第17讲双曲线10大基础题型总结

第17讲双曲线10大基础题型总结考点分析考点一：双曲线定义及标准方程在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距．标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于轴、轴和原点对称顶点轴实轴长=，虚轴长=离心率注：离心率越大，双曲线开口越大渐近线方程考点二：双曲线的通径过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为．考点三：双曲线常考性质结论①双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数;②双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；证明：设是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是和，点到两条渐近线的距离分别是和，则．考点四：双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）题型目录题型一:双曲线的定义题型二：利用双曲线定义求长度题型三：利用双曲线定义求参数范围题型四：求双曲线的标准方程题型五：利用双曲线定义求三角形周长题型六：双曲线焦点三角形面积题型七：双曲线的渐近线方程题型八：渐近线与离心率的关系题型九：双曲线焦点到渐近线的距离为题型十：已知渐近线方程求双曲线方程典型例题题型一:双曲线的定义【例1】（2022全国高二课时练习）动点到点及点的距离之差为，则当和时，点的轨迹分别是（）A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线【答案】C【解析】由题意，知，当时，，此时点的轨迹是双曲线的一支；当时，，点的轨迹为以为端点沿轴向右的一条射线．故选：C.【例2】（2022·上海·同济大学第一附属中学高二阶段练习）已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（

）A．双曲线 B．双曲线一支 C．两条射线 D．一条射线【答案】B【解析】【分析】根据表示的几何意义，结合双曲线定义，可判断答案.【详解】点的坐标满足,即动点,到定点距离减去到的距离，差等于4，即,且，故动点P的轨迹是双曲线的一支，故选：B【例3】（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习（文））平面上有两个定点A，B及动点P，命题甲：“是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线”，则甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的定义可判断两者之间的条件关系.【详解】若，则点P的轨迹是一条射线，故甲推不出乙；若点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，则或，其中，为双曲线的实半轴长，故不是定值，故乙推不出甲，故选：D.【例4】（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高二阶段练习）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，则炮弹爆炸点的轨迹是（

）A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线【答案】D【解析】【分析】由题意得到A，B两个哨所的距离差为定值，小于A，B两个哨所之间的距离，满足双曲线的定义，可解.【详解】设炮弹爆炸点为P，则，故炮弹爆炸点的轨迹是双曲线.故选：D.【例5】（2022·四川省资阳中学高二开学考试（文））已知定点，，M是上的动点，关于点M的对称点为N，线段的中垂线与直线交于点P，则点P的轨迹是（

）A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．直线【答案】A【解析】【分析】根据垂直平分线的性质，结合图分析点P到，的距离只差可知.【详解】由题意及图可知，，因为O、M分别为的中点，所以，所以故点P的轨迹是以，为焦点，2为实轴长的双曲线.故选：A【题型专练】1.（2022·广西·钦州一中高二期中（文））已知平面内两定点，，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由双曲线的定义即可求解.【详解】解：由题意，因为，所以由双曲线的定义知，当时，动点的轨迹为双曲线，故选：C.2.（2023·全国·高三专题练习）－＝4表示的曲线方程为（

）A．－＝1(x≤－2) B．－＝1(x≥2)C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2)【答案】C【分析】根据两点间距离的定义及双曲线定义，可判断双曲线的长轴长与焦距，进而求得b，得双曲线方程；结合方程的意义，即可判断出y的取值范围．【详解】根据两点间距离的定义，表示动点到与的距离之差等于4（且两个定点的距离大于4）的集合.根据双曲线定义可知，所以

