三角形中的“四心”问题-高考数学题型归纳与方法总结（解析版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

素养拓展13三角形中的“四心”问题(精讲+精练)

、知识点梳理

一、三角形的四心定义

外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；

内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等；

重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；

垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；

二、三角形的重心

(1)三角形的重心是三角形三边中线的交点.

(2)重心的性质：

①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.

②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.

重要结论：(1)设点6是4ABC所在平面内的一点，则当点6是仆ABC的重心时，有京+丽+反=6

或运=3(a+而+正)(其中P为平面内任意一点)；

(2)在向量的坐标表示中，若G、A、B、C分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G(x,y)、

Y1++y3

A(X],yj、B(X2,y2),C(x3,y3),则有仃户十,一,).

三、三角形的外接圆与外心

(1)外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆.

(2)外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.

注：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点.

②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在

三角形的外部.

③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而

一个圆的内接三角形却有无数个.

重要结论：若点0是仆ABC的外心，贝iJ|GX|=|丽|=|配|或

(OA+OB)BA=(OB+OC)CB=(6C+6A)AC=O；反之，若|GX|=|丽|=|瓦|或

(OA+OB)BA=(OB+OC)CB=(OC+OA)AC=0,则点0是4ABC的外心。

四、三角形的内切圆与内心

(1)内切圆的有关概念：

与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做

圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.

(2)三角形内心的性质：

三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.

重要结论：若点1是仆ABC的内心，则有|阮卜氏+iCA1苗仁=0；反之，若

|BC|-lA+|CA|-IB+|AB|-iC=O,则点1是4ABC的内心.

五、垂心

三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心.

重要结论：若H是△ABC的垂心，则前■=而辰=阮前或

HA+BC=HB+AC=HC+AB，反之，右HAHB=HBHC=HCHA或

HA2+BC2=HB2+AC2=HC2+AB2»则H是△ABC的垂心・

二、题型精讲精练

【典例1］若。为融C的重心(重心为三条中线交点)，且次+丽+几沅=6,则7=—.

【答案】1

【解析】在AABC中，取BC中点。，连接AD,由重心的性质可得。为AD的三等分点，且讴=-2砺,

又。为BC的中点，所以砺+反=2砺，所以西+无+反=-2罚+砺=6,所以久=1.故答案为：1

BD

【典例2】已知点尸是AABC的内心、外心、重心、垂心之一，且满足2Q.反^前?-欣，则点尸一定

是AABC的（）

A.内心B.外心C.重心D.垂心

【答案】B

【解析】设BC中点为。，所以通+蔗=2而，

所以2衣.配二衣2—前2=（/+荏）（蔗—血/肥.2而，

即前.（而-/）=交.丽=0,所以阮，丽，

又由。为5c中点可得点P在BC的垂直平分线上，所以点尸是“1BC的外心，故选：B

【典例3】己知。是平面上的一个定点，人艮C是平面上不共线的三点，动点尸满足

（2eR）,则点尸的轨迹一定经过“WC的（

A.重心B.夕卜心C.内心D.垂心

【答案】C

__.uum

ABAC

【解析】因为扃为阳方向上的单位向量，器为前方向上的单位向量,

贝I]a+工AC的方向与ZBAC的角平分线一致,

\AB\\AC\

、

由丽ABAC

=m+2,可得苏-两=4,R+M即AP=A

所以点P的轨迹为/区4c的角平分线所在直线，故点P的轨迹一定经过AABC的内心.故选：C.

【典例4］设。为AABC的外心，^OA+OB+OC=OM,则M是AABC的（）

A.重心（三条中线交点）B.内心（三条角平分线交点）

C.垂心（三条高线交点）D.外心（三边中垂线交点）

【答案】C

【解析】在AABC中，。为外心，可得。4=O3=OC,

'-"OA+OB+OC=OM，/.OA+OB=OM-OC，设A8的中点为O,则8_LAB,CM=2OD，

：.CMVAB,可得CM在AB边的高线上.同理可证，AM在BC边的高线上，

故M是三角形A3C两高线的交点，可得M是三角形ABC的垂心，故选：C

【题型训练-刷模拟】

』.重心

一、单选题

1.（四川省泸州市泸县第五中学2023届高三下学期二诊模拟考试文科数学试题）已知△ABC的重心为O,

则向量的=（）

2,1___1___2_.2uun1uuuI___9__.

