2023届高考数学二轮复习试题专题06 等差数列与等比数列 （解析版）

专题06等差数列与等比数列

一、核心先导

二、考点再现

【考点11等差数列

1、等差数列的判断方法：定义法4m-q=d(d为常数)或j一%=q-%(〃>2)

2、等差数列的通项san=4+(n-l)d或an=am+(n-m)d。

①当dwO时，等差数列的通项公式a“=q+(〃-10=飙+4々是关于〃的一次函数，且斜率为公差d；

3、等差数列的前〃和：5“二〃©；*,5〃=〃4+若24。

①前〃和，=〃％+3=Dd=&/+(&)〃是关于〃的二次函数且常数项为0.

flII

4、等差中项：若a,A〃成等差数列，则A叫做。与Z?的等差中项，且A="。

2

①当机+〃=〃+4时，则有4”+%=cj+4，特别地，当相一〃二2〃时，则有册+为=2’.

5、若｛可｝是等差数列，S”,S2〃-5〃,S3“-S2”，…也成等差数列.

【考点2】等比数列

1.等比数列的定义-------（证明或判断等比数列）为=g（q为常数），

%

nm

2.等比数列的通项公式：4=%/或%=atuq-。

3.等比数列的前〃和：

①当9=1时，s〃=叫；②当4工1时，5“二4―

\-q\-q

4、等比中项：

⑴、若。,4力成等比数列，那么A叫做4与力的等比中项,A2=abo

⑵、当m+〃=p+夕时,则有a】n,an=ap•aq。

5、若｛%｝是等比数列，S”,S2〃-S”,S3”-S2“，…也成等比数列.

三、解法解密

等差数列与等比数列作为两种基本的数列，是高考中数列考查的重中之重，值得关注.考查的形式主

要有等差数列、等比数列的实际应用以及等差数列、等比数列与其他知识的综合.在复习中，要紧抓以下

几个方面：

方法1.关注两种基本方法:研究等差数列、等比数列的基本方法就是“基本量法”及活用好它们的“对

称性”；

方法2.领悟等差数列、等比数列的两类本质：等差数列、等比数列是两类特殊数列，又是两类特殊的函

数,这种双重身份，注定它们必然是高考中的重点、难点，故而，学习中，要从“函数”及“数列”这两个方面

来认识它们；

方法3.两类数学思想:分类讨论思想以及函数与方程的思想是解决数列问题所经常使用的两类数学思

想

四、考点解密

题型一:等差数列与等比数列基本量的计算

例L（1）、（2022•四川省遂宁市教育局模拟预测（文））若｛〃,｝为等差数列，S”是数列｛q｝的前〃项和，

4+4=14,5；=35,则%-4等于（）

A.7B.6C.5D.4

【答案】D

【分析［根据题意，设等差数列｛q｝的公差为d,进而建立方程组求解得4=2,再计算即可.

【详解】解：根据题意，设等差数列｛q｝的公差为"，

因为《+4=14,5-=35

4+&=2。［+8d=14d=2

所以《解得

57=74+214=35

所以。3-4=2d=4.

故选：D

（2）、（2022•福建福州•高二期末）（多选题）已知等差数列｛叫的公差为d,前〃项和为5.，为=16,%=12.则

（）

A.d=-2B.4=20

C.生+4=28D.S.取得最大俏时，/?=11

【答案】ABC

【解析】

【分析】

利用基本量代换，求出通项公式，即可验证A、B、C；由通项公式判断出〃410时，%>（）,%=。，〃之12

时，凡<0可以得至lJ$o=S”最大,即可判断选项D.

【详解】

a,=a,+2d=16fa,=20

因为%=16,%=12,所以「解得：1枚选项A、B正确；

所以=4-1）"=22-2〃.

对于C：因为q=22-2〃，所以牝+4=18+10=28,故C正确；

对干D：因为=22-2〃,所以4=22-2x11=0.

因为〃K10时，。”>0；〃之12时,an<0；所以用）=5”最大.故D错误.

故选：ABC

【变式训练『1】、（2022•四川•宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（文））已知等比数列｛%｝中，4=4,

%=9,则%=.

