专题27《圆锥曲线与方程》中的夹角角度问题-2021-2022学年高二数学培优训练（2019选择性）

专题27《圆锥曲线与方程》中的夹角角度问题（满分120分时间：60分钟）班级姓名得分一、选择题：已知椭圆C：x24+y2b2=1(0<b<2)，作倾斜角为3π4的直线交椭圆C于A，B两点，线段A.1 B.2 C.3 D.6【答案】B【解析】【分析】

本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆的几何性质，正切函数两角和与差的公式，考查运算求解能力．

根据题意，设出A、B、M的坐标，由于A、B两点在椭圆上，则x124+y12b2=1x224+y22b2=1，运用点差法分析可得(x1−x2)(x1+x2)4+(y1−y2)(y1+y2)b2=0，进而可得x04−y0b2=0，变形可得y0x0=b24；设直线OM的倾斜角为α，由正切的和角公式可得tanα=y0x0=已知双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0).命题p：C的两条渐近线夹角为π3；命题q：C的离心率为A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】

本题主要考查了双曲线的性质及几何意义和必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查学生的计算和推理能力．

根据双曲线的性质即可得到p，q，从而即可得到p和q之间的关系．

【解答】

解：∵双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，且两条渐近线夹角为 π 3，

∴ba=33或ba=3，又c2=a2+b2已知F为抛物线y2=12x的焦点，过F作两条夹角为45°的直线l1,l2，l1交抛物线于A,B两点，A.1+24 B.1+22 C.【答案】D【解析】【分析】

本题考查直线与抛物线的位置关系．

设直线l1的倾斜角为θ

，则l2的倾斜角为，根据过焦点的弦长公式可得|AB|=12sin2θ

，|CD|=12sin2(θ+π4)

，所以1|AB|+1|CD|=2sin2θ+2sin2(θ+π4)，化简即可得到答案．

【解答】

解：设直线l1的倾斜角为θ

，则=2+2sin (2θ−π4)⩽2+2

，

1

点P为椭圆x28+y24=1上任意一点，Q与P关于x轴对称，F1，F2分别为左、右焦点，若有FA.−23,−13 B.−1【答案】C【解析】【分析】

本题主要考查了椭圆的几何性质，向量的夹角公式，属于较难题．首先求出椭圆的焦点坐标，由F1P⋅F2P⩽2可得x2−4+y2=4+y2≤2，进而得出y2的范围，代入夹角公式，求解即可．

【解答】

解：设P(x,y)，则Q(x,−y)，

且x28+y24=1，则x2=8−2y2，

易知c=a2−b2=8−4=2，

∴椭圆x28+y24=1的焦点坐标为F1(−2,0)，F2(2,0)，

∴F1P=已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C的方程不可能为(

)A.x23−y2=1 B.x【答案】C【解析】【分析】

本题考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识．

根据题意，逐个考查双曲线的渐近线，研究夹角即可得到答案．

【解答】

解：A．x23−y2=1，该双曲线的两条渐近线方程为y=±33x，它们的夹角为60°;

B.x23−y29=1，该双曲线的两条渐近线方程为y=±33x=±3x，它们的夹角为60°;

C.y2二、多选题已知F为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，经过点F的直线 l交C的两条渐近线于A,B两点，A.OF是▵OAB的角平分线 B.|OB|=12|OA|

C.两条渐近线夹角的余弦值为104 D.【答案】ABD【解析】【分析】

本题考查双曲线的性质和几何意义、直线与双曲线的位置关系问题．

解题时充分运用双曲线的性质，结合余弦定理，二倍角公式逐项进行分析判断即可求解．

【解答】

解：如图：

结合题意可知A选项正确;

B中，设|AF|=2，则|FB|=1，|OA|=|AB|=3，

因为在△AOB中，OF为∠AOB的平分线，

所以|OB||OA|=|FB||AF|，

所以|OB|=32=12|OA|，

所以B选项正确;

C中，设∠AOF=θ(0<θ<π2)，则e=1cosθ，

由余弦定理得cos2θ=|OA|2+|OB|2−|AB|22|OA||OB|=1已知双曲线M:x2a2−y2b2=1(a>b>0)A.M的离心率为233

B.M的标准方程为x22−y2=1

C.M的渐近线方程为【答案】ACD【解析】【分析】

本题主要考查双曲线的几何意义及性质.先根据题意分情况讨论渐近线的方程，从而得出双曲线的标准方程，再根据所得判断选项即可．

【解答】

解：由题意得：

双曲线的锐角的渐近线的倾斜角为30°或60°，

即y=bax=33x或y=bax=3x，

又∵a>b>0，

∴y=bax=33x

由2c=4c2=a2+b2得：a=3b=1c=2,

∴e=ca已知抛物线y2=4x的准线过双曲线C:x2a2−y2b2=1aA.双曲线C的方程为4x2−4y23=1

B.双曲线C的两条渐近线的夹角为60°

C.点F【答案】ABD【解析】【分析】

本题考查了抛物线和双曲线的几何性质，利用三角形的面积进行计算．

先求出抛物线y2=4x的准线方程，可得双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点，再求出x=−1时，y的值，利用△AOB的面积为32，求出a，然后逐项判断即可．