A.-AB+-ACB.-AB+-ACC.——AB+-ACD.——AB+-AC

33333333

【答案】C

【分析】AABC的重心。为三角形三条中线的交点，为中线的三等分点，根据向量线性运算的几何表示结

合条件即得.

【详解】设瓦尸，。分别是AC,A民3c的中点，

A

由于0是三角形ABC的重心，

>

^fiy.BO=-BE=-x（AE-AB）=-xpAC-AB|=--AB+-AC.

33312J33

故选：C.

2.（2023・全国•高三专题练习）。是平面内一定点，A,B,C是平面内不共线三点，动点尸满足

OP^OA+A（,AB+AC）,/Le[0,+co）,则尸的轨迹一定通过AA6C的（）

A.外心B.垂心C.内心D.重心

【答案】D

【分析】根据向量线性关系可得〃通+而）=丽，结合须+近的几何意义判断所过的点，即可得答案.

【详解】由题设2（初+不仁）=丽一血=衣,

而通+1?所在直线过BC中点，即与3c边上的中线重合，且彳e[0,+oo）,

所以P的轨迹一定通过^ABC的重心.

故选：D

3.（陕西省西安地区八校2023届高三下学期第二次联考文科数学试题）在AASC中，设衣=£,AB=b，

G为AABC的重心，则用向量Z和方为基底表示向量觉=（）

2-1-1-2-2-1--2-

A.—a——bB.—a——bC.—a——bD.a——b

3323323

【答案】A

【分析】作出图形，根据平面向量的线性运算即可求解.

【详解】如图，G为AABC的重心，延长AG交5c于点。，

__.2i__.__,i__i

所以前=§[；(荏+工)]=](通k+正)=](£+&，

__k_,121

^l^GC=GA+AC=--(.a+b)+a=-a--b,

故选:A.

4.(2023・全国•高三专题练习)设G为AASC的重心，则方+2说+3夫=()

A.0B.ACC.~BCD.AB

【答案】B

【分析】利用三角形的重心的向量表示及向量的线性运算即可求解.

【详解】因为G为AABC重心，

^^GA+GB+GC=0,

所以必+2屈+3觉=2玄+2说+2玄+而+南=/，

故选:B.

5.(2023•全国•高三专题练习)边长为2的正AABC中，G为重心，尸为线段BC上一动点，则彳石.丽=()

A.1B.2

2__,__.__.

C.(BG-BA)(BA-BP)D.-(AB+AC)-AP

【答案】B

【分析】建立适当的直角坐标系，根据题意求出点G和点尸的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算即可

求解.

【详解】如图：以BC所在直线为x轴，线段8C的垂直平分线所在直线为＞轴，建立如图所示直角坐标系，

由题意可知：A(0,V3),C(-1,0),5(1,0),

因为G为AABC的重心，所以G(0，¥),

因为点P为线段8C上一动点，设点P(x,0)(-IWxWl),

所以而=(0,-竿)，AP=(x,-V3),贝!J而•丽=0•X+(-¥)x(一百)=2,

6.（陕西省西安市长安区2023届高三一模理科数学试题）在平行四边形A5CD中，G为△BCD的重心,

7^G=xAB+yAD,则x—2y=（）

.24

A.—B.2C.—D.3

33

【答案】A

__.2.2__-

【分析】设AC与相交于点。，根据G为△BCD的重心，化简得至!=+结合

AG=xAB+yAD,求得X和V的值，即可求解.

【详解】如图所示，设AC与8。相交于点0,由G为△BCD的重心,

可得。为8。的中点，且CG=2GO,

贝!]而=Z+为=初+；诙=1初=%；例+画="|/+：而,

_____.___22

因为AG=xAB+yAZ>,所以X=y=],故X-2y=-

故选：A.