由焦点在y轴上，所以，且到点的距离比较大所以即曲线方程为故选：C.3.（2022·全国·高二课时练习）已知平面内两定点，，动点M满足，则点M的轨迹方程是___________.【答案】【分析】直接由定义判断出M的轨迹是双曲线，再由待定系数法求方程即可.【详解】由题意知：，，故M的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线，设双曲线方程为，由可得，故点M的轨迹方程是.故答案为：.4.（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）已知曲线上任意一点满足方程，求曲线的方程；【答案】【分析】根据双曲线的定义即可得出答案；【详解】设，则，等价于，曲线为以为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为，故曲线的方程为：；5.（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）在平面直角坐标系中，已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为________.【答案】.【分析】根据圆的性质，结合线段垂直平分线的性质、双曲线的定义进行求解即可.【详解】因为在线段的垂直平分线上，所以，所以，由双曲线的定义知点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线，则，，得，所以曲线的方程为，故答案为：题型二：利用双曲线定义解题【例1】（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习（文））已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】由双曲线定义可直接构造方程求得结果.【详解】由双曲线方程知：；根据双曲线定义知：，解得：（舍）或.故选：B.【例2】（2022·河南·信阳高中高二阶段练习（理））已知双曲线的左右焦点分别为、，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】根据已知条件求出的值，再利用双曲线的定义可求得.【详解】解：双曲线C的渐近线方程为，则，所以，，，由双曲线定义可知，则或，又因为，故，故选：A．【例3】（2022·青海西宁·二模（文））设双曲线的左焦点为，点为双曲线右支上的一点，且与圆相切于点，为线段的中点，为坐标原点，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】依题意作出曲线图形，点P在双曲线右支上，由双曲线定义，可得|MN|﹣|MO|=丨PF丨﹣3﹣丨PF2丨=（丨PF丨﹣丨PF2丨）﹣3=×2a﹣3=1.【详解】由题意可知：双曲线焦点在x轴上，a=4，b=3，c=5，设双曲线的右焦点F2（5，0），左焦点F（﹣5，0），由OM为△PFF1中位线，则丨OM丨=丨PF2丨，由PF与圆x2+y2=16相切于点N，则△ONF为直角三角形，∴丨NF丨2=丨OF丨2﹣丨ON丨2=25﹣16=9，则丨NF丨=3，∴丨MN丨=丨MF丨﹣丨NF丨=丨MF丨﹣3，由丨MF丨=丨PF丨，∴|MN|﹣|MO|=丨PF丨﹣3﹣丨PF2丨=（丨PF丨﹣丨PF2丨）﹣3=×2a﹣3=1，∴|MN|﹣|MO|=1，故选：B．【例4】已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则的值为．【答案】【解析】由双曲线的方程可知【题型专练】1.（2022·浙江·瑞安市第六中学高二开学考试）直线是双曲线的一条渐近线，，分别是双曲线左、右焦点，P是双曲线上一点，且，则（

）A．2 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】根据渐近线可求出a，再由双曲线定义可求解.【详解】因为直线是双曲线的一条渐近线，所以，，又或，或（舍去），故选：C2.（2023·全国·高三专题练习）已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据双曲线方程确定的值，从而求出，再利用双曲线的定义求解得答案.【详解】在双曲线中，，，,∵，∴，又，∴,故选:A3.已知、为双曲线的左、右焦点，点在上，，则【答案】【分析】利用双曲线的定义及余弦定理求解得答案.【详解】在双曲线中，，，,∵，又，∴，所以4.已知F1、F2分别为双曲线C:=1的左、右焦点，点A为C上一点，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的角平分线．则|AF2|=.【答案】【分析】利用角平分线定理及双曲线的定义求解得答案.【详解】在双曲线中，，所以，又，∴题型三：利用双曲线定义求参数范围【例1】（2022·贵州遵义·高二期末（理））“”是“为双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先求方程表示双曲线的条件，再根据两者相等关系确定充要关系.【详解】因为方程表示双曲线，所以，又当时，方程表示双曲线，因此“”是“方程表示双曲线”的充要条件.故选：C【例2】（2021·四川·双流中学高二开学考试（文））方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（

）A． B．C．或 D．【答案】B【分析】求得方程表示双曲线的充要条件，从而确定正确答案.【详解】由于方程表示双曲线，，所以，解得，所以在ABCD四个选项中，方程表示双曲线的一个充分不必要条件是.故选：B【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知方程，则E表示的曲线形状是（