【答案】6

【分析】由等比数列的性质求解即可

【详解】由等比数列的性质可得：讳=%%=36,

由等比数列中奇数项的符号相同，

所以e=6,

故答案为：6

【变式训练1-2】、（2021•云南•模拟预测（文））已知｛6｝为等差数列，S”为其前〃项和.若4=-7,邑=-15,

则4=•

【答案】7

【解^1?】

【分析】

根据题意得等差数列｛%｝的公差为4-2,再根据通项公式求解即可.

【详解】

解：设等差数列的｝的公差为“，因为％=-70=75

4=—7

所以0°»…解得"=2,

53=3«1+3tz=-15

所以勺=2〃-9,所以4=2x8-9=7.

故答案为：7

题型二:等差中项与等比中项的应用

例2.（1）、（2022.山东泰安.模拟预测）若等差数列满足％-“9=6,则它的前13项和为（）

A.110B.78C.55D.45

【答案】B

【分析】根据等差数列的通项公式及前〃项和公式即可求解.

【详解】设等差数列｛凡｝的首项为4,公差为d,则

因为24-偈=6,所以2（4+7d）-（%+8d）=6,即4+6d=6.

13x31

所以S”=13q4.0-）t/=13（4+6d）=13x6=78.

故选：B.

（2）.（2022•河南焦作•一模（文））设｛an｝和也｝都是等差数列，前〃项和分别为S.和7；,若©+%+%=6,

4+。+4+4]=12,则｝=(

)

,II

n13

A.竺BD.—

33-1c・II

【答案】A

【解析】

【分析】

利用等差数列的性质分别求得%=2,"=3,再利用等差数列前〃项和公式求解.

【详解】

由等差数列的性质可得q+-3%=6,

所以弓二2；

因为々+/+〃）+%=2b6+2/%=12,

所以％=3.

由等差数列的前〃项和公式可得5="（%+%）=曳心生=26,""（」+*）=山也=33,

LL*26

所以东■=£1.

7|18

故选：A

【变式训练2-1】、（2022•安徽黄山•一模（文））在等比数列也｝中，％,心是方程丁-小+9=0的两

根，则2生的值为（）

%

A.713B.3C.±713D.+3

【答案】B

【分析】利用韦达定理可得斗后=%4+%=13,从而得到4>0,%>°，即可得到的>。，再根据等比

数列下标和性质计算可得.

【详解】因为是方程f—13x+9=O的两根，所以。出=9,—13,

所以q>0,%>。，又｛4｝为等比数列，则的=4/>o,

所以443=。242=%2=9,所以为=3或%=-3（舍去），

所以丝&=%=3

%

故选：B.

【变式训练2-2】、（2022湖北荆门市龙泉中学二模〉正项等比数列｛%｝中，内必，-%成等差数列，且存

在两项勺，4”（，〃，〃eN.）使得4am•4=4q,则,+*的最小值是（）

mn

A.2B.-C.1+近D.不存在

43

【答案】B

【分析】由等比数列通项公式及等差中项的性质可得4=2,进而有利+〃=6,利用基本不等式T”的代换求

目标式最小值，注意等号是否成立.

【详解】由题设24=%-%，若如｝公比为4>。且可>。，则/-9-2=（4+1）（“-2）=0,

所以夕=2,

由亚方=4q，则a"""'®；,故2'"+"-2=]6，可得加+〃=6,

所以‘+2=’（工+3）（加+〃）=,（6+4+迦）2，（6+2\因-独）=1+立,而什屈=甄二5”,故等

mn6mn6mn6Vwn32

号不成立，

工J1455，W（3,4）,故当〃=3,〃?=3if；]—+—=2,n=4,tn=2—+—=—,

2ninmn4

71s7

显然2>—,故〃=4,〃?=2时—I■—最小值为—.

4mn4

故选：B

题型三:求数列的前n项和

例3.（1）、（2022•山西运城•模队预测（文））已知数列也｝中，《=4,凡M=；/（qi-3）+a,数歹U塞

的前〃项和为S”，则（）

33

A.0<S2022<1B.1<S2022V5C./<S2022V2D.2<S2022<3

【答案】A

【分析】根据数列单调性的定义及裂项相消法求出S”，进而即可求解.

