考点08静态平衡问题

03相互作用——力[考点08]静态平衡问题静态平衡问题常用方法1．合成法：物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方向相反，据此画出这两个力合成的平行四边形，利用几何知识求解．2．正交分解法：物体受到三个或三个以上力的作用而平衡，将物体所受的力分解到相互垂直的x、y轴上，则x轴与y轴上各分力的合力均为零．3．相似三角形法：在三力平衡问题中，矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似比进行计算.4．矢量三角形法：把表示三个力的有向线段构成一个闭合的三角形，常用于非特殊角的一般三角形．5．整体法与隔离法：将加速度相同的几个物体作为一个整体来分析的方法称为整体法;将研究对象与周围物体分隔开来分析的方法称为隔离法.分析平衡问题的基本思路1．明确平衡状态(合力为零)．2．巧选研究对象．3．受力分析(画出规范的受力分析图)．4．列平衡方程(灵活运用力的合成法、效果分解法、正交分解法)．5．求解或讨论(解的结果及物理意义)．典例1(合成法)(2020·全国卷Ⅲ·17)如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连．甲、乙两物体质量相等．系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β.若α＝70°，则β等于()A．45°B．55°C．60°D．70°答案B解析取O点为研究对象，O点在三力的作用下处于平衡状态，对其受力分析如图所示，FT1＝FT2，两力的合力与F等大反向，根据几何关系可得2β＋α＝180°，所以β＝55°，故选B.典例2(正交分解法)(2022·江西八所重点中学联考)如图甲所示，推力F垂直斜面作用在斜面体上，斜面体静止在竖直墙面上，若将斜面体改成如图乙所示放置，用相同大小的推力F垂直斜面作用到斜面体上，则下列说法正确的是()A．墙面受到的压力一定变小B．斜面体受到的摩擦力一定变小C．斜面体受到的摩擦力可能变大D．斜面体可能沿墙面向上滑动答案B解析受力分析如图所示甲图中，FN1＝Fcosθ，Ff1＝mg＋Fsinθ≤Ffm；乙图中，FN2＝Fcosθ，所以墙面受到的压力不变，A项错误；若Fsinθ＝mg，则Ff2＝0，若Fsinθ＞mg，则Ff2方向向下，Ff2＝Fsinθ－mg，若Fsinθ＜mg，则Ff2方向向上，Ff2＝mg－Fsinθ，所以斜面体受到的摩擦力一定变小，B项正确，C项错误；因为墙面受到的压力没有变，所以Ffm不变，甲图中，Ff1＝mg＋Fsinθ≤Ffm，推不动斜面体，乙图中，Ff2＝Fsinθ－mg，肯定比Ffm小，所以斜面体肯定不沿墙面向上滑动，D项错误．典例3(相似三角形法)(2022·重庆市三峡联盟模拟)如图所示，一轻杆两端固定两个小球A、B，A球的质量是B球质量的3倍，轻绳跨过滑轮连接A和B，一切摩擦不计，平衡时OA和OB的长度之比为()A．1∶2 B．2∶1C．1∶3 D．1∶4答案C解析设绳上拉力为FT，OA长L1，OB长L2，过O点做竖直向下的辅助线交与AB为C点，如图所示，利用力的三角形和长度三角形相似有eq\f(FT,mAg)＝eq\f(L1,OC)；eq\f(FT,mBg)＝eq\f(L2,OC)得eq\f(L1,L2)＝eq\f(1,3)，故A、B、D错误，C正确．