）A．若，则E表示椭圆B．若E表示双曲线，则或C．若E表示双曲线，则焦距是定值D．若E的离心率为，则【答案】B【分析】根据曲线表示椭圆，求得m的范围，判断A;根据曲线表示双曲线，求得m的范围，判断B；由B的分析求双曲线的焦距，可判断C;根据E的离心率为，分类讨论求得m的值，判断D.【详解】由题意得，当时，，即，要表示椭圆，需满足，解得且，故A错误；若E表示双曲线，则不能为0，故化为，则，即或，故B正确；由B的分析知，时，，此时c不确定，故焦距不是定值，C错误；若E的离心率为，则此时曲线表示椭圆，由A的分析知，且，当时，，此时，则，解得，当时，，此时，则，解得，故D错误，故选：B【例4】（2022重庆市求精中学校高二阶段练习多选题）已知曲线的方程为，下列说法正确的是（

）A．若，则曲线为椭圆B．若，则曲线为双曲线C．若曲线为焦点在轴的椭圆，则D．若为双曲线，则渐近线方程为【答案】BD【分析】根据椭圆及双曲线的标准方程可判断ABC，由双曲线的性质可判断D.【详解】对于A，当时，满足，曲线不为椭圆，故错误；对于B，当时，由双曲线标准方程知，是双曲线，故正确；对于C，由可得，若表示焦点在轴的椭圆，则，即，故错误；对于D，若为双曲线，则由可得，即双曲线的渐近线方程为，故正确.故选：BD【题型专练】1.（2022·重庆·巫山县官渡中学高二期末多选题）若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（

）A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则或C．曲线可能是圆 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则【答案】BC【分析】分别根据选项曲线的类型列出对应的不等式，解不等式判断即可【详解】若为椭圆，则，且，故A错误若为双曲线，则，，故B正确若为圆，则，，故C正确若为椭圆，且长轴在轴上，则，，故D错误故选：BC2.（2022·重庆八中模拟预测）曲线C的方程为，则下列说法正确的是（

）A．存在实数使得曲线C的轨迹为圆B．存在实数使得曲线C的轨迹为椭圆C．存在实数使得曲线C的轨迹为双曲线D．无论（且）取何值，曲线C的焦距为定值【答案】BCD【分析】对于A，由可判断；对于B，当时，表示椭圆；对于C，当时，表示双曲线；对于D，当时，椭圆的，当时，双曲线的，由此可判断.【详解】解：对于A，因为，所以不存在实数使得曲线C的轨迹为圆，故A不正确；对于B，当且时，即时，表示椭圆，所以存在实数使得曲线C的轨迹为椭圆，故B正确；对于C，当，即时，表示双曲线，故C正确；对于D，当时，表示椭圆，此时椭圆的，所以曲线C的焦距为定值；当时，表示双曲线，此时双曲线的，所以曲线C的焦距为定值；故D正确，故选：BCD.3.（2023·全国·高三专题练习）已知，则“”是“方程表示双曲线”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据双曲线标椎方程的定义，可得，再根据充分必要条件的集合关系，可得到答案.【详解】由方程表示双曲线，可得，解得或，则为或的充分不必要条件，故选：B.4.（2022·河南·高二期中（文））已知，则“”是“方程表示双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先由方程表示双曲线解出的范围，再由充分性、必要性的定义判断即可.【详解】由方程表示双曲线可得，解得，显然能推出，反之不能推出，故“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.故选：A.5．（2022·陕西渭南·高一期末）若方程表示双曲线，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据双曲线的定义可知与同号，从而可求出m的取值范围【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得，故选：A6.2022·全国·高二课时练习）方程，若两实数异号，则它的图像是（

）．A．圆，且圆心在轴上 B．椭圆，且焦点在轴上C．双曲线，且焦点在轴上 D．双曲线，且焦点在轴上【答案】D【分析】把变形为即可得到答案.【详解】解：因为异号，所以，.方程变形为：，进而变形为：.此方程是焦点在轴上的双曲线的标准方程.故选：D.题型四：求双曲线的标准方程【例1】（2022全国·高二单元测试多选题）已知双曲线，则下列结论正确的有（