【详解】由题得，凡+[-%=：凡（%-3）+3-q=1（q「3f..0,又4=4>3,

JJ

所以生-6>0.所以生>q>3,可得可讨>%.所以数列｛为｝是递增数列.

-以限-3>1,所以。〈上“

所以5"一『所

以0<S2O22<1.

故选:A.

（2）.（2022.安徽.合肥市第七中学高二期末）已知数列｛q｝的前〃项和5”=2,，-〃+1,则其通项公式凡=

2,〃=1

【答案】

An-3,n>2,neN'

【解析】

【分析】

利用当时，勺=S,「S"T，可求出此时的通项公式，验证〃=1时是否适合，可得答案.

【详解】

当“22时，4=S”―S_L2/—“+]_[2GLI）2_（,L1）+1]=4“―3,

当〃=1时，4=2-1+1=2不适合上式，

.2,n=1

“4/2-3,/?>2,nsN*

2,/i=1

故答案为：〈

4n-3,n>2,neN*

【变式训练3-1】、（2022•四川绵阳•一模（理））已知等比数列｛〃“｝的各项均为正数，设S”是数列｛%｝的

前n项和，且。2=2,4=8，贝I」，=

【答案】31

【分析】利用等比数列通项公式，结合4>。，可求得公比夕=2,进而得到q,利用等比数列求和公式可

求得结果.

【详解】设等比数列｛4｝的公比为4,

Vdn>0,/.<7>0,又炉=幺=4,.・.4=2,.•.4="=1,

%q

故答案为：31.

【变式训练3-2】、（2022•河南•开封市东信学校模拟预测（理））已知数列｛可｝满足

4=2,。,用一2=q+2〃(〃eN),则数列B-

的前2022项的和为.

……2022

【答案]^7

2023

【分析】利用累加法求数列的通项公式，再利用裂项相消法求数列的前2022项的和即可.

【详解】由题意可知,满足q=2,小川一%=2〃+2,

当〃22时，an-a„_]=2(〃-1)+2=2〃,

.•.令-4=4,%6,4-%=8,,〃”一勺_]=2〃，以上各式累加得,

q=4+(4-4)+3一生)+3-％)++(—)=2+4+6+8++2〃.

(2+2〃)/?

=n(n+1),

2

当〃=1时，4=2,也满足上式，+则｝二〃（〃[）=：-/y.

・•・数列镇置1的前〃项和为o5“二1+丁1，+「11-51+51丁+厂1斯1=,|一1商二zn1

2022

2023

2（P2

故答案为：砺

题型四:判断或证明等差、等比数列

例4、(2022.吉林长春.模拟预测)已知数列｛qj满足：q=2,〃％川+(〃+1)=(〃+2)%+(〃+/

(1)证明：数列+是等差数列；

Q)设2:坐贸，求数列他｝的前〃项和S”.

【答案】(1)证明见解析

SJ1

(2)n-2-(/i+l)-2n+,

【分析】(1)先根据递推公式的特征，将其整理变形为

--兽r+=二再移项即可讦明：

(〃+1)(〃+2)n[n+2)+〃(〃+2)

⑵由(1)可得：4=〃2(〃+I),所以1=百一(,鬲).西,利用裂项求和的方法即可求解.

【详解】(1)将〃*+(〃+1)=6+2)4+(〃+1)3两侧同除"5+1)5+2),

可得%।1二可।(〃+】)[_3________「=〃'2-=]

(n+l)(n+2)n(n+2)+〃("+2)(〃+1)("+2)n(w+l)〃(〃+2)

又因为3=1，

1x2

即数列是首项为1，，公差为1的等差数列.