7.（福建省福州第一中学2023届高三适应性考试（三）数学试题）在三棱锥PA2C中，点。为AABC的

重心，点。，E,尸分别为侧棱E4,PB,PC的中点，若］=赤，b=CE，c=BD，则而=（）

,1_11_c1_1r1-C2-12一r2一22一

A.—a+—br+—cB.——a——b——cC.——a——br——cD.—a+—br+—c

333333333333

【答案】D

【分析】根据空间向量的线性运算，结合重心的性质即可求解.

【详解】取BC中点为

a=AF=PF-PA=-PC-PA,

2

b=CE=PE-PC=-PB-PC,

2

c=BD=PD-PB=-~PA~PB

2

三个式子相力口可得Z+B+"=_g（向+而+网n西+方+正=_2伍+B+2）,

y.OP=AP-AO=-PA--AM=-PA--x-（AB+AC）=-PA--^PB-PA+PC-PA^

=中叫而-丽+皿网*丽-那-浮3的+而+

8.（2023•全国•高三专题练习）已知A,B,C是不在同一直线上的三个点，0是平面ABC内一动点，若

OP-OA=X^AB+^BC^,2e[0,^）,则点尸的轨迹一定过AABC的（）

A.外心B.重心C.垂心D.内心

【答案】B

【分析】设出3c的中点O,利用向量的运算法则化简荏+:宓；标-函据向量共线的充要条件得到P在

三角形的中线上，利用三角形的重心定义：三中线的交点，得到选项

【详解】解：如图，取3c的中点。，连接AD,

___,1___„___„_______„___k_1___,

贝！］荏+］宓=通+丽=正.XOP-OA=2(AB+-BC),

OP-OA=AAD,BPAP=XAD.

又;

点在射线AD上.

故P的轨迹过AABC的重心.

故选：B.

9.（2023•全国•高三专题练习）如图所示，已知点G是△A8C的重心，过点G作直线分别与AB,AC两边交

于M,N两点，设=yAC=AN＞则,+’的值为（）

%y

A

A.3B.4

C.5D.6

【答案】A

【分析】由向量共线的推论知而=4丽+(1-4)丽且0W2W1,结合已知有:W="福+y(l-㈤；记，再

由重心的性质有而=；(血+/)，根据平面向量基本定理列方程组即可求值.

【详解】由题意AG=XAAf+(1—4)AN且。W4W1,而XAB=AM，yAC=AN>

所以而荏+y(l—X屈,

—.21—，—,1—、―•

又G是^ABC的重心，故AG=-x—(A3+AC)=—(A5+AC),

323

xX-—IIII

3

所以।，可得丁+丁=1，即一+—=3.

Xl-2)=13》3yxy

故选：A

10.(2023・全国•高三专题练习)O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点尸满足:

OP=OA+A(AB+AC),A>0,则直线AP一定通过仆斗台6:的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】C

【分析】取线段BC的中点E,则池+*=2亚.动点P满足：OP=OA+A(AB+AC),4>0,则

AP=2AAE.即可判断出结论.

【详解】取线段BC的中点E,则方+*=2亚.

动点P满足：OP^OA+A(AB+AC),A>0,

则9-两=2几近

则丽=22近.

B

P

E

则直线AP一定通过小ABC的重心.

故选：C.

11.（江苏省盐城市2022-2023学年高三上学期11月模拟数学试题）在AMC中，过重心E任作一直线分别

uuiiuuuuumULUU

交AB,AC于"，N两点，设AM二元AB，AN=yAC（%>0,y>。），则4x+y的最小值是（）

410

A.—B.—C.3D.2

33

【答案】c

【分析】先利用平面向量基本定理及三点共线得到4+4=1,利用基本不等式“1的妙用”求出最小值.

3x3y

—.21-►►1—.—.

【详解】在AABC中，E为重心，所以AE=n（AB+AC）=§（AB+AC）,

UUULuuuuumULIU

^AM=xAB>AN=yAC>（x>0,y>0）

所以羽=!丽，AC=-AN,所以旗=''加+丽.

尤y3x3y

因为M、E、N三点共线，所以1+4=1,

所以（4元+唱+（再+―+等|+2行导3（当且仅当先茅即a；,尸1时取等号）.

故4x+y的最小值是3.

故选：C.

