第16讲复数的几何意义和实系数一元二次方程（讲义）原卷版

第16讲复数的几何意义和实系数一元二次方程知识梳理一、理解复数的几何意义(1)复平面的有关概念：实轴是轴,虚轴是轴；与复数一一对应的点是；非零复数与复平面上自原点出发以点为终点的向量一一对应；复数模的几何意义是:复数对应复平面上的点到原点的距离.【特别提醒】【特别提醒】(1)虚轴上的原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.(2)复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，这就是复数的一种几何意义,也是复数的另一种表示方法，即几何表示法.二、实系数一元二次方程实系数一元二次方程中的为根的判别式，那么（1）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等的实根；（3）方程有两个共轭虚根，在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立．求解复数集上的方程的方法：（1）设化归为实数方程来解决（化归思想）．（2）把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）．（3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）．【注意】【注意】（1）在复数集中的一元二次方程的求根公式和韦达定理仍适用，但根的判别式仅在实数集上有效；（2）实系数一元二次方程在复数集中一定有根，若是虚根则一定成对出现；（3）齐二次实系数二次方程，将等式两端除以后，将得到一个关于得实系数一元二次方程；（不作要求）（4）虚系数一元二次方程至少有一个为虚数）①判别式判断实根情况失效；②虚根成对出现的性质失效；如，虽然，但该方程并无实根，不过韦达定理仍适用.例题解析一、复数的几何意义例1．（2021·上海杨浦区·复旦附中高二期末）若复数，满足，，则的值是______.例2．（2021·上海市松江二中高二期末）已知复数z满足，则的取值范围是__________.例3．（2021·上海市西南位育中学高二期末）设是复平面的原点，满足的复数在复平面上所对应的点构成集合，在中任取不同的两点和，则的最大值是_____________.例4．（2021·徐汇区·上海中学高二期末）已知关于的方程有实数根，求复数的模的最小值.例5.已知复数满足，则的最小值是（）A、18 B、6 C、 D、例6.设复数（为虚数单位），若对任意实数，，则实数的取值范围为．【巩固训练】1．若复数满足，则的最小值是.2．设O为坐标原点，已知向量、分别对应复数、，，是实数，求的值。二、实系数一元二次方程例1．（2020·上海高二课时练习）关于的方程没有实数根，则（）．A． B． C． D．例2．（2020·上海高二课时练习）方程的一个根是，则复数的值为（）.A． B．5 C． D．2例3．（2020·上海高二课时练习）设，是非零复数，且满足，则与的关系是（）．A． B． C． D．不确定例4．（2020·上海高二课时练习）当时，方程有两个根，，则的值为（）．A．2 B． C． D．2或例5．（2020·上海高二课时练习）对实系数一元二次方程，下列结论不成立的是A．当时，有相等的根B．当时，有不相等的两虚根C．两根，满足，D．当时，两根之积不一定为正例6．（2020·北京市昌平区实验学校高一期中）方程的两根为，，则________．例7．（2020·华东师范大学第一附属中学高一月考）已知方程的两个根为､，则___________.例8．（2020·上海高二课时练习）已知，是方程的两根，则________．例9．（2021·上海杨浦区·复旦附中高二期末）已知关于的实系数方程两个虚根为，，且，则______.例10．（2020·上海市金山中学高一期中）已知为方程的两个实数根，则的取值范围为______.例11．（2020·上海高一开学考试）若关于x的一元二次方程x2﹣2kx+1﹣4k＝0有两个相等的实数根，则代数式（k﹣2）2+2k（1﹣k）的值为__________．例12．（2020·上海高二课时练习）若，为方程的两个根，则________.例13．（2020·上海高二课时练习）实系数方程有纯虚根的充要条件是________．例14．（2020·上海高二课时练习）已知复数是实系数一元二次方程的一个根，向量，，求实数和，使得．例15．（2018·上海市金山中学高二期中）设复数，其中，，为虚数单位.若是方程的一个根，且在复平面内对应的点在第一象限，求与的值.例16.在复数范围内分解因式：例17.已知方程，求方程的解．例18已知是实系数一元二次方程的两个虚根，且，求的值．例19.已知是实系数方程的两个根，且满足，求实数的值．例20已知是实系数一元二次方程的两个根，求的值．例21.已知复数满足，，，求．例22.（1）方程有一个根为，求实数的值；（2）方程有一个根为，求的值．例23.关于的方程有实根，且一个根的模是2，求实数、的值．【巩固训练】1．下列命题在复数集中是否正确？为什么？（1）若，，且，则方程有两个实数根；（2）若，，且是方程的两个根，则，；（3）若，，且是方程的两个根，则；（4）若，，且是方程的根，则也是方程的根．2．若为方程的两个根，则．3．已知且，求的值.4．关于的方程的两根为，且，求实数的值．5．设为方程，（）的两个根，，（1）求的解