(2)由(I)可知，磊=a+(〃-1)'1=〃，即4="(〃+1),

*<Ir4।11IX/

_"5+2)=〃+2_1________]

人n~2n^-n2(n+l)~n(n+l)2n+l+*

「

3=1111+,••+11

“1-2'2"2"3"n-2n(〃+1>2向

11

~2~(n+l)-2n+l,

【变式训练4-1】、（2022•河南•模拟预测（理））若数列｛4｝满足4=2,4.「24=3"T.

（1）证明:血+「女才是等比数列;

⑵没｛外｝的前〃项和为5“，求满足S”<2023的〃的最大值.

【答案】（I）证明见解析

（2）?

【分析】（1）根据题意构造数列证明等比，求出首项及公比即可，

（2）巾⑴求出｛-—%“｝的通项公式，与题中等式联立，求出｛q｝通项公式，进而求出前〃项和为S“，代数使得

S”<2023即可求出〃的最大值.

【详解】⑴证明：因为--21=3”T,

所以八一21=3"必弓.弓•卡，

3

又4=2,则%=5,%-3q=-1,

故也用-3q｝是以一1为苜项,2为公比的等比数歹ij.

(2)由⑴得凡*一34=-2二①,

又%-2%=产②，

②一①得4=2”-，3”，

故5”=%+%++4

=(20+2'+..+2,,-|)+(3°+3,++32)

=r-i+-(3rt-i)=2;,+—

2Vf22

易得｛S“｝为递增数列，

xS7=1220<2023.Sg=3535>2023,

5.<2023,故〃的最大值为7.

题型五:综合应用

例5.（1）、（2022•河南省叶县高级中学模拟预测（文））中国公民身份号码编排规定，女性公民的顺序

码为偶数，男性为奇数，反映了性别与数字之间的联系；数字能谱以1，2,3,4,5,6,7代表音阶中的7

个基本音阶，反映了音乐与数字之间的联系，同样我们可以对几何图形赋予新的含义，使几何图形与数字

之间建立联系.如图1，我们规定1个正方形对应1个三角形和1个正方形，1个三角形对应1个正方形，在

图2中，第1行有1个正方形和1个三角形，第2行有2个正方形和1个三角形，则在第9行中的正方形

的个数为（）

…第1行

人..…第2行

图1图2

A.53B.55C.57D.59

【答案】B

【分析】根据题意将题中所给的信息转化为数列递推公式关系〃用=凡+2,2%,通过递推从而得出

结果.

【详解】设％为第〃行中正方形的个数，5为第〃行中三角形的个数，由于每个正方形产生下•行的1个

三角形和1个正方形,

每个三角形产生下一行的1个正方形，则有%=a.

整理得4f+]=4+4“（〃之2）,且0=1,%=2,

则%=%+%=3,4=/+。2=5,见=%+%=8,=^+£74=13,

Oj=a6+a5=2\,。8=%+4=34,%=%+%=55.

故选：B.

（2）、（2021•全国•模拟预测）在流行病学中，基本传染数凡是指在没有外力介入，同时所有人都没有免

疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.凡一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次

接触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数4=3（注：对于4>1的传染病，要隔离感染

者，以控制传染源，切断传播途径），那么由1个初始感染者经过六轮传染被感染（不含初始感染者）的

总人数为（注：初始感染者传染凡）个人为第一轮传染，这几个人每人再传染几个人为第二轮传染……）

【答案】1092

【解析】由题意分析，传染模型为•个4=1国=a.=3等比数列，可解.

【详解】由题意：4=1,。=凡=3

所以=3'T

第六轮的传染人数为由

所以前六轮被传见的人数为S?-。=--1=1092.

1-3

故答案为：1092

【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：

求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语

言转化成数学语言，建立相应的数学模型；

【变式训练5-1J.(2022•浙江宁波•一模)南宋的数学家杨辉“善于•把已知形状、大小的几何图形的求面积、

体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题“，在他的专著《详解九章算法•商功》中，杨辉将堆垛与相应立

体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3

I11

个，第三层放6个，第四层放10个第〃层放劣个物体堆成的堆垛，则一+—++—=.

4a2ai0

【答案】Y7

【分析】由累加法即可求得凡,再利用裂项相消法即可求解.