12.（重庆市第八中学校2023届高三上学期高考适应性月考（二）数学试题）在AASC中，A=|,G为AABC

的重心，若怒•丽=而・/=12，贝!IAASC外接圆的半径为（）

A.73B.2C.2&D.2^/3

【答案】C

【分析】先由条件判定AABC为等边三角形，再求得△ABC的边长，利用正弦定理求小ABC外接圆的半

径即可解决.

【详解】由而.通=运.衣，可得而•（丽-亚）=运•方=0,则有AGLBC,

jr

又在AABC中，A=-,G为AABC的重心，贝！UASC为等边三角形，

2222

7AG.AB=|X1(AB+AC).AB=|(AB+AB.AC)=1^+|AB|COS^=||AB|=I2,贝!I倒=2而,

1\AB\_12A/6

，△ABC外接圆的半径为万X一^=5x不=2V2

sin—2L±

32

故选：c.

13.（2023・全国•高三专题练习）记AABC内角A民C的对边分别为a,〃,c,点G是AABC的重心，若

BG±CG,5b=6c则cosA的取值是（）

A59-57〃11n61

A.—B.—C.—D.—

75751575

【答案】D

uuur1/Uimuum

【分析】利用平向向量的线性运算得到AM=5（A3+AC）x,再由直角三角形斜边中线是斜边的一半与三角

形重心的性质求得从而利用平面向量的数量积运算得到9/=/+〃+2"COSA,结合余弦定理

整理得2c2+2b2—5bccosA=0t从而求得cosA=石.

【详解】依题意，作出图形，

uuir1/Uunutm

因为点G是JBC的重心，所以/是BC的中点，故A〃=5（AB+ACA）,

由已知得忸4=。,|44=同同=%

因为3GLCG,所以GM=；2C=ga,

113

又因为点G是44BC的重心，所以GM=^GA,贝!JAM=54+4=5。，

又因为=Z（AB+AC）,所以=^卜~+Zr+26ccosA）,贝！19a?=c?+6。+2Z?ccosA,

又由余弦定理得所以9卜?+从—20ccosA）=c?+〃+2》ccosA,整理得

2cl+2bl—5Z?ccosA=0,

因为5Z?=6c,令b=6左（左＞0）,贝！jc=5左，

所以2x（5左『+2x（6左了一5x（6左）x（5k）cosA=0,

„412261

贝nUcosA=---

15075

故选：D.

A

14.（吉林省吉林市2023届高三第四次调研考试数学试题）点G是AABC的重心,GB±GC,BC=4,则

CABA=（）

A.32B.30C.16D.14

【答案】A

【分析】利用勾股定理和向量垂直数量积为0,列向量方程求解即可.

【详解】记丽=0,E=方，

因为G是AABC的重心，

所以而=—诙=丽+湿——b9W=-CD=CA+AD=b——af

3232

所以%封方-2万石=36,解得无5=32,即京丽=32

故选：A

A

BC

15.（贵州省毕节市2023届高三诊断性考试（三）数学（文）试题）已知点G为三角形A8C的重心，且

\GA+GB\=\GA-GB\,当NC取最大值时，cosC=（）

A.1B.3C.2D.i

5555

【答案】A

【分析】由题设可得而.旃=0,结合而=?/+丽），=g（丽+前）及余弦定理可得

cosC=|（^+-）,根据基本不等式即可求解.

jba

【详解】由题意回+词=叵-词，所以（/+函2=（而一函2,

cccc__,UULUUU__,

即由+怎+2的.砺=由+9—2声.丽，所以G4GB=0,所以AG_L3G,

__,21__kkkk.21__.__.i__,__.

XAG=-X-(AC+AB)=-(AC+AB),BG=-x-(BA+BC)=-(BA+BC),

323323

则而肥=工由+硒.（丽+而）=：（蔗历+正・初+荏丽+通质）=0,

^^CACB=ACAB+BABC+AB2，即abcosC=bccosA+accosB+c2，

b2+c2-a2a2+c2-b2a2+b2-c2

由cosA=cosB=cosC=

2bclaclab

所以〃+〃=5。2,

所以cosC=""。、//《+2）理当且仅当。=6时等号成立,

2ab5ba5\ba5

又，=85犬在（o,兀）上单调递减，Ce（O,7T）,

4

所以当-C取最大值时，cosC=—.