典例4(矢量三角形法)(2023·全国·专题练习)如图所示，长度为L1的木棒一端支在光滑竖直墙上的A点，另一端B点被轻质细线斜拉着挂在墙上的C点而处于静止状态，细线与木棒之间的夹角为，A、C两点之间的距离为L2，墙对木棒的支持力为F，重力加速度为g，下列说法正确的是()A．细线与竖直墙之间的夹角的正弦值为 B．木棒受到三个力（或延长线）可能不交同一点C．细线对木棒的拉力大小为 D．木棒的质量为答案C解析A．设细线与竖直墙之间的夹角为，在△ABC中由正弦定理可得.解得.故A错误；B．根据共点力平衡的原理，木棒受到的三个力（或延长线）一定交于同一点，故B错误；CD．设细线的拉力为T，木棒的质量为m，对木棒受力分析如图，由力的平衡条件有，.结合综合解得，.故C正确，D错误.故选C.典例5(整体法与隔离法)(2022·黑龙江鹤岗市第一中学高三月考)如图甲所示，A、B两小球通过两根轻绳连接并悬挂于O点，已知两轻绳OA和AB的长度之比为eq\r(3)∶1，A、B两小球质量分别为2m和m，现对A、B两小球分别施加水平向右的力F1和水平向左的力F2，两球恰好处于如图乙的位置静止，此时B球恰好在悬点O的正下方，轻绳OA与竖直方向成30°，则()A．F1＝F2 B．F1＝eq\r(3)F2C．F1＝2F2 D．F1＝3F2答案C解析由题意知两轻绳OA和AB的长度之比为eq\r(3)∶1，B球恰好在悬点O的正下方，由几何关系可知，OA与AB垂直；以B球为研究对象，受力示意图如图甲所示，由平衡条件得F2＝mgtan(90°－30°)＝eq\r(3)mg，以A、B两球整体为研究对象，受力示意图如图乙所示，由平衡条件得F1－F2＝3mgtan30°＝eq\r(3)mg，可得F1＝2eq\r(3)mg，即F1＝2F2，故C正确．1.(2021·江苏省1月适应性考试·3)如图所示，对称晾挂在光滑等腰三角形衣架上的衣服质量为M，衣架顶角为120°，重力加速度为g，则衣架右侧对衣服的作用力大小为()A.eq\f(1,2)Mg B.eq\f(\r(3),3)MgC.eq\f(\r(3),2)Mg D．Mg答案B解析对衣服进行受力分析，如图所示：由几何关系知，衣架左、右侧对衣服的作用力FN与竖直方向的夹角为30°，则有2FNcos30°＝Mg，得FN＝eq\f(\r(3),3)Mg，故选B.2.如图所示，小圆环A吊着一个质量为m2的物块并套在另一个竖直放置的大圆环上，有一细绳一端拴在小圆环A上，另一端跨过固定在大圆环最高点B的一个小滑轮后吊着一个质量为m1的物块．如果小圆环A、滑轮、绳子的大小和质量以及相互之间的摩擦都可以忽略不计，绳子不可伸长，平衡时弦AB所对的圆心角为α，则两物块的质量之比m1∶m2应为()A．cos

eq\f(α,2) B．sin

eq\f(α,2)C．2sin

eq\f(α,2) D．2cos

eq\f(α,2)答案C解析对小圆环A受力分析，如图所示，FT2与FN的合力F与FT1大小相等，由矢量三角形与几何三角形相似，可知eq\f(FT2,R)＝eq\f(F,2Rsin\f(α,2))，其中FT2＝m2g，F＝FT1＝m1g，联立解得eq\f(m1,m2)＝2sineq\f(α,2)，C正确．3.(多选)如图所示，轻质光滑滑轮两侧用轻绳连着两个物体A与B，物体B放在水平地面上，A、B均静止．已知A和B的质量分别为mA、mB，绳与水平方向的夹角为θ(θ<90°)，重力加速度为g，则()A．物体B受到的摩擦力可能为零B．物体B受到的摩擦力大小为mAgcosθC．物体B对地面的压力可能为零D．物体B对地面的压力大小为mBg－mAgsinθ答案BD解析轻绳拉力FT＝mAg，对B，在水平方向有Ff＝FTcosθ＝mAgcosθ，在竖直方向地面对B的支持力FN＝mBg－FTsinθ＝mBg－mAgsinθ，由牛顿第三定律可知，选项B、D正确；当mBg＝mAgsinθ时，FN＝0，此时物体B不可能静止，选项A、C错误．