【详解】由题可知：4=1,“2=3,%=6LL,

即有4一/一I=〃(〃22),

所以4=%+(%-4)+(%-4)++(%-《一)

"2+3+4+-+〃=智，当成立

222

所以/E

〃+1

I1

所以一+一十

4a24。223341()11

故答案为：YY

【变式训练5-2】、（202式可南郑州•三模（文））1967年,法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线

有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建

立了以这类图形为对象的数学分支一分形几何.分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明

它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1,

线段4B的长度为1,在线段AB上取两个点C,D,使得==以CO为一边在线段A8的上方

做一个正三角形，然后去掉线段8,得到图2中的图形；对图2中的线段EC、£力作相同的操作，得到图

3中的图形；依此类推，我们就得到了以下•系列图形：

____J\_

ACDBACDB

图1图2图3图4

记第〃个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为S”，对任意的正整数〃，都有S.V。，则〃的最

小值为.

【答案】2.

【分析】根据图形之间的关系可得S”的递推关系，从而可求｛SJ的通项公式，故可求〃的最小值.

【详解】设第〃个图形中新出现的等边三角形的边长为4,则当〃22时,

设第〃个图形中新增加的等边三角形的个数为“，则当〃22时，”=2"-2,

故x2”“，其中〃22,

「，一2「

由累加法可得s“=i+T图+图++停）=i4x3x啕

,7=1时，£=1也符合该式，故S“=2-

故S.<2对任意的〃>1恒成立，故心2即4的最小值为2.

故答案为：2.

【点睛】方法点睛：与图形相关的数列的计算问题，•般根据相邻图形的变化关系寻找目标数列的递推关

系，再根据其形式得到通项，从而解决图形的计算问题.

五、分层训练

A组基础巩固

1.（2022•全国•安阳市第二中学模拟预测（理））我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图

所示，将I,2,3,…，9填入3x3的方格内，使得三行、三列、对角线的三个数之和都等于15,便得到一

个3阶幻方；一般地，将连续的正整数1,2,3,…，/填入〃k〃个方格中，使得每行、每列、每条对角

线上的数的和都相等，这个正方形叫作〃阶幻方.记〃阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为S”，

如$3=45,那么10阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为（）

A.555B.101C.505D.1010

【答案】C

【分析】利用等差数列求和公式得到Ro=5050,进而求出10阶幻方每行、每列、每条对角线I：的数的和.

0000

【详解】由题意得：5|0=1+2+3++100J",）=5050,

故10阶幻方每行、每列、每条对角线.1二的数的和均为5050+10=505.

故选:C

2.（2022・四川省遂宁市教育局模拟预测（理））设数列｛4｝是等差数列，3是数列｛4｝的前〃项和，4+4=14,

S?=35,则邑等于（）

A.10B.15C.20D.25

【答案】B

【分析】根据给定条件求出等差数列｛q｝的首项及公差即可得解.

【详解】因数列｛〃”｝是等差数列，由等差数列的性质知：4=生|%=7,

而用=£^、7=7。4=35,则《=5,

等差数列｛〃"｝公差d=%=2,首项6=4-3d=-1,

:

贝IjS5=5ay+—-----d=-5+20=15.

故选:B.

3.（2022.四川绵阳•一模（理））已知S”是等差数列｛〃”｝的前〃项和，若品=57,则3%-q-4=（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】B

【分析】利用等差数列的求和公式，结合等差中项的性质，解得〜=3,根据等差数列整理所求代数式，可

得答案.

【详解】由题意，1=19（。广）=史争=%。=57,解得4o=3,设等差数列｛4｝的公差为"，

则3%一4一包=3（%+44）-4-（q+3d）=q+94=4）=3.

故选：B.

4.（2022•黑龙江•哈九中模拟预测（理））在等差数列｛〃“｝中S.为前〃项和，％=2&-4，则卫=（）

A.28B.30C.32D.36

【答案】D

【分析】根据题意，由等差数列的性质可得6=4,由等差数列前〃项和的性质计算可得答案.

【详解】根据题意，等差数列｛4｝中，若弓=24-4,则24-%=4,

即生+4一〃7=4、即4=4,

则品="此9…,

故选：D.

