新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第19讲 利用导数研究函数的极值和最值（原卷版）

利用导数研究函数的极值和最值【基础知识网络图】函数极值点条件函数的极值函数极值点条件函数的极值求函数极值函数的极值和最值求函数极值函数的极值和最值函数在闭区间上的最大值和最小值函数在闭区间上的最大值和最小值【基础知识全通关】1.函数的极值函数的极值的定义一般地，设函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0及其附近有定义，（1）若对于SKIPIF1<0附近的所有点，都有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的一个极大值，记作SKIPIF1<0；（2）若对SKIPIF1<0附近的所有点，都有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的一个极小值，记作SKIPIF1<0.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.2、求函数极值的的基本步骤：①确定函数的定义域；②求导数SKIPIF1<0；③求方程SKIPIF1<0的根；④检查SKIPIF1<0在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)3、函数的最值1.函数的最大值与最小值定理若函数SKIPIF1<0在闭区间SKIPIF1<0上连续，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上必有最大值和最小值；在开区间SKIPIF1<0内连续的函数SKIPIF1<0不一定有最大值与最小值.如SKIPIF1<0.注意：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。2.通过导数求函数最值的的基本步骤：若函数SKIPIF1<0在闭区间SKIPIF1<0有定义，在开区间SKIPIF1<0内有导数，则求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的导数SKIPIF1<0；（2）求方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的根；（3）求在SKIPIF1<0内使SKIPIF1<0的所有点的函数值和SKIPIF1<0在闭区间端点处的函数值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数SKIPIF1<0在闭区间SKIPIF1<0上的最大值，最小者为函数SKIPIF1<0在闭区间SKIPIF1<0上的最小值.【考点研习一点通】考点01利用倒数解决函数的极值等问题1.已知函数SKIPIF1<0若函数SKIPIF1<0处取得极值，试求SKIPIF1<0的值，并求SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；【变式1-1】设SKIPIF1<0为实数，函数SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的单调区间与极值；(2)求证：当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．【变式1-3】函数SKIPIF1<0的定义域为区间（a，b），导函数SKIPIF1<0在（a，b）内的图如图所示，则函数SKIPIF1<0在（a，b）内的极小值有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点02利用导数解决函数的最值问题2、已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(Ⅰ)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极值，求SKIPIF1<0的值；(Ⅱ)求SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最小值；(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，若SKIPIF1<0，求证：当SKIPIF1<0时，恒有SKIPIF1<0成立．【变式2-1】已知函数SKIPIF1<0(SKIPIF1<0),SKIPIF1<0.(1)若曲线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0在它们的交点(1,SKIPIF1<0)处具有公共切线,求SKIPIF1<0的值;(2)当SKIPIF1<0时,求函数SKIPIF1<0的单调区间,并求其在区间SKIPIF1<0上的最大值.【变式2-2】已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－SKIPIF1<0与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间（2）若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。【变式2-3】已知函数SKIPIF1<0.(1)试讨论f(x)的单调性；(2)若b＝c-a(实数c是a与无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是SKIPIF1<0，求c的值.考点03导数在研究实际问题中最值问题的应用4.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为SKIPIF1<0立方米，且SKIPIF1<0．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为SKIPIF1<0千元．设该容器的建造费用为SKIPIF1<0千元．(1)写出SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的SKIPIF1<0．【考点易错】1、设函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的函数，满足SKIPIF1<0，且对任意的SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0，已知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则有（）A．函数SKIPIF1<0的最大值是1，最小值是SKIPIF1<0B．函数SKIPIF1<0是周期函数，且周期为2C．函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，在SKIPIF1<0上递增D．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<02、.已知函数f(x)=x+2x3、设函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与SKIPIF1<0轴平行，求SKIPIF1<0；(2)当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的图象恒在SKIPIF1<0轴上方，求SKIPIF1<0的最大值.【巩固提升】1、已知SKIPIF1<0为正实数，若函数SKIPIF1<0的极小值为0，则SKIPIF1<0的值为A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．22、已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为A．2 B．3 C．4 D．63、若函数SKIPIF1<0有两个不同的极值点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04、已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的导函数．(Ⅰ)当SKIPIF1<0时，(i)求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(ii)求函数SKIPIF1<0的单调区间和极值；(Ⅱ)当SKIPIF1<0时，求证：对任意的SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0．5、设函数SKIPIF1<0．(1)讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)若SKIPIF1<0存在极值，对于任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围．6、已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，总有SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值；(2)对于SKIPIF1<0中任意SKIPIF1<0恒有SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围.7、已知函数SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.(1)求a；(2)证明：SKIPIF1<0存在唯一的极大值点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.8、已知函数：SKIPIF1<0(I)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的最小值；(II)对于任意的SKIPIF1<0都存在唯一的SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，求实数a的取值范围．9、已知函数SKIPI