【解答】

解：∵抛物线y2=4x的准线方程为x=−1，

∴双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为(−1,0)，

得x=−1时，代入双曲线方程，

由b2=1−a2，可得y=±1−a2a，

∵△AOB的面积为32，∴12×1×2(1−a2)a=32，∴a=12，

∴e=ca=2，故D正确；

又b2=1−a三、单空题在椭圆x24+y22=1上任意一点P，Q与P关于x轴对称，若有F1P【答案】−1,−【解析】【分析】本题考查向量坐标运算、向量夹角公式应用，关键在于能够通过坐标运算得到变量的取值范围，将问题转化为函数值域的求解．

通过坐标表示和F1P⋅F2P≤1得到y2∈解：由题意：F1−2,0，F22,0，设Px,y，Qx,−又∵y∈[−2,2]

=x2−2−y2结合x24+cosθ=2−3

已知直线y=x+1与椭圆mx2+ny2=1(m>n>0)相交于A，B两点，若弦AB中点的横坐标为−1【答案】4【解析】解：把直线与椭圆方程联立y=x+1mx 2+ny 2=1消去y得(m+n)x2+2nx+n−1=0

∴x1+x2=−2nm+n=−23

∴nm已知抛物线x2=y的焦点为F，过F作两条夹角为30°的直线m，n，直线m与抛物线交于点P，Q，直线n与抛物线交于点M，N，则1|PQ|+1【答案】1−【解析】【分析】

本题考查直线与抛物线方程的应用以及与抛物线有关的最值问题求解，涉及辅助角公式，二倍角公式及余弦函数的性质的应用，属于较难题目．

设直线m的倾斜角α，得出|PQ|，|MN|再由辅助角公式与二倍角公式得出1|PQ|+1|MN|，利用余弦函数的性质求出最小值即可．

【解答】

解：设直线m的倾斜角为α，易得|PQ|=1cos2α，|MN|=1cos2(α+30∘四、解答题某城市决定在夹角为30∘的两条道路EB、EF之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示，AB=2千米，O为AB的中点，OD为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN，其中M，N在椭圆上，且MN的倾斜角为45∘，交OD于G．

(1)若OE=3千米，为了不破坏道路EF，求椭圆长半轴长的最大值；

(2)若椭圆的离心率为32，当线段OG长为何值时，游乐区域ΔOMN的面积最大？【答案】解：(1)以点O为坐标原点，OD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)因为OE=3，则E(0,3)，

又EB、EF夹角为30∘，所以直线EF的方程为y=−3x+3．

又因为AB=2，则b=1，

则椭圆方程为x2a2+y2=1

为了不破坏道路EF，

则直线EF与椭圆至多只有一个交点，

联立方程组x2a2+y2=1y=−3x+3

得(1+3a2)x2−63a2x+8a2=0

由于直线EF与半椭圆至多只有一个交点，

则27a4−(1+3a2)⋅8a2≤0，又a>0，得0<a≤263．

当a=263时半椭圆形主题公园与道路直线EF相切，所以amax=263．

(2)设椭圆焦距为2c，

由椭圆的离心率ca=3【解析】本题考查了基本不等式在实际中的应用，考查椭圆的方程、几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查运用数学知识解决实际问题的能力、计算能力．

(1)依题意椭圆方程为x2a2+y2=1，为了不破坏道路EF，则直线EF与椭圆至多只有一个交点，联立直线与椭圆方程，利用判别式即可求a已知双曲线C：x2a2−y2b2=1经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A、B两点．

(1)求双曲线C的方程；

(2)若l过原点，P为双曲线上异于A，B的一点，且直线PA、PB的斜率kPA，kPB均存在，求证：kPA⋅kPB为定值；

(3)若l过双曲线的右焦点F【答案】(1)解：由题意得

4a2−9b2=1ba=3①或4a2−9b2=1ba=33②

解①得a=1，b=3，解②得无解，

∴双曲线C的方程为x2−y23=1；

(2)证明：设A(x0,y0)，由双曲线的对称性，可得B(−x0,−y0).

设P(x,y)，则kPA⋅kPB=y2−y02x2−x02，

∵y02=3x02−3，y2=3x2−3，

所以kPA⋅kPB=y2−y02x2−x02=3;

(3)解：由(1)得点F【解析】本题考查点的轨迹方程的求法，考查斜率的计算，考查存在性问题，综合性强．

(1)利用双曲线C：x2a2−y2b2=1经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为60°，建立方程，即可求双曲线C的方程；

(2)设A(x0,y0)，由双曲线的对称性，可得B的坐标，设P(x,y)，结合题意，又由A、P在双曲线上，可得y02设O是坐标原点，F是抛物线x2=2py(p>0)的焦点，C是该抛物线上的任意一点，当FC与y轴正方向的夹角为60°时，|OC|=21．

(1)求抛物线的方程；

(2)已知A(0,p)，设B是该抛物线上的任意一点，M，N是x轴上的两个动点，且|MN|=2p，|BM|=|BN|，当|AM|【答案】解：(1)设点C(xo,y0)，则由抛物线的定义得

|FC|=y0+p2，

当FC与y轴正方向的夹角为60°时，

2(y0−