故选:A

【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积运算及余弦定理的应用，解题的关键是结合三角形重心的性

质和余弦定理可得1+〃=5。2,然后利用基本不等式求解，考查转化思想，属于较难题.

二、多选题

UUUL

16.（2023•全国•高三专题练习）已知G为AABC的重心，Zfi4c=60。，ABAC=2,则1AG|的可能取值为

（）

A.-B.1C.毡D.-

332

【答案】CD

【分析】利用重心性质把而用刀,正表示后平方求模，得出其取值范围后可得正确选项.

【详解】如图，G是AABC的重心，^AB=c,AC=b,AB=a,

—.2—■21—•—.1—.—.

贝！|AG=-AD=-x-（AB+AC）=-（AB+AC）,

|AG|2=^（AB+AC）2=1（AB2+2AB-AC+AC2）=1（Z?2+C2+4）,

>1

^ABAC=bccos60°=-bc=29即人c=4,所以/+H22/^=8,当且仅当b=c=2时等号成立，

所以|祠2*x（8+4）=g.即时上平.只有CD满足.

故选：CD.

17.（重庆市2023届高三学业水平选择性考试模拟调研（二）数学试题）如图，股是AABC所在平面内任

意一点，。是AABC的重心，则（）

A

B.MA+MB+MC=3MO

C.MA+MB+MC=MD+ME+MFD.BCAD+CABE+ABCF^O

【答案】BCD

【分析】利用平面向量的线性运算可判断ABC选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.

【详解】对于A选项，由题意可知，D、E、产分别为BC、AC.AB的中点，

所以，通=荏+；前=通+3函_码=!回+码，

同理可得第=g（丽+元），CF=1（S+CB）,

所以，AZ）+BE=1（AB+AC）+1（BA+BC）=1（AC+BC）=-CF,A错；

对于B选项，由重心的性质可知而=—*，BE=-BO,CF=-CO,

222

由A选项可知，AD+BE+CF=^（AO+W+Cd）^6,

所以，MA+MB+MC=（MO+OA^+[Md+OB^+[Md+OC^=3Md-^Ad+Bd+Cd^=3Md,B对；

____.1____.____.1____,1____,

对于C选项，由重心的性质可知历=5亚，OE=-BO,OF=-CO,

所以，W+ME+W=（MO+OD）+（MO+OE）+（MO+OF）=3MO+1（Zd+BO+CO）

=3MO,C对；

对于D选项，BC-A5=1（AC-AB）-（AC+AB）=1（AC2-AB2）,

同理可得m.而=g（丽2_初],AB.CF=}-^CB-CA^,

因此，BCAD+CABE+ABCF=O,D对.

故选：BCD.

18.（2023•全国•高三专题练习）已知AABC的重心为G,过G点的直线与边AB,AC的交点分别为N,

___9

若丽=4丽,且A4AiN与AABC的面积之比为工；，则2的可能取值为（）

B

A-i-1D.3

【答案】BD

【分析】设衣=f丽，利用重心的性质，把而用谢、丽表示，再由M,G,N三点共线得关于2,f

的方程，再由三角形面积比得关于4,「的另一方程，联立即可求得实数2的值.

【详解】解：如图，•.•就=2砺=〃通-砌，，加高通，即江詈血，设「丽，则

AG=l(AB+AC)=^AM+-AN,

3323

*.*G、N三点共线，/.+—=1,t=2——,

3x3yt

所以2T俞,△与的面积之比为痂||丽卜也：义〔嗣|罔$山

.•.AWAABC2,4=2*4即

2（322C^2

［一；，一］=个，化简得2分一92+9=0,解得2=|或3.

故选：BD

三、填空题

19.（山东省济宁市育才中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题）在AABC中，G为重心，

AC=2y/3,BG=2,则函.碇=.

【答案】6

【分析】设AC中点为D,根据向量线性表示可得丽=丽+市，BC=BD-DA,然后根据向量数量积的

运算律结合条件即得.

【详解】设AC中点为。，

B

A\

AC

D

•••G为AABC的重心且BG=2,

:.BD=3,DA=y/3,

因为丽=丽+囱，JC=JD+DC=BD-DA,

所以丽.配=（彷+网.（而_网=瓦52_次=9—3=6.