4.如图所示，两个质量均为m的小球通过两根轻弹簧A、B连接，在水平外力F作用下，系统处于静止状态，弹簧实际长度相等．弹簧A、B的劲度系数分别为kA、kB，且原长相等．弹簧A、B与竖直方向的夹角分别为θ与45°.设A、B中的拉力分别为FA、FB，小球直径相比弹簧长度可忽略，重力加速度为g，则()A．tanθ＝eq\f(1,2) B．kA＝kBC．FA＝eq\r(3)mg D．FB＝2mg答案A解析对下面的小球进行受力分析，如图甲所示．根据平衡条件得：F＝mgtan45°＝mg，FB＝eq\f(mg,cos45°)＝eq\r(2)mg；对两个小球整体受力分析，如图乙所示，根据平衡条件得：tanθ＝eq\f(F,2mg)，又F＝mg，解得tanθ＝eq\f(1,2)，FA＝eq\r(2mg2＋F2)＝eq\r(5)mg，由题图可知两弹簧的形变量相等，则有：x＝eq\f(FA,kA)＝eq\f(FB,kB)，解得：eq\f(kA,kB)＝eq\f(FA,FB)＝eq\f(\r(5),\r(2))，故A正确，B、C、D错误．5.(多选)如图所示，质量为M、半径为R的半球形物体A放在水平地面上，通过最高点处大小不计的钉子用水平细线拉住一质量为m、半径为r的光滑球B.重力加速度为g，则()A．A对地面的压力等于(M＋m)gB．A对地面的摩擦力方向向左C．A对B的支持力大小为eq\f(R＋r,R)mgD．细线对B的拉力大小为eq\f(r,R)mg答案AC解析对A、B整体受力分析，受重力和支持力，相对地面无相对滑动趋势，故不受摩擦力，根据平衡条件知，支持力等于整体的重力，根据牛顿第三定律知，整体对地面的压力与地面对整体的支持力大小相等，故A对地面的压力等于(M＋m)g，故A正确，B错误；对B受力分析，如图所示，根据平衡条件得：F＝eq\f(mg,cosθ)，FT＝mgtanθ，其中cosθ＝eq\f(R,R＋r)，tanθ＝eq\f(\r(R＋r2－R2),R)，故F＝eq\f(R＋r,R)mg，FT＝mgeq\f(\r(R＋r2－R2),R)，故C正确，D错误．6.三个相同的建筑管材(可看作圆柱体)静止叠放于水平地面上，其截面示意图如图所示，每个管材的质量均为m.各管材间接触，设管材间光滑、管材与地面间粗糙．重力加速度为g，对此下列说法中正确的是()A．管材与地面接触处的压力大小为eq\f(\r(3),3)mgB．上下管材接触处的压力大小为eq\f(\r(3),3)mgC．管材与地面接触处没有摩擦力D．下方两管材之间一定有弹力答案B解析由对称性知，上面管材的受力情况左右对称，下面两个管材的受力情况相同，整体分析三个管材竖直方向受力平衡，有2F地＝3mg，则F地＝eq\f(3,2)mg，即管材与地面接触处的压力大小为eq\f(3,2)mg，故A错误；隔离上面管材，其受力如图所示，则2Fcos30°＝mg，解得：F＝eq\f(\r(3),3)mg，故B正确；隔离下面管材，左右两管材不挤压，则下方两管材之间没有弹力，左右两管材相对于地面有向外的运动趋势，所以地面对两管材有摩擦力，故C、D错误．7．如图所示，三个重均为100N的物块，叠放在水平桌面上，各接触面水平，水平拉力F＝20N，作用在物块2上，三条轻质绳结于O点，与物块3连接的绳水平，与天花板连接的绳与水平方向成45°角，竖直绳悬挂重为20N的小球P.整个装置处于静止状态．则()A．物块1和2之间的摩擦力大小为20NB．水平绳的拉力大小为20NC．