5.（2022•云南云南•模拟预测）设等差数列｛4｝的前〃项和为S.,3%+2《=35,则（）

A.56B.63C.67D.72

【答案】B

【分析】结合等差数列通项公式亿简等式，可求得火,再结合59=驾匈=史笠=9%求值即可;

【详解】设应｝的公差为d,则网+2%=3（4+2d）+2（4+7d）=5（4+4J）=5%=35,所以的=7,所以

2

故选：B

6.（2022・北京北师大实验中学模拟预测）设等差数列g“｝的前〃项和为S.，若4=9,6+4=2,则当S。

取最大值〃等于（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】根据题中等式求解出等差数列的公差，进而求解出数列的前〃项和S“，最后根据S”的表达式求解

出结果

【详解】设公差为乩则a4+4=2n4=l=9+4d=l=d=—2,

因此S“=9〃+gx〃（〃—l）x（_2）=T『+10〃，所以当〃=5时，S”取最大值

故选：B

7.（2022•山东淄博・三模）已知正项等比数列｛%｝的前〃项和为S”，且-4,£,邑成等差数列.若存在两项

金，/（〃?，wN'）使得-4=8%,则'+?的最小值是（）

inn

in8

A.16B.2C.—D.—

33

【答案】B

【分析】由一知条件及等差中项的性质可得4=2,结合百花=8%可得〃-〃=8,再应用基本不等式“1”

的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件.

【详解】由题设252=53，，即2（q十七）=勺+%=次％十%），又｛%｝为正项等比数列,

所以g=2,a„>0t

w+rt2

由弧百=轴，则。4*1=64/,gp2-=64,

所以〃?+〃=8,

则-!-+2=_!_乂（"!-+2）（机+〃）=_1X（10+巴+也）2,又（10+2^^^）=2,

inn8mn8mn8Vmn

当且仅当九=3/n=6时等号成立,满足N*,

19

所以上+己的最小值为2.

mn

故选：B

8.（2022・全国•模拟预测（文））在数列｛〃“｝中，％=1,〃（〃+l）（%+|-4）=1（〃eN*）,plljaX22=（）

4043「2021—4040、2020

A.----B.----C.----D.----

2022202220212021

【答案】A

【分析】变形给定的等式，利用累加法及裂项相消法求解作答.

【详解】因为〃5+1)(4+]-4,)=1，则.(J1)=：一='

(1\\(11、，1'

当〃N2时，a=(a-a_)+(a_-a_)++(a-a)+a=--――+—-------+++1

nnnxnxn221]、〃一[n)\-z〃-i/\z/

=_'+1+1=上，显然4=1满足上式，即有为=上，

nnn

4043

卜力以。2022=

2022

故选：A

9.(2022•四川省内江市第六中学模拟预测(理))已知数列｛q｝的前〃项和S“满足S”=〃(4〃+D(〃€N')，

若数列也,、满足a二ci%+上3，则病1+1病+…+厂I厂=()

4*2帅3-

A^21B2020c2021口

・202?,2021"2022'8088

【答案】D

【分析】已知工=4〃2+〃，则有品=4〃2—7〃+3,做差求%,再检验〃=1,求出｛4｝的通项公式，代入

求也,｝,裂项法求和计算结果.

【详解】S.=47+〃，

当〃22时，S〃7=4(〃-1)2+〃-1=4〃2-7,?+3

4,二S”-S,i=8〃一3(〃22),

当〃=1时，q=5,S；=5,q=S1,所以。”=8〃-3

,。”+38〃-3+3.

b=———=----------=2n.

”44

!，.I二IJ1=1(1L)

”)也.I2/t-2(n+l)4+n+l)

1111111I111、1、120212021

结2b2b3%0%必412232020202120212022J412022J420228088

故选：D.

