34函数的应用(一)(典例精讲)-2021-2022学年高一数学精讲检测(人教A版2019)

3.4函数的应用（一）典例精讲典例精讲一、一次函数模型解决实际问题【例1】(技巧点拨：构造一次函数型）一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸A．215份 B．350份C．400份 D．250份【答案】C【分析】设每天从报社买进份报纸时，根据题意求得函数的解析式，结合一次函数的性质，即可求解．【详解】设每天从报社买进（，）份报纸时，每月所获利润为元，具体情况如下表．数量/份单价/元金额/元买进2卖出3退回则推销员每月所获得的利润又由在上单调递增，所以当时，取得最大值8700．故选C．即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为8700元．故选C．【对点实战】1、已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为()A． B． C． D．【答案】A【分析】利用两边之和大于第三边及边长为正数可得函数的定义域.【详解】由题设有，由得，故选A.二、二次函数模型解决实际问题【例2】(技巧点拨：一元二次型）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟【答案】B【详解】由图形可知，三点都在函数的图象上，所以，解得，所以，因为，所以当时，取最大值，故此时的t=分钟为最佳加工时间，故选B.【例3】(技巧点拨：一元二次最值型）为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策，由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.某大学毕业生校照相关政策投资销售一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量(单位:件)与销售单价(单位:元)之间的关系近似满足一次函数:.（1）设他每月获得的利润为(单位:元)，写出他每月获得的利润与销售单价x的函数关系式，并求出利润的最大值.（2）相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于元.如果他想要每月获得的利润不少于元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少?【答案】（1），；（2）.【分析】（1）每件的销售利润乘以每月的销售量即为利润，利用二次函数的性质即可求最值；（2）令可得的范围，设政府每个月为他承担的总差价为元，由一次函数的性质即可求差价的取值范围.【详解】（1）依题意可得：每件的销售利润为元，每月的销售量为件，所以每月获得的利润与销售单价x的函数关系式为：，对称轴为，开口向下，此时最大值为，所以利润与销售单价x的函数关系式，最大利润为元.（2）由每月获得的利润不小于元，得，即，解得：，这种节能灯的销售单价不得高于元，所以，设政府每个月为他承担的总差价为元，则，由可得，所以政府每个月为他承担的总差价的取值范围是元.【对点实战】2.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销售中发现，这种商品每天的销量（件）与每件的售价（元）满足一次函数：．若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为A．30元 B．42元 C．54元 D．越高越好【答案】B【分析】先建立二次函数，再利用配方法求出取得最大值时的销售定价．【详解】设每天的销售利润为元，则，，将上式配方后得，当时，取得最大值.故每件商品的售价定为42元时，每天才能获得最大的销售利润.3.某商店试销一种成本单价为40元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量（件）与销售单价（元/件）可近似看作一次函数的关系．设商店获得的利润（利润销售总收入总成本）为元．（1）试用销售单价表示利润；（2）试问销售单价定为多少时，该商店可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？【答案】（1）；（2）当销售单价为70元/件时，可获得最大利润900元，此时销售量是30件．【分析】（1）由利润销售总收入总成本可得答案；

（2）对于配方法即可求得最大值．【详解】（1）.（2），∴当销售单价为70元/件时，可获得最大利润900元，此时销售量是30件．三、分段函数模型解决实际问题【例4】(技巧点拨：分类讨论分段型）已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，汽车离开A地的距离x(千米)与时间t(小时)之间的函数表达式是()A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意分段求解,再按分段函数形式列函数解析式.【详解】依题意，到达地需要＝2.5小时；所以当时，；当时，；当时，．所以汽车离开A地的距离与时间之间的函数表达式是.【例5】(技巧点拨：分段最值型）十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2020年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本）（2）当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）；（2）生产百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为万元.【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论，即可得出函数关系式；（2）根据（1）的结果，由二次函数性质，以及基本不等式分别求出两段的最大值，即可得出结果.【详解】（1）由题意，当时，；当时，；所以；（2）当时，，当且仅当时，；当时，(当且仅当，即时，“”成立)因为，所以，当时，即年生产百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为万元.【对点实战】4.