桌面对物块3的支持力大小为320ND．物块3受4个力的作用答案B解析对物块1受力分析，受重力和支持力，假如受水平方向的摩擦力，则不能保持平衡，故物块1和物块2间的摩擦力为零，A错误；对O点受力分析，受到三根绳子的拉力，如图，根据平衡条件有，x方向：FT2cos45°＝FT1，y方向：FT2sin45°＝GP，解得FT1＝GP＝20N，所以水平绳中的拉力大小为20N，B正确；对物块1、2、3整体受力分析，受重力、支持力、向左的拉力、水平绳的拉力，竖直方向：FN＝3G＝300N，C错误；对物块1和物块2整体研究，受重力、支持力、向左的拉力F和向右的静摩擦力Ff23，根据平衡条件得：Ff23＝F＝20N；对物块3受力分析，2、3间向左的摩擦力为20N，水平绳向右的拉力也为20N，则3与桌面间摩擦力为零，故3受重力、支持力、压力、2对3的摩擦力、绳子拉力，共5个力作用，D错误．8.用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中，如图所示．已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，重力加速度为g，则ac绳和bc绳中的拉力大小分别为()A.eq\f(\r(3),2)mg，eq\f(1,2)mg B.eq\f(1,2)mg，eq\f(\r(3),2)mgC.eq\f(\r(3),4)mg，eq\f(1,2)mg D.eq\f(1,2)mg，eq\f(\r(3),4)mg答案A解析对结点c受力分析如图所示，设ac绳上的拉力为F1、bc绳上的拉力为F2，根据平衡条件知F1、F2的合力F与重力mg等大、反向，由几何知识得F1＝Fcos30°＝eq\f(\r(3),2)mg，F2＝Fsin30°＝eq\f(1,2)mg.选项A正确．9.如图所示，两根完全相同的轻弹簧a、b上端固定在竖直墙壁上，下端连接在小球上．小球静止时，弹簧a、b与竖直方向的夹角分别为53°和37°(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)，则a、b两弹簧的伸长量之比为()A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,3)C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,4)答案A解析对小球受力分析，受到重力和两个弹簧的弹力，如图所示，则有：eq\f(Fa,Fb)＝eq\f(mgsin37°,mgcos37°)＝eq\f(3,4)，而Fa＝kxa，Fb＝kxb，解得eq\f(xa,xb)＝eq\f(3,4).故A正确，B、C、D错误．10．(2019·全国卷Ⅲ)用卡车运输质量为m的匀质圆筒状工件，为使工件保持固定，将其置于两光滑斜面之间，如图所示．两斜面Ⅰ、Ⅱ固定在车上，倾角分别为30°和60°.重力加速度为g.当卡车沿平直公路匀速行驶时，圆筒对斜面Ⅰ、Ⅱ压力的大小分别为F1、F2，则()A．F1＝eq\f(\r(3),3)mg，F2＝eq\f(\r(3),2)mgB．F1＝eq\f(\r(3),2)mg，F2＝eq\f(\r(3),3)mgC．F1＝eq\f(1,2)mg，F2＝eq\f(\r(3),2)mgD．F1＝eq\f(\r(3),2)mg，F2＝eq\f(1,2)mg答案D解析分析可知工件受力平衡，对工件受到的重力按照压紧斜面Ⅰ和Ⅱ的效果进行分解，如图所示，结合几何关系可知工件对斜面Ⅰ的压力大小为F1＝mgcos30°＝eq\f(\r(3),2)mg，对斜面Ⅱ的压力大小为F2＝mgsin30°＝eq\f(1,2)mg，选项D正确，A、B、C错误．