）A．焦点在y轴上 B．实轴长为4 C．虚轴长为6 D．离心率为【答案】BC【分析】根据双曲线方程的形式对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论【详解】解：由方程可知，焦点在轴上，则A不正确；设，则，则实轴长为，虚轴长为，则B,C正确；，则，所以离心率，即D不正确.故选：BC.【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线（其中，）的焦距为，其中一条渐近线的斜率为2，则______．【答案】2【分析】根据渐近线斜率求得，根据焦距求得c的值，利用a,b,c的平方关系得到关于a的方程，求得a的值.【详解】双曲线的的渐进线方程为，∵一条渐近线的斜率为2，∴，即,又∵，∴，∴,∴,故答案为：2【例3】（2022·江苏·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)顶点在x轴上，焦距为10，离心率是；(2)一个顶点的坐标为，一个焦点的坐标为；(3)焦点在y轴上，一条渐近线方程为，实轴长为12；(4)渐近线方程为，焦点坐标为和．【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【分析】根据双曲线的顶点或焦点位置、渐近线方程及焦距、实轴长，结合双曲线的性质求双曲线方程.(1)由题设，且，则，，又顶点在x轴上，故双曲线的标准方程为.(2)由题设，，则，又一个焦点为，故双曲线的标准方程为.(3)由题设，，又焦点在y轴上，令双曲线的标准方程为，又一条渐近线方程为，即，则，所以双曲线的标准方程为.(4)由题设，且焦点在x轴上，令又渐近线方程为，则，而，所以，故双曲线的标准方程为【例4】（2022·黑龙江·铁人中学高二阶段练习）与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用双曲线的定义可求得的值，再由可求得的值，结合双曲线的焦点位置可求得双曲线的标准方程.【详解】椭圆的焦点坐标为，设双曲线的标准方程为，由双曲线的定义可得，，，，因此，双曲线的方程为.故选：C.【例5】（2022·江苏·高二）经过两点，的双曲线的标准方程为______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，设出双曲线方程，再利用待定系数法求解作答.【详解】设双曲线方程为，依题意有，解得，所以所求双曲线的标准方程为：.故答案为：【题型专练】1．（2021·江苏·滨海县八滩中学高二期末多选题）已知双曲线方程为，则下列说法正确的有（