10.(2022.辽宁.模拟预测)如图是美丽的“勾股树”，将一个直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形

而得到如图①的第I代“勾股树”，重复图①的作法，得到如图②的第2代“勾股树”，…,以此类推,记第〃

代“勾股树”中所有正方形的个数为%,数列｛q｝的前〃项和为S”，若不等式S.>2022恒成立，则〃的最小

值为（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【分析】根据第1代“勾股树”，第2代“勾股树”中，正方形的个数，以此类推，得到第〃代“勾股树”中所有

正方形的个数,即勺，从而得到个求解.

【详解】解:第1代“勾股树”中，正方形的个数为3=2“一，第2代“勾股树”中，正方形的个数为7=22“一，…,

以此类推，第〃代"勾股树''中所有正方形的个数为2e-1，即可=2--1,

所以S.J。2-

"1-2

因为勺>0,所以数列6｝为递增数列，

又$8=1012<2022,S9=2035>2022,

所以〃的最小值为9.

故选：C.

11.（2022•河南•模拟预测（文））已知数列｛〃〃｝的前〃项和S〃满足S“=〃2,记数列」—的前〃项和为

Tn,则使得乃。的值为（）

19c38-20n40

A・—B.—C.—D.—

39394141

【答案】C

【分析】先求出4=2n-l,再用裂项相消法求出乃0.

【详解】对于殍=〃2,

当片1时，6=5=1：

当〃22时，/=S“_S“T=n2-(n-\)2=2n-\：

经检验，q=2，?-1对〃=1也成立，所以%=2〃-1.

所以上=______!__=10___O,

—+i(2/2-1)(2/z+1)2\ln—\2n+l)

所y以％=万If1.一彳I+彳1-彳I++而1一1句1=2彳0

故选：C

12.(2022・山东济南•模拟预测)设｛q｝是首项为1的等比数列，S”是其前〃项和，若%4-2牝=0,则S$=

【答案】31

【分析】设｛4｝的公比为4,根据已知条件求出q的值，再利用等比数列的求和公式可求得邑的值.

【详解】设｛叫的公比为夕，因为。必一2%=0,所以qV-2q/=0,即炉一2/=0,

解得夕=2,所以S，=—彳=31.

故答案为：31.

13.(2022.四川省南充高级中学模拟预测(文))记S”为正项等比数列｛q｝的前〃项和，若$3=14,4=2,

a,+4

则：的值为.

【答案】2

【分析】设正项等比数列｛〃“｝的公比为q,根据等比数列的前〃项和公式，即可求出公比q,再根据等比数

列的性质可知&产=夕，由此即可求出结果.

【详解】设正项等比数列｛4｝的公比为

当q=l时，邑=14,6=2不能同时成立；

当9工I时，因为I为正项等比数列｛q｝的前〃项和，且»=14吗=2,

所以a二吐I”即(1-讷十4%

\-q\-q

所以d+”1=7,所以夕=2(q=-3(舍去))，

又山=昆』,所以T的值为2

故答案为：2.

14.(2022•山东泰安•二模)已知数列｛4｝是公差大于0的等差数列，4=2,且4+2,。4,%-4成等比

数列，则％。=.

【答案】20

【分析】先利用。：=(6+2)(4-4)解出公差"，再通过等差数列计算与即可.

【详解】设公差为d,则〃;=(%+2)(4—4),即(2+34)2=(2+24+2)(2+54-4),化简得1+4,/-12=(),

解得d=2或d=-6,又4>0,故1=2,则4o=4+9d=2O.

故答案为：20.

15.(2022•新疆石河子一中模拟预测(理))等差数列｛4｝的公差为2,前〃项和为S.,若勺，%构

成等比数列，则S“=.

【答案】〃(〃+1)

【分析1根据等比中项的性质有《=%%，结合等差数列通项公式求基本量外,再利用等差数列前〃项和公

式求

【详解】由题设，裙=4必，则(4+6)2=(4+2)(4+14),可得q=2,

所以。“=%+(〃一Dd=2%故s“=〃(％；%)=〃(〃+])

故答案为：〃(〃+1)

16.(2022.广东.模拟预测)已知数列｛〃“｝是首项为1的等差数列，其前〃项和为S“，且2s9-306=54,记

,1，、

n=(a.1)(//.41)-则数列出｝的前〃项和＜=

n

【答案】

4/2+4

【分析】利用等差数列前〃项和的基本量运算可得d=2,然后利用裂项相消法即得.

