专练05随机变量与分布列20题-2022年高考数学总复习高频考点必刷1200题

专练05随机变量与分布列20题一、单选题1．（2021·山东·广饶一中高三月考）设随机变量，已知，则（）A．0.95 B．0.05 C．0.975 D．0.425【答案】A【分析】服从标准正态分布，利用标准正态分布的对称性可求得其概率．【详解】.故选：A.2．（2021·重庆南开中学高三月考）在一次试验中，随机事件A，B满足，则（）A．事件A，B一定互斥 B．事件A，B一定不互斥C．事件A，B一定互相独立 D．事件A，B一定不互相独立【答案】B【分析】根据互斥事件和独立事件的概率的定义进行判断即可【详解】若事件A，B为互斥事件，则，与矛盾，所以，所以事件A，B一定不互斥，所以B正确，A错误，由题意无法判断是否成立，所以不能判断事件A，B是否互相独立，所以CD错误，故选：B3．（2021·海南·三模）“三个臭皮匠顶个诸葛亮”是一句俗语，比喻人多智慧多．假设每个“臭皮匠”单独解决某个问题的概率均为，现让三个“臭皮匠”分别独立处理这个问题，则至少有一人解决该问题的概率为（）A． B． C． D．0．936【答案】D【分析】由相互独立事件的概率公式可得三个臭皮匠都没有解决问题的概率，由对立事件的概率性质计算可得答案.【详解】“至少有一人解决该问题”的对立事件为“三人都未解决”，故所求的概率为．故选：D4．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，所以2个0不相邻的概率为.故选：C.5．（2021·四川成都·高三月考（理））若随机事件，满足，，，则（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据，计算得到，然后根据条件概率的计算公式计算即可.【详解】由题可知：所以所以故选：D6．（2018·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心高三学业考试）已知随机变量ξ满足P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝x，P(ξ＝2)＝－x，则当在内增大时，（）A．E(ξ)增大，D(ξ)增大 B．E(ξ)减小，D(ξ)增大C．E(ξ)减小，D(ξ)减小 D．E(ξ)增大，D(ξ)减小【答案】C【分析】利用，的计算公式求出，再利用函数的单调性即可判断出结论.【详解】随机变量满足，，，，.若，则随增大，减小，减小.故选：C7．（2021·广东荔湾·高三月考）一个盒中装有大小相同的1个黑球与2个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出，则在此过程中恰有1次取到黑球的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意得：可分成两种情况，即当三次取球的顺序为黑白白，白黑白，分别计算概率再相加，即可得到答案；【详解】由题意得：可分成两种情况：（1）当三次取球的顺序为：黑白白，其概率为；（2）当三次取球的顺序为：白黑白，其概率为；在此过程中恰有1次取到黑球的概率为，故选：C8．（2021·山东·高三月考）已知随机变量满足，且，则分别是（）A．5，3 B．5，6 C．8，3 D．8，6【答案】B【分析】根据二项分布及均值求得，从而可得方差，再由变量间的关系得结论．【详解】由已知，，所以，又由得，所以，．故选：B．二、多选题9．（2021·广东实验中学模拟预测）以下四个命题中真命题是（）A．为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔为40B．线性回归直线恒过样本点的中心C．随机变量服从正态分布，若在内取值的概率为0.1，则在内的概率为0.4D．概率值为零的事件是不可能事件【答案】BC【分析】根据概率统计相关概念和性质，逐项分析判断即可得解.【详解】对A，由，所以分段间隔为20，故A错误；对B，根据线性回归方程的性质可知回归直线恒过样本点的中心，故B正确度；对C，由正态分布的性质可得正态分布密度曲线关于对称，故在内取值的概率为，由在内取值的概率为0.1，所以在内的概率为，由对称性可得故在内的概率为0.4，故C正确；对D，对于连续型随机变量的情况下，某特定点被取到的概率为零，但是可能发生，并不是不可能事件，故D错误.