故答案为：6.

20.（黑龙江省齐齐哈尔市2023届高三二模数学试题）已知等边AABC的重心为O,边长为3,则

COCA=.

【答案】:Q

【分析】根据给定条件，利用正三角形的性质结合数量积的定义求解作答.

【详解】在等边AASC中，延长CO交于。，如图,

TT2271r~

因为。为重心，则CD_LA5,ZACO=—,CO=-CD=-x3xcos-=y/3

63369

所以函函||G5|COS?=J^X3XYI=2.

622

故答案为：IQ

21.（2023•全国•高三专题练习）已知MBC的重心为G,经过点G的直线交AB于，交AC于E,若花=AAfi，

.__.,11

AE=/iAC,贝|7+—=______.

X〃

【答案】3

—►1—>1—►11

【分析】先由向量的线性运算求得=+豆AE,再由G,D,E三点共线得我+取=1,即可求

得”=3.

【详解】

__2______1/__uuaiuum__.1__.

如图，设F为BC的中点，贝（（通k+才可A），又AB=彳A。，AC=-AE,

33、）/t〃

—1—►1—►1111

则AG=wAD+bAE,又G,D,E三点共线，；.丁+丁=1,即弓+—=3.

323〃3/13〃Z/J

故答案为：3.

22.（2023・全国•高三专题练习）记AABC的内角A,8,C的对边分别为a,b,c,若。为AABC的重心，OB±OC,

3b=2c,则cosA=.

【答案】三13

【分析】根据NADB+NADC=7T及余弦定理建立方程得出k+©2=5/,再由余弦定理求解即可.

【详解】连接AO,延长AO交BC于D,

13

由题意得D为BC的中点，OBLOC,所以OD=2D=C£>=-a,AD=-a

22

因为NAD3+NADC=7t,

9

2

-a1,2

4H—Cl-a2+-a2-b2

所以cosZADB+cosZADC=4+J~3^—=0,得k+/=54.

2x332x—ax—ci

2222

/?2+C2_1/?2_1C2

故cosA=b1+C1-a1_______5513

2bc2bc15

故答案为：晟13

23.（江苏省南京市教学研究室2022届高三下学期高考前辅导数学试题）在"RC中，荏.恁=0，|而|=3,

|恁|=4,。为AABC的重心，。在边上，且AD13C,BOAD-AO.

【答案】券96

【分析】根据。为AABC的重心，得至！）彩=；（荏+而），再由荏.荏=0和AD13C，利用等面积法求

得|仞|,进而得到08|,方法一：利用基底法求解；方法二：以A坐标原点，AC为x轴，为y轴建立

平面直角坐标系，利用坐标法求解.

【详解】解：因为。为A/WC的重心,

所以码，

因为15^o,

所以AB1AC,贝（）|以C|=，|4哥+恒4=5,

因为AD13C,所以S△钿,=148卜|4。=3"＞卜忸。，

即;x3x4=；|AO|x5,

所以|AD|=W，

在RSADB中，|在同=J|A同2+恒必2=小一费=|.

,.—,.—..9—►

方法一：因为AO=AB+3O=AB+—3C,

=荏+白国一码总府+H机

所以而（而+回怎正+会

196

=—X

325

方法二：以A坐标原点，AC为％轴，A5为,轴建立平面直角坐标系,

则配=（4,0）,AB=（O,3）,

由方法一可知而=（林+1|通=3648,AO=1（AB+AC）=

25525

所以—A»►A—O►=±1x3h6+lx竺48=935.

3252525

24.（2023・全国•高三专题练习）设G为“BC的重心，^3|BC|-G4+2|C4|-06+2731AB|-GC=6,则

ABBC

BCAC

【答案】-j

【分析】注意到结论"G为"1BC重心，贝！I而+演+觉=6"，不妨创设条件：目忸C|=2|C4|=2拘阴=1,

则可得直角三角形，从而可得丝丝=-L

BCAC3

【详解】因为G为AASC重心，则说+丽+反^日，

又因为6忸C|•G4+2|C4|-GB+2y/3\AB\-GC=0,

不妨设网3C|=2|C4|=2网A3|=l,所以怛［=3,|期=」4同=走，

326

所以|阴2+修「=忸。2,所以cosB二;,cosC二走，

超点=|祠•阿cos（兀_m=1

所以能京=西.国cose=V

故答案为：-;.