11.如图所示是某幼儿园的一部直道滑梯，其滑道倾角为θ.一名质量为m的幼儿在此滑道上匀速下滑．若不计空气阻力，重力加速度为g，则该幼儿()A．所受摩擦力为mgsinθB．所受摩擦力为mgcosθC．对滑道压力为mgsinθD．对滑道压力为mgtanθ答案A解析对幼儿进行受力分析，由平衡条件得沿倾斜滑道方向：Ff＝mgsinθ，A正确，B错误；垂直倾斜滑道方向：FN＝mgcosθ，C、D错误．12.(多选)如图所示，两根等长的轻绳将日光灯悬挂在天花板上，两绳与竖直方向的夹角都为45°，日光灯保持水平，所受重力为G.则()A．两绳对日光灯拉力的合力大小等于GB．两绳的拉力和重力不是共点力C．两绳的拉力大小均为eq\f(\r(2),2)GD．两绳的拉力大小均为eq\f(G,2)答案AC解析对日光灯受力分析如图，两绳拉力的作用线与重力作用线的延长线交于一点，这三个力是共点力，B选项错误；由于日光灯在两绳拉力和重力作用下处于静止状态，所以两绳的拉力的合力与重力G等大反向，A选项正确；由于两个拉力的夹角为直角，且都与竖直方向成45°角，则由力的平行四边形定则可知G＝eq\r(F12＋F22)，且F1＝F2，故F1＝F2＝eq\f(\r(2),2)G，C选项正确，D选项错误．13.(2021·大庆市东风中学阶段练习)如图所示，质量为m的小球套在竖直固定的光滑圆环上，轻绳一端固定在圆环的最高点A，另一端与小球相连，小球静止时位于环上的B点，此时轻绳与竖直方向的夹角为60°，则轻绳对小球的拉力大小为(重力加速度为g)()A．mg B.eq\r(3)mgC．2mg D.eq\f(\r(3),2)mg答案A解析对B点处的小球受力分析，如图所示，则有FTsin60°＝FNsin60°;FTcos60°＋FNcos60°＝mg.解得FT＝FN＝mg，A正确．14．(多选)(2021·西安市周至中学高一期末)将两个相同的光滑斜面固定在水平地面上，并将两块光滑的挡板AB和CD分别固定在斜面上，其中一块与斜面垂直，另一块沿竖直面，然后将两个重力为G、表面粗糙的相同小球分别置于两斜面的挡板上，分别如图甲、乙所示，斜面倾角为θ，下列说法正确的是()A．挡板对小球的支持力之比为1∶1B．挡板对小球的支持力之比为cosθ∶1C．斜面对小球的支持力之比为1∶1D．斜面对小球的支持力之比为cos2θ∶1答案BD解析由于斜面和挡板均光滑，小球不受摩擦力，分别以小球为研究对象，受力分析如图甲、乙所示正交分解得FN1＝Gsinθ，FN2＝Gcosθ;FN3＝Gtanθ，FN4＝eq\f(G,cosθ);所以eq\f(FN1,FN3)＝cosθ，eq\f(FN2,FN4)＝cos2θ，B、D正确．15.如图所示，一质量为M的楔形木块放在水平桌面上，它的顶角为90°，两底角为α和β；a、b为两个位于斜面上质量均为m的小木块，已知所有接触面都是光滑的，重力加速度为g.现发现a、b沿斜面下滑，而楔形木块静止不动，这时楔形木块对水平桌面的压力等于()A．Mg＋mgB．Mg＋2mgC．Mg＋mg(sinα＋sinβ)D．Mg＋mg(cosα＋cosβ)答案A解析对木块a受力分析，如图，受重力和支持力，由几何关系，得到：FN1＝mgcosα，由牛顿第三定律得木块a对楔形木块的压力为：FN1′＝mgcosα①同理，木块b对楔形木块的压力为：FN2′＝mgcosβ②对楔形木块受力分析，如图，根据共点力平衡条件，得到：FN2′cosα－FN1′cosβ＝0③F支－Mg－