第01讲平面向量的概念线性运算及坐标运算（学生版）

第01讲平面向量的概念、线性运算及坐标运算（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布4年考情考题示例考点分析关联考点2023年新I卷，第3题,5分平面向量线性运算的坐标表示向量垂直的坐标表示利用向量垂直求参数2022年新Ⅱ卷，第4题,5分平面向量线性运算的坐标表示数量积及向量夹角的坐标表示2021年新Ⅱ卷，第10题,5分坐标计算向量的模数量积的坐标表示逆用和、差角的余弦公式化简、求值二倍角的余弦公式2020年新Ⅱ卷，第3题,5分向量加法的法则向量减法的法则无2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分【备考策略】1了解向量的实际背景,理解平面向量的基本概念,理解向量的几何表示2掌握向量的加、减运算并理解其几何意义3掌握向量的数乘运算并理解其几何意义以及两个向量共线的含义4理解向量的线性运算性质及其几何意义5会向量间的坐标运算【命题预测】本节一般考查平面向量的基本概念、线性运算及坐标运算，易理解，易得分，需重点复习知识讲解1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．3.向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁．（1）若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.（2）P为线段AB的中点⇔eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→)))．4.向量的坐标运算两点间的向量坐标公式：，，终点坐标始点坐标向量的加减法，，向量的数乘运算，则：向量的模，则的模相反向量已知，则；已知单位向量向量的平行关系，，考点一、平面向量基本概念的综合考查1．（辽宁·高考真题）已知点则与同方向的单位向量为A． B． C． D．2．（福建·高考真题）对于向量和实数，下列命题中真命题是(

)A．若，则或 B．若，则或C．若，则或 D．若，则1．（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）下列说法中正确的是（

）A．单位向量都相等B．平行向量不一定是共线向量C．对于任意向量，必有D．若满足且与同向，则2．（2023·北京大兴·校考三模）设，是非零向量，“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件考点二、平面向量线性运算的综合考查1．（2020·新高考全国2卷·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（

）A． B． C． D．2．（安徽·高考真题）若，,则（）A．（1，1） B．（－1，－1） C．（3，7） D．（3,7）3．（北京·高考真题）已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（）A． B．C． D．4．（上海·高考真题）在平行四边形中，下列结论错误的是（

）A． B．C． D．5．（福建·高考真题）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于A． B． C． D．6．（四川·高考真题）如图，正六边形中，（

）A． B． C． D．1．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）如图，在长方体中，化简（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江·统考二模）设是平行四边形的对角线的交点，则（

）A． B． C． D．考点三、平面向量共线定理及平行向量（共线向量）坐标运算的综合考查1．（宁夏·高考真题）平面向量，共线的充要条件是A．，方向相同B．，两向量中至少有一个为零向量C．，D．存在不全为零的实数，，2．（山东·高考真题）已知向量、满足，，，则一定共线的三点是A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D3．（海南·高考真题）平面向量，共线的充要条件是（

）A．，方向相同 B．，两向量中至少有一个为零向量C．， D．存在不全为零的实数，，4．（广东·高考真题）已知平面向量，，且，则等于（

）A．（2，4） B．（3，6） C．（5，10） D．（4，8）5．（福建·高考真题）已知向量，，且，则．6．（全国·高考真题）已知向量，，．若，则．1．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知向量，若，则实数（

）A．5 B．4 C．3 D．22．（2023·江苏盐城·统考三模）已知是平面四边形，设：，：是梯形，则是的条件（

）A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，向量，，，若A，B，C三点共线，则的值为（

）A． B． C． D．4．（2023·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测）已知向量，，．若，则实数的值为（）A． B． C． D．5．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）设向量不平行，向量与平行，则实数（

）A． B． C． D．6．（2023·山西临汾·统考一模）已知，为不共线的非零向量，，，，则（

）A．，，三点共线 B．，，三点共线C．，，三点共线 D．，，三点共线7．（2023·全国·模拟预测）（多选）有关平面向量的说法，下列错误的是（

）A．若，，则 B．若与共线且模长相等，则C．若且与方向相同，则 D．恒成立【基础过关】一、单选题1．（2023·河北·高三学业考试）化简所得的结果是（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高三对口高考）如图正六边形中，（

）

A． B． C． D．3．（2023·河北·高三学业考试）如图，正六边形中，（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·高三对口高考）给出下列四个命题：①若，则；②若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点；③若，则；④若，，则；其中正确的命题的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1二、多选题5．（2023·全国·高三专题练习）给出下面四个结论，其中正确的结论是（

）A．若线段，则向量B．若向量，则线段C．若向量与共线，则线段D．若向量与反向共线，则三、填空题6．（2023·河南·统考二模）已知不共线，向量，，且，则．7．（2023·海南·校联考模拟预测）已知向量，，，若点，，三点共线，则实数．8．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测），是两个不共线的向量，已知，，且三点共线，则实数.9．（2023·全国·高三专题练习）设，是两个不共线的非零向量，若向量与的方向相反，则.10．（2023·全国·高三对口高考）已知，则与向量平行的单位向量的坐标为．【能力提升】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知，且三点共线，则（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（

）A． B．或C．或 D．3．（2023·全国·高三专题练习）若都为非零向量，则“”是“与共线”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．（2023春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习）已知为单位向量，则“”是“存在，使得”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）下列说法正确的是（

）A．若，则与的方向相同或者相反B．若，为非零向量，且，则与共线C．若，则存在唯一的实数使得D．若，是两个单位向量，且．则6．（2023·河北·校联考三模）对于平面内个起点相同的单位向量，若每个向量与其相邻向量的夹角均为，则与的位置关系为（

）A．垂直 B．反向平行 C．