25.（2023・全国•高三专题练习）若点G为AABC的重心，且AGLBG,贝UsinC的最大值为.

【答案、】|3

【分析】设43中点为。，连接8,可得。G=；,CD=^,利用平面向量的加法和减法运算得出

22

2CD=CA+CB,AB=CB-CA,由此可得（2说/+通?=2（丽2+方），化简得出"+廿=5,2,利用余弦

定理结合基本不等式可求得cosC的最小值，进而可求得sinC的最大值.

【详解】设A3中点为。，连接8,角A、B、C的对边为。、b、c,

-.-AG±BG,。为A3的中点，所以。G=；,。。=与

22

CD=CA+AD=CA+-AB=CA+-即2力=①+国,

2

■.AB=CB-CA,

可得(3C)2+=2(/+⑹，.•.a2+b2=5c2，

由余弦定理得c"_/+〃一/一幺丁_2（〃+/）_2"6）22x2、口万=-,当且仅当

co，。-2ab—-五b—_七^一尤+75以a5

a=Z?时，等号成立，

所以，sinC=71-cos2C<—.

3

因此，sinC的最大值为

3

故答案为：

【点睛】本题考查三角形中角的正弦值最值的计算，考查了平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于

中等题.

23卜心

一、单选题

1.（2023•全国•高三专题练习）点尸是平面ABC外一点，且R4=P3=PC,则点尸在平面ABC上的射影一

定是AASC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】A

【分析】过点P作尸平面ABC,因为R4=P3=PC,得到。4=O3=OC,即可求解.

【详解】如图所示，过点尸作尸0,平面ABC,

可得OA=4PA2-PO?,OB=4PB--PO1,OC=>JPC2-PO2，

因为R4=P5=PC,可得。4=Q5=OC,

所以。为AABC的外心.

故选：A.

2.（2023•全国•高三专题练习）已知O为锐角三角形ABC的外心，204+305+40^=0,贝UcosNACB的值

为（）

A.叵B.逅C.-D.-

4444

【答案】A

【分析】根据平面向量数量积的定义和运算运算性质，结合余弦的二倍角公式、三角形外心的性质进行求

解即可.

【详解】设锐角三角形A3C的外接圆的半径为R,即。4=O3=OC=R,

2OA+3OB+4OC=0=>4OC=-（2OA+3OB）=>16OC2=4OA+9OB2+12OA-OB>

^>16R2=4R2+9R2+12RRcosZAOB^cosZAOB=->0,显然NA03是锐角，

4

因为O为锐角三角形45c的外心，所以O在锐角三角形ABC内部，

由圆的性质可知：ZACB=^ZAOB,显然/ACS是锐角，

cosZAOB」n2cos2ZACB-l=-ncosNACB=—,或-巫舍去，

4444

故选：A

3.（河南省名校青桐鸣2023届高三3月联考理科数学试题）已知点。为△ABC所在平面内一点，在"RC中,

满足2通•近=|嗣"，2AC-AO=|AC|2,则点0为该三角形的（）

A.内心B.外心C.垂心D.重心

【答案】B

【分析】由2相:^=网2,利用数量积的定义得到国cos（福Id）=J词，从而得到点O在边AB

的中垂线上，同理得到点O在边AC的中垂线上判断.

【详解】解：根据题意，2AB-AO=|AB|2,HP2AB-AO=2\AB^Ad\cos^AB,Ad）=\AB^,

所以M[cos（丽质5）=；网，则向量而在向量油上的投影为网的一半，

所以点O在边AB的中垂线上，同理，点O在边AC的中垂线上，

所以点O为该三角形的外心.

故选：B.

4.（广东省佛山市第一中学2023届高三4月一模数学试题）在AABC中，^AC2-AB2=2AM-（AC-AB）,

那么动点/的轨迹必通过AABC的（）

A.垂心B,内心C.重心