某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为10000元，每天需要房租水电等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入与店面经营天数的关系是，则总利润最大时店面经营天数是___.【答案】200【分析】根据题意，列出分段函数，分段求最值，即可得到结论．【详解】解：由题意，时，，时，；时，，天时，总利润最大为10000元故答案为：200．5.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．【答案】（1）（2）3333辆/小时【详解】（1）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为（2）依题并由（1）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．答：（1）函数v（x）的表达式（2）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．四、“对勾”等函数模型解决实际问题【例6】(技巧点拨：对勾型）年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产.已知该厂家生产某种产品的年固定成本为万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足千件时，(万元).当年产量不小于千件时，(万元).每件商品售价为万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（1）写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）；（2）当年产量为千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为万元.【分析】（1）可得销售额为万元，分和即可求出；（2）当时，利用二次函数性质求出最大值，当，利用基本不等式求出最值，再比较即可得出.【详解】解：（1）因为每件商品售价为万元，则千件商品销售额为万元，依题意得：当时，，当时，，所以；（2）当时，，此时，当时，即万元.当时，，此时，即万元，由于，所以当年产量为千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为万元.【例7】(技巧点拨：分式最值型）用洗衣机洗衣时，洗涤并甩干后进入漂洗阶段.每次漂洗都经历放水、漂洗、甩干三个过程.每次漂洗时，衣服的残留物都能均匀溶于水，在甩干时也能被均匀甩出，并且每次甩干后重量（残留物和水分重量总和）不变.假设衣服在洗涤并甩干后，残留物与水分共有千克，其中水分占.（1）求第一次漂洗后剩余残留物与这次漂洗放入水的重量的函数关系式；（2）若进行两次漂洗，加入水总重量为千克，求剩余残留物的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的等式，即可解得关于的函数关系式；（2）设第一次漂洗后残留物为，第一次加入水量为，第二次加入的水量为则有，求得，利用基本不等式可求得的最小值.【详解】（1）由题知：，即；（2）设第一次漂洗后残留物为，第一次加入水量为，第二次加入的水量为则有，，即，，即，，当且仅当时，等号成立，故二次漂洗后残留物的最小值为【例8】(技巧点拨：“幂”函数型）某工厂在某年12月份的产值是这年1月份的产值的m倍，则该厂在本年度的产值的月平均增长率为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先假设增长率为，再根据条件可得，从而可解．【详解】由题意，该厂去年产值的月平均增长率为，则.解得：故选：D．【对点实战】6.经市场调查，新街口某新开业的商场在过去一个月内（以30天计），顾客人数（千人）与时间（天）的函数关系近似满足（），人均消费（元）与时间（天）的函数关系近似满足（1）求该商场的日收益（千元）与时间（天）（，）的函数关系式；（2）求该商场日收益的最小值（千元）．【答案】（1）；（2）千元【详解】试题分析：（1）根据该商场的日收益=顾客人数×人均消费的钱数得w（t）与t的解析式；（2）根据第一问得到w（t）为分段函数，分别求出各段的最值，第一段运用基本不等式求出最值，第二段是一个递减的一次函数求出最值比较即可（1）（2）时，单调递增，最小值在处取到，；时，单调递减，最小值在时取到，单调递减，最小值在时取到，则最小值为，由，可得最小值为．答：该商场日收益的最小值为千元．五、综合运用所学知识解决实际问题【例9】(技巧点拨：综合应用型）某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨、3x吨．(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．【答案】（1）（2）甲户用水量为5x＝7.5吨，付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；乙户用水量为3x＝4.5吨，付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．【解析】试题分析：（1）当，即时，，所以.1分当,,即,.3分当,即时,,4分综上:5分(2)由(1)知:当时,;当时,;当时,.所以若甲、乙两户共交水费26.4元时,7分所以,解得:；9分所以甲户用水量为7.5吨,应缴水费元;乙户用水量为4.5吨，应缴水费元．10分【例10】(技巧点拨：含参讨论型）如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知且设，绿地面积为.(1)写出关于的函数关系式，并指出这个函数的定义域．(2)当为何值时，绿地面积最大？【答案】（1）y＝－2x2＋（a＋2）x，0<x≤2；（2）当时，AE＝时，绿地面积取最大值；当a≥6时，AE＝2时，绿地面积取最大值2a－4.【详解】（1）SΔAEH＝SΔCFG＝x2，SΔBEF＝SΔDGH＝(a－x)(2－x)．∴y＝SABCD－2SΔAEH－2SΔBEF＝2a－x2－(a－x)(2－x)＝－2x2＋(a＋2)x．由，得∴y＝－2x2＋(a＋2)x，其定义域为．（2）当，即a<6时，则x＝时，y取最大值．当≥2，即a≥6时，y＝－2x2＋(a＋2)x，在0，2]上是增函数，则x＝2时，y取最大值2a－4．综上所述：当a<6时，AE＝时，绿地面积取最大值；当a≥6时，AE＝