故选：BC.10．（2021·湖南湘潭·一模）已知随机变量服从正态分布，则（）A．的数学期望为 B．的方差为C． D．【答案】AC【分析】根据正态分布的性质求解即可．【详解】由正态分布的定义及正态曲线的性质，可知，所以的数学期望为，方差为，，所以A，C正确，B，D不正确．故选：AC．11．（2021·辽宁·凤城市第一中学高三月考）已知随机变量的分布列如下表所示，则（）A．有最小值 B．没有最值C．有最小值 D．有最大值【答案】AD【分析】根据分布列的性质求得，，求出关于的表达式，可判断AB选项的正误；求出关于的表达式，利用二次函数的基本性质可判断CD选项的正误.【详解】由题意知，，即，又，则，所以，A对；，又，所以当时，有最大值，当或时，有最小值.故选：AD.12．（2021·河北师范大学附属中学高三月考）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球．则下列结论中正确的是（）A． B．C．事件B与事件相互独立 D．，，两两互斥【答案】AD【分析】首先由互斥事件的定义，可知D正确，再结合条件概率公式，即可计算，并判断选项.【详解】由题意知，，两两互斥，故D正确；，，，，故A正确；，，，所以B与不是相互独立事件，故B，C不正确．故选：AD．三、填空题13．（2020·江苏省镇江中学高三月考）随机变量的分布列为0240.40.30.3则________．【答案】13【分析】首先利用分布列求得，再利用即可得解.【详解】，所以，故答案为：14．（2021·湖北·高三月考）某公司生产了一批小零件，其综合质量指标值X服从正态分布，现从中随机抽取该小零件2000个，估计综合质量指标值位于的零件个数为_____________．附：若，则，．【答案】【分析】根据正态分布曲线的对称性，分别求得和的值，进而求得的值，即可求得质量指标值位于的零件个数.【详解】由题意，综合质量指标值X服从正态分布，可得，所以，，所以，所以综合质量指标值位于的概率约为，则2000个小零件中估计综合质量指标值位于的个数为个．故答案为：15．（2021·山东潍坊·高三期中）已知，且，则的方差为________．【答案】.【分析】结合二项分布的方差的计算公式求出，进而根据方差的性质即可求出结果.【详解】因为，所以，且则，因此的方差为，故答案为：.16．（2021·全国·模拟预测）某医院从3名医生和3名护士中选派4人参加志愿者服务，事件A表示选派的4人中至少有2名医生，事件B表示选派的4人中有2名护士，则___________.【答案】【分析】解法一：先计算出，，再根据条件概率的计算公式得到；解法二：根据古典概型的概率计算公式进行求解.【详解】解法一：根据题意，从3名医生和3名护士中选派4人，至少选派2名医生的概率为，从3名医生和3名护士中选派4人，选派2名护士的概率为，易知，根据条件概率的计算公式可得，.解法二：从3名医生和3名护士中选派4人，至少选派2名医生有种情况，其中选派2名护士有种情况，根据古典概型的概率计算公式可知.故答案为：四、解答题17．（2021·江苏·金陵中学高三月考）一个盒子里有8个大小相同的小球，其中有6个白球，2个黑球，现依次从盒中随机摸出一个球且不放回，直至8个球都被摸出，以表示6个白球被两个黑球隔成的段数，例如，摸出的顺序为“黑白白白白白白黑”，则此时，摸出的顺序为“白黑白白黑白白白”，则此时.（1）求两个黑球连在一起被摸出的概率；（2）求的分布列和期望.【答案】（1）（2）分布列见详解；期望为.【分析】（1）结合古典概型概率公式及排列计算，计算出所求的概率.（2）按照列分布列步骤求得各变量概率，列出分布列，求得期望.（1）两个黑球连在一起被摸出可以看做一个整体，即捆绑法与白球全排列，从而其概率为.（2）解：由题意知，X的可能取值为1、2、3，；；；则X的分布列为：X123P所以期望18．（2020·陕西·西安市铁一中学高三月考（理））某同学在做研究性学习课题时，欲调查全校高中生拥有微信群的数量.已知高一、高二、高三的学生人数分别为400，300，300.