）A．离心率为 B．顶点坐标为 C．实轴长为4 D．渐近线方程为【答案】AC【解析】先化为标准方程得，进而得，再依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：将双曲线的方程化为标准方程得：，所以双曲线的焦点在轴上，且，所以离心率为，顶点坐标为，实轴长为，渐近线方程为.所以AC选项正确，BD选项错误.故选：AC.2.（2022·上海市第三女子中学高二期末）若双曲线的一个焦点为，则实数__________．【答案】3【分析】根据双曲线方程即可得解.【详解】双曲线的一个焦点为，所以且，所以.故答案为：33.（2021·江苏·高二专题练习）已知双曲线方程为，焦距为6，则k的值为________.【答案】【分析】由双曲线焦距可得，讨论焦点在x轴、y轴上，结合求k值即可.【详解】由焦距为6，知：，若焦点在x轴上，则方程可化为，即，解得k=6；若焦点在y轴上，则方程可化为，即，即k=6.综上所述，k值为6或6.故答案为：±6.4.（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线中心在原点，且以椭圆的焦点为顶点，焦距长为16，则双曲线标准方程为______．【答案】【解析】【分析】化椭圆方程为标准方程，求出焦点坐标，从而可得，再根据双曲线的焦距可得，再求出，即可得解.【详解】解：椭圆化为标准方程，则椭圆的交点坐标为，设双曲线标准方程为，则，由题意双曲线的焦距，则，所以，所以双曲线标准方程为.故答案为：.5.（2022·全国·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点为，，且双曲线上的一点到两个焦点距离之差为2；(2)焦点在y轴上，焦距为10，且经过点；(3)经过点，.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】【分析】（1）设出双曲线方程，根据，结合双曲线定义，即可求得结果；（2）设出双曲线方程，根据，即可求得结果；（3）设出双曲线方程，待定系数，即可求得双曲线方程.(1)因为双曲线的焦点在轴上，故可设方程为：，又焦点为，，故可得，又双曲线上的一点到两个焦点距离之差为2，即，则，又.故双曲线方程为：.(2)因为双曲线焦点在轴上，故可设双曲线方程为，又其焦距为10，故可得；又该双曲线过点，则，故，故双曲线方程为：.(3)不妨设双曲线方程为：，因其过点，，故可得，联立方程组可得：，故所求双曲线方程为：.6.（2021·全国·高二课时练习）1.分别求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)以圆：与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和一个顶点；(2)焦点在轴上，渐近线方程为，且顶点到渐近线的距离为1；(3)焦点为，且与双曲线有相同的渐近线．【答案】(1)，(2)，(3)【分析】（1）根据题意求出圆与坐标轴的交点，进而结合双曲线的特征确定焦点和顶点，然后求出双曲线的标准方程；（2）根据题意设出双曲线方程，然后根据渐近线方程和顶点到渐近线的距离建立方程组解出参数，进而得到答案；（3）根据与已知双曲线共渐近线设出所求双曲线的方程，然后根据焦点坐标求出参数，进而得到答案.(1)对圆的方程，令，得，解得，，即圆与轴的两个交点分别为，．令，得，此方程无解，即圆与轴没有交点．因此点为双曲线的右顶点，点为双曲线的右焦点．设双曲线的标准方程为，则，，所以，从而双曲线的标准方程为．(2)由焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为，则渐近线方程为，所以．由顶点到渐近线的距离为1，即到的距离为1，得，所以，．从而双曲线的标准方程为．(3)设所求双曲线的标准方程为．由双曲线的一个焦点为，可知，且，得，则双曲线的标准方程为．题型五：利用双曲线定义求周长【例1】（2022·江苏·高二）双曲线过焦点的弦AB，A、B两点在同一支上且长为m，另一焦点为，则的周长为（

）．A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m【答案】C【解析】【分析】由双曲线定义得到，，两式相加得到，进而求出周长.【详解】由双曲线的定义得：①，②，两式相加得：，即，所以，故的周长为.故选：C【例2】过双曲线左焦点F1的弦AB长为6，则（F2为右焦点）的周长（）A．28B．22 C．14 D．12【答案】A【解析】由双曲线的定义得：①，②，两式相加得：，即，所以，故的周长为.故选：A【题型专练】1.已知为双曲线的左焦点,为上的点,若的长等于虚轴长的2倍,点在线段上,则的周长为____________.【答案】【解析】的周长为.2.（2022·全国·高二课时练习）已知为双曲线的左焦点，为双曲线同一支上的两点．若，点在线段上，则的周长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知条件得出焦点坐标，并作出图形，利用双曲线的定义及三角形的周长公式即可求解.【详解】由题意可知，，所以，解得，所以双曲线的左焦点，所以点是双曲线的右焦点．作出双曲线，如图所示．由双曲线的定义，知①，②，由①②，得，又，所以的周长为．故选：C.3.（2022·吉林·梅河口市第五中学高二开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由双曲线的定义得：①，②，两式相加得：，即，所以，故的周长为.故选：B题型六：双曲线焦点三角形面积【例1】（2020•新课标Ⅲ）设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为．是上一点，且．若△的面积为，则（）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【思路导引】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案．【解析】解法一：，，根据双曲线的定义可得，，即，，，，即，解得，故选A．解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为．∴=4，则，又∵，∴．解法三：设，则，，，求的．【题型专练】1.（2020•新课标Ⅰ）设，是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则△的面积为（）A． B．3 C． D．2【答案】B【解析】由已知，不妨设，则，∵，∴点在以为直径的圆上，[来源：Z．xx．k．Com]即是以P为直角顶点的直角三角形，故，即，又，∴，解得，∴，故选B．2．（2022·河南·商丘市第一高级中学高二期末（文））已知，是双曲线C：的左、右焦点，M，N是C上关于原点对称的两点，且，则四边形的面积是______．【答案】72【分析】判断四边形为矩形，设，，可得，结合双曲线定义可得，化简得，即可求得四边形的面积.【详解】由可知，因为M，N是C上关于原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，，由双曲线的定义可得，所以，又因为，所以，所以，所以四边形的面积,故答案为：72题型七：双曲线的渐近线方程焦点在轴上的渐近线为焦点在轴上的渐近线为若双曲线的方程为，要求渐近线只需令，解出即可即已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。【例1】（2022·广东潮州·高二期末）已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】确定双曲线的，确定其焦点位置，即可求得其渐进线方程.【详解】由可知，，且双曲线焦点位于x轴上故该双曲线的渐近线方程为，故选：C【例2】（2022·全国·高考真题（理））若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．【答案】【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线的渐近线为，即，不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，依题意圆心到渐近线的距离，解得或（舍去）．故答案为：．【题型专练】1.（2023·全国·高三专题练习）双曲线的渐近线方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】将双曲线化为标准方程，再根据渐近线的方程求解即可【详解】由题意，的渐近线方程为故选：C2.（2022·河南许昌·高二期末（文））双曲线与有相同的（

