在等差数列中，为其前项和，若，，则（

）A．7 B．8 C．9 D．12【巩固练习3】等差数列的前n项和，若，则（

）A．10 B．20 C．30 D．15【巩固练习4】（23-24高二上·天津·期末）设为等差数列的前项和，且，，则.【巩固练习5】（23-24高二上·福建福州·期末）在等差数列中，若，则=（

）A．100 B．120 C．57 D．18【巩固练习6】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知等差数列的前项和为，，，则（

）A．7 B．8 C．9 D．10【巩固练习7】设是等差数列的前项和，，，则.【题型4】前n项和与n的比（Snn的性质）{an}为等差数列为等差数列【例题1】已知数列为等差数列，其前项和为，且，，则（

）A．63 B．72 C．135 D．144【例题2】已知等差数列前n项和为，其中，则＝.【例题3】（2023·全国·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【例题4】在等差数列中，，其前项和为，若，则.【巩固练习1】（23-24高二下·江西萍乡·期末）已知数列an的前n项和为Sn，若Snn是等差数列，且S10A．14 B．-94 C．5【巩固练习2】已知等差数列的前项和为，且，则（

）A． B． C． D．【巩固练习3】（多选）若等差数列的公差为，前项和为，记，则（

）A．数列是公差为的等差数列B．数列是公差为的等差数列C．数列是公差为的等差数列D．数列是公差为的等差数列【巩固练习4】已知等差数列的前项和为，且，则（

）A． B． C． D．【巩固练习5】已知等差数列的前项和为，，，则.【巩固练习6】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）等差数列的通项公式为，其前项和为，则数列的前100项的和为（

）A．-10100 B．10100 C．-5050 D．5050【巩固练习7】（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（

）A． B． C． D．【巩固练习8】已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为．【题型5】由Sn求通项公式（6种类型全归纳）由Sn求通项公式一般都要验证首项是否满足通项公式1、已知与的关系；或与的关系时用，得到类型一：首项满足通项公式例：类型二：首项不满足通项公式即首项不可合并，即例：类型三：以的形式出现 例：已知求2、已知与的关系；或与的关系时，替换题中的类型四：消保留 例：①已知；②已知3、对于式子中有提到且出现关于和的二次式可以考虑利用十字相乘进行因式分解．类型五：因式分解型 例：，类型六：已知为等差数列 对于题目中已经提到为等差数列时，一般不用，得到，而是令，求基本量和【例题1】若等差数列的前n项和为，则该数列的公差为．【例题2】已知数列前n项和为，求数列的通项公式.【例题3】已知数列的前项和为，且有．求数列的通项公式.【例题4】已知数列的前n项和为，，且，求通项公式．【例题5】为数列的前项和，已知，则的通项公式=．【例题6】设等差数列前项和，，满足，，求数列的通项公式【巩固练习1】已知数列的前项和，．若是等差数列，则的通项公式为．【巩固练习2】已知数列的前项和为，若，，则数列的通项公式________【巩固练习3】已知正项数列满足，若，则（

）A． B．1 C． D．2【巩固练习4】在数列中，，求的通项公式.【巩固练习5】设为数列的前项和，已知，求【巩固练习6】设等差数列前项和，，满足，，求数列的通项公式【巩固练习7】已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列,求数列的通项公式【题型6】两个等差数列前n项和之比若{an},{bn}都为等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，则【例题1】两个等差数列，的前项和分别为，，且，则（

）A． B． C． D．【例题2】等差数列、的前项和分别为与，且，则（

）A． B． C． D．【例题3】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）设等差数列，的前项和分别为，，都有，则的值为.【巩固练习1】（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则（

）A． B． C． D．【巩固练习2】（23-24高二下·湖北·开学考试）已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为（

）A． B． C． D．【巩固练习3】设数列和都为等差数列，记它们的前项和分别为和，满足，则【巩固练习4】（22-23高二上·浙江嘉兴·期末）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（

）A． B． C． D．【巩固练习5】已知等差数列和等差数列的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【巩固练习6】已知数列，均为等差数列，其前项和分别为，，且，则使恒成立的实数的最大值为（

）A． B． C．1 D．2【巩固练习7】（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）(多选)已知等差数列和的前n项和分别为和，且，，则下列结论正确的有（

）A．数列是递增数列 B．C．使为整数的正整数n的个数为0 D．的最小值为【题型7】偶数项或奇数项的和等差数列奇偶项和的性质：1、若项数为,①则.②2、若项数为，①则(an是数列的中间项)，②，③【例题1】已知等差数列的公差，，那么（

）A．80 B．120 C．135 D．160【例题2】（23-24高二下·江西·阶段练习）已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则．【例题3】已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（

）A． B． C． D．【巩固练习1】已知是等差数列，其中，，________.【巩固练习2】一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是．【巩固练习3】已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则（

）A．8 B．9 C．10 D．11【巩固练习4】求下列两题：(1)等差数列前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求该数列的公差；(2)项数为奇数的等差数列，奇数项和为44，偶数项和为33，求该数列的中间项．【题型8】等差数列的前n项和与二次函数的关系等差数列的前n项和公式与二次函数的关系等差数列{}的前n项和，令，，则.(1)当A＝0，B＝0(即d＝0，＝0)时，＝0是常数函数，{}是各项为0的常数列．(2)当A＝0，B≠0(即d＝0，≠0)时，＝Bn是关于n的一次函数，{}是各项为非零的常数列．(3)当(即)时,是关于的二次函数式(常数项为0).数列的图象是抛物线上的一群孤立的点.【例题1】（高二下·广东佛山·期中）(多选)等差数列中，，公差，为其前n项和，对任意正整数n，若点在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线不可能是（