用分层抽样的方法，随机从全校高中生中抽取100名学生进行调查，调查结果如下表：微信群数量(单位：个)高一高二高三052000610101011151515大于15010（1）求的值；（2）若从这100名学生中随机抽取2人，求这2人中恰有1人进微信群数量超过10的概率；（3）以样本数据估计总体数据，以频率估计概率，若从全校高中学生中随机抽取3人，用表示抽到的微信群数量在“1115”之间的人数，求的分布列和方差.【答案】（1）10,5,5（2）（3）答案见解析【分析】（1）根据分层抽样求出每个年级抽取的人数，即可求出，，的值；（2）记“2人中恰有1人微信群个数超过10个”为事件，根据古典概型概率公式能求出2人中恰有1人微信群个数超过10个的概率；（3）依题意可知，微信群个数在“1115”之间的人的概率为．的所有可能取值0，1，2，3，服从二项分布，由此能求出的分布列和方差．（1）根据分层抽样知，高一、高二、高三分别抽取学生40、30、30人，由已知得：，解得，由，解得，由，解得，故，，的值分别为10,5,5.（2）记“2人中恰有1人微信群个数超过10个”为事件，由表可知，微信群超过10个的共有55人，所以,即2人中恰有1人微信群个数超过10个的概率为．（3）依题意可知，微信群个数在“1115”之间的人的概率为．的所有可能取值0，1，2，3．则则，，，．其分布列如下：0123所以，．19．（2021·全国·模拟预测）随着生活水平的提高，人们对生活质量的要求也逐步提高，尤其是在饮食方面，虾因营养又美味而受到不少人的青睐.罗氏沼虾食性杂，生长快，易养殖，市场前景好，现已成为我国重点发展的特优水产品之一，不仅池塘养殖有了较大发展，而且稻田养殖也获得了成功.某养殖户有多个养虾池，每个虾池投放40000尾虾苗，成活率均为75%，到售卖时会存在一定的个体差异.为了解某虾池虾的具体生长情况，从该虾池中随机捕捉200尾测量其长度（单位：），得到频率分布直方图，如图所示：（1）试利用样本估计总体的思想估计该虾池虾的平均长度.（2）已知该虾池虾的长度均在之间，根据虾的长度将虾分为四个等级，长度､等级与售价（单位：元/尾）之间的关系如下表（）：长度/等级三级二级一级特级/（元/尾）①从该虾池中随机捕捉4尾虾，试求至少有2尾为特级虾的概率；②若该虾池的前期修建成本为40000元，购买相关设备的成本为7150元，虾苗0.65元/尾，每茬虾的养殖成本为6500元.假设每茬虾的利润相同，在不考虑维修成本的前提下，试问该虾池至少需养几茬虾才能盈利？【答案】（1）10.76cm（2）①；②该虾池至少需养3茬虾才能盈利【分析】（1）根据平均数的计算公式即可得到结果.（2）①先根据频率分布直方图求出随机捕捉一尾虾，该虾为特级虾的概率，再利用相互独立事件的概率计算公式求解即可；②列出虾的长度､售价与对应概率的表格，求出每尾虾的售价的期望值，利用函数的有关知识求得平均每尾虾的最高售价，进而求得养一茬虾的最大利润，最后根据题意列不等式，求解即可.（1）由题意知，样本平均数，所以估计该虾池虾的平均长度为10.76cm.（2）①由频率估计概率知，随机捕捉一尾虾，该虾为特级虾的概率为，则从该虾池中随机捕捉4尾虾，至少有2尾为特级虾的概率为.②由题意可知，该虾池虾的长度､售价与对应概率如下表所示（）：）长度/cm（元/尾）概率0.120.400.280.20所以.记，则，令，得，故当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取得最大值，.所以养一茬虾的最大利润（元）.设该虾池至少需养茬虾才能盈利，则，解得.因为，所以在不考虑维修成本的前提下，该虾池至少需养3茬虾才能盈利.20．（2021·湖北·武汉市第六中学高三月考）在平面直角坐标系xOy中，设点集={(i，j)|i=0，1，2，…，n；j=0，1，2；n∈N*}．从集合中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n=1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n(n≥3)，求概率(用n表示)．【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】(1)当n=1时，求出X的所有可能值，并求出各个值对应的概率即可作答.(2)在中任取两点和，分别讨论b，d的取值确定事件所含结果数，再借助对立事件概率公式计算即得.（1）当n=1时，为1，，2，，当n=1时，点集中有6个点，任取两点共有种方法，它们等可能