【详解】设等差数列｛为｝的公差为"，则由<=1，2S9-356=54,

得2，堂士蚓-3、如山辿=54,

22

解得d=2.

所以=1+2(〃-1)=2〃-1,

助以'(。”+1)(4川+1)4〃(〃+1)〃+1,

,、11I11)n

所以数列也｝的前〃项和7；=公1--+---+••+-------=-------

■乙乙Dnn+\)4n+4

故答案为:

4〃+4

17.(2022•陕西•西安中学模拟预测(文))在等差数列｛4｝中，%=15,生+生=18,若数列｛(-1)”可｝的前

〃项之和为S",则S］的=.

【答案】100

【分析】根据给定条件，利用等差数列性质计算首项、公差，再借助并项求和法求解作答.

【详解】设等差数列｛勺｝公差为d,由24=%+延=18得：4=9,则〃=*£=(2=2,

/，-1

4=%+(〃-4)d=2〃+l,当〃为偶数时,(-1)an_x+(-1)/'an=a,,-an_i=d=2,

所以Si®=(%一4)+(，-4)++(goo-。)=5()x2=I(X).

故答案为：100

18.(2022.内蒙古.赤峰二中模拟预测(理))如图所示，是毕士哥拉斯(Py由。goras)的生长程序：正方

形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，…，如此继续，若一共能得

到1023个正方形.设初始正方形的边长为灰，则最小正方形的边长为.

=<x>

【答案】士

16

【分析】记初始正方形的边长为《，经过n-1次生长后的正方形的边长为%,经过n-1次生长后正方形的

个数为2,结合题意得到数列｛4｝是以贬为首项，乎为公比的等比数列，"=l+2+2?++2〃T,由此

即可求出最小正方形的边长.

【详解】记初始正方形的边长为《，经过n-1次生长后的正方形的边长为氏,经过n-1次生长后正方形的

个数为“，

由题可知，数列｛4｝是以血为首项，9为公比的等比数列,

由题可知，b=1+2+2?++2,1-|=1—1=2H-1»

"2-1

令"=2"-1=1023,解得〃=10,

I-31

二•最小正方形的边长为4。=22=—,

16

故答案为：—.

Io

【点睛】本题以图形为载体，考查了等比数列的通项公式和求和公式，是数列的应用问题，关键在于提炼

出等比数列的模型，正确利用相应的公式，属于中档题.

19.（2022•河南•模拟预测（理））已知数列｛/｝为等比数列，公比^＞。，首项4=1,前三项和为7,

q%Lan=1024,贝lj〃=.

【答案】5

【分析】首先利用条件求等比数列的通项公式，再根据通项公式，列式求〃的值.

【详解】由条件可知，4+/+。3=7,即1+9+^=7,q＞°,

解得：q=2,所以凡=2小，

（“-3（n-l）n

2510

axa2...an=1-2•2•2•••=2~^~=1024，即—=*

得〃2-〃-20=0,解得：〃=5或也=一4（舍）.

故答案为：5

20.（2022・湖南益阳•模拟预测）在单调递增数列｛%｝中，已知％=1,%=2,且生“T，出”,电用成等比数

列，生“•见“+2成等差数列那么Goo=.

【答案】2550

【分析［根据条件，推导1M2”+1之间的关系，再计算出通项公式即可.

【详解】因为数列｛q｝单调递增，4=1,故勺＞。，

由已知条件得2%““=a2n+a2rn2,a；n=⑸.冉山(〃eN”)，aln^=%“+G+3

化简可得2电,用=4—+3，

在等式左右两边同时除以向二，化简得27^1=向二+向二，

故数列｛向:｝(〃eN)为等差数列,q=y=4A,

4

所以数列｛疯二｝的首项为石=1,公差为-施=1,

故=1+〃-1=必，即

aa

因为*=2n-t2^，可得a2n=Ql+lf=〃(〃+1),

故当〃为偶数时，％=；〃(〃+2)