）A．B．C．D．【例题2】（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【巩固练习1】在等差数列中，首项，公差，为其前n项和，则点可能在下列哪条曲线上？（

）A． B．C． D．【巩固练习2】(多选)设是公差为的等差数列的前项和，则下列命题正确的是（

）A．若，则数列有最大项B．若数列有最大项，则C．若数列是递增数列，则对任意，均有D．若对任意，均有，则数列是递增数列【巩固练习3】（23-24高二上·湖北武汉·期末）(多选)已知等差数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（

）A．是递减数列 B．C．使时的最小值是21 D．最小时，【巩固练习4】（22-23高二上·湖北武汉·期末）(多选)等差数列的前项和为，若，公差，且，则下列命题正确的有（

）A．是数列中的最大项 B．是数列中的最大项C． D．满足的的最大值为【题型9】等差数列前n项和的最值求等差数列前n项和的最值的常用方法：(1)邻项变号法：①若,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得的最小值.②若,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得的最大值.(2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值.(3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值.【例题1】已知等差数列,求数列前n项和的最大值，并求解此时的n为何值.【答案】的最大值为78，此时或.【分析】判断数列的单调性，求出时的最大值，再求出前n项和即可.【详解】等差数列的公差，当时，，因此数列是递减等差数列，前12项均为正，第13项为0，从第14项起为负，所以当或时，数列前n项和最大，.【例题2】（多选）已知无穷等差数列的前项和为，，且，则（

）A．在数列中，公差 B．当时，取得最大值C． D．使的最大正整数为14【例题3】已知等差数列中，，设其前n项和为，当且仅当时取得最大值，则公差d的取值范围是（

）A． B． C． D．【例题4】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知数列是等差数列，是的前n项和，，.(1)求数列的通项公式；(2)求的最小值.【巩固练习1】为等差数列，若，，那么取得最小正值时，的值（

）A． B． C． D．【巩固练习2】已知等差数列的公差不为，其前项和为，且，，当取得最小值时，（

）A． B． C． D．【巩固练习3】（23-24高二上·山东济宁·期末）(多选)已知等差数列的前n项和为，且，则下列结论中正确的是（

）A．是递增数列 B．时，n的最大值为13C．数列中的最大项为 D．时，n的最大值为27【巩固练习4】（23-24高二下·湖北·阶段练习）(多选)设是公差为d的等差数列，为其前项的和，且，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．，均为的最大值【巩固练习5】（23-24高二上·湖北武汉·期末）(多选)已知等差数列的前项和为，公差为，且，则下列说法正确的是（

）A． B． C．当时，取得最小值 D．【巩固练习6】（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）(多选)设是公差为d的等差数列，是其前n项的和，且，，则（

）A． B． C． D．【巩固练习7】所以取得最小正值时，的值为已知等差数列的前项和为，且，则下列说法错误的是（

）A． B．C．数列是递减数列 D．中最大【巩固练习8】（22-23高二下·安徽·开学考试）已知等差数列的公差为d，首项，当且仅当时，其前n项和取得最大值，则d的取值范围是．【巩固练习9】已知等差数列中，，当且仅当时，前项和取得最小值，则公差的取值范围是.【题型10】含绝对值的等差数列前n项和找到数列中首次出现非正或非负数的位置，这通常发生在数列的中间部分，具体位置取决于和d的符号与大小。根据该转折点将数列分为两部分处理：一是所有正数项（或绝对值）的和，二是所有负数项（取其相反数后）的和。最后，将这两部分的和相加即得整个数列前n项的绝对值之和。【例题1】数列的前项和为，则数列的前项和．【例题2】已知,若，求数列的前n项和．【巩固练习1】（24-25高二上·江苏徐州·期中）在等差数列中，，，设，则（）A．281 B．651 C．701 D．791【巩固练习2】（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）记为等差数列的前项和，已知.则数列的前20项和为．【巩固练习3】已知,设，求数列的前项和.【巩固练习4】（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．【巩固练习5】（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列bn的前项和．【巩固练习6】（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）在等差数列中，的前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)求取最大值时的值；(3)设，求．【巩固练习7】等差数列的前项和为,当为何值时，最小？并求此最小值.【题型11】等差数列的简单应用【例题1】已知从冬至日起，小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影长减等寸（减等寸：以相等的尺寸减少）.若雨水的日影长为95寸，冬至､小寒､大寒､立春的日影长之和为480寸，则冬至的日影长为（

）A．135寸 B．130寸 C．125寸 D．120寸【例题2】中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务.运送“神十八”的长征二号运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，以后每秒钟通过的路程都增加3km，在达到离地面222km的高度时，火箭开始进入转弯程序，从点火到进入转弯程序大约需要12秒，则的值为.【例题3】【巩固练习1】（23-24高二上·云南迪庆·期末）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，，和求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3岁，所有儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子的岁数为（

）A．27 B．31 C．35 D．39【巩固练习2】（23-24高二上·河南洛阳·期末）周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【巩固