）A．离心率 B．渐近线 C．实轴长 D．焦点【答案】D【分析】根据双曲线方程判断焦点在轴上，并求，进而确定离心率、渐近线、实轴长和焦点．【详解】对于双曲线可得：焦点在轴上，则离心率，渐近线，实轴长，焦点对于双曲线可得：焦点在轴上，则离心率，渐近线，实轴长，焦点∴ABC错误，D正确故选：D．3.（2023·全国·高三专题练习）若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数m的值为（

）A． B．9 C． D．3【答案】A【分析】根据双曲线渐近线的求法，利用直线平行斜率相等即可求解.【详解】的渐近线方程满足，所以渐进线与平行，所以渐近线方程为，故故选：A4．（2022·四川南充·高二期末（文））若双曲线的渐近线与圆相切，则______．【答案】【分析】求出渐近线方程，求出圆心与半径，利用点到直线的距离等于半径求解即可．【详解】解：双曲线的渐近线：，圆的圆心与半径，双曲线的渐近线与圆相切，，解得或（舍去）．故答案为：．题型八：渐近线与离心率的关系【例1】双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A．B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：根据离心率得关系，进而得关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果．试题解析：．∵渐近线方程为渐近线方程为，故选A．【名师点睛】已知双曲线方程求渐近线方程：．【考点】双曲线的简单几何性质（离心率、渐近线方程）【例2】（2022·湖北·模拟预测）已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得，再由可求出答案.【详解】由双曲线的渐近线方程为，可知，，，故选：B．【题型专练】1．（2022·河南省叶县高级中学高三阶段练习（文））若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据双曲线的离心率可得之间的关系，从而可得到渐近线方程.【详解】双曲线的离心率为，即，所以，则，故C的渐近线方程为.故选：D.题型九：双曲线焦点到渐近线的距离为【例1】（2022·海南中学高三阶段练习）若双曲线的焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题可得，，即得.【详解】双曲线的焦点到渐近线：，即的距离为：，而，从而，故渐近线即.故选：B.【例2】【2018高考天津文理7】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为 （）A． B．C． D．【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为，则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为：，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为，故选C．【例3】【2018高考全国3理11】设是双曲线的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为 （）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】试题分析：由双曲线性质得到，，然后在和在中利用余弦定理可得．试题解析：由题可知，．在中，，，，，故选C．【题型专练】1．（2014新课标1文理）已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为A．B．3C．D．【答案】A【解析】双曲线方程为，焦点到一条渐近线的距离为，故选A．2．已知双曲线的两条渐近线均和圆：相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为A．B．C．D．【答案】A【解析】